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1、2016届文科人教版数学 三角函数姓名： 院 、 系： 数学学院 专业: 数学与应用数学 2015年10月20日一、 有关角复习1角的有关概念：始边终边顶点AOB角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，
2、那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角例1如图中的角分别属于第几象限角？B1yOx45B2OxB3y3060o 3探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角 感悟提升1一个区别“小于90的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90的角的范围：，锐角的范围：，
3、第一象限角的范围：(kZ)所以说小于90的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立如(1)、(2)2三个防范一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7)考点一象限角与三角函数值的符号判断【例1】(1)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0B大于0C等于0D不存在规律方法熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确
4、定各三角函数值的符号，再判断角所在象限【训练1】设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、 弧度1) 定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，常常将rad单位省略弧度制另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度orC2rad1radrl=2roAAB 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2prad 弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个
5、负数零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|=4角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：； ；将弧度化为角度：；5常规写法： 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度02) 弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|=3) 角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：； ；将弧度化为角度：；4) 常规写法： 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用5
6、) 特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度6) 角度制与弧度制的换算 抓住：360=2prad 180=p rad 1= 例一 把化成弧度 解： 例二 把化成度 注意： 今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦 例三 用弧度制表示： 1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 三、 三角函数1. 三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；
7、（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，记作，即；说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。2. 三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对
8、于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。1 第一象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第二象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第三象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第四象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 记忆法则： 为正 全正为正 为正 3. 由定义：sin(a+2kp)=s
9、ina cos(a+2kp)=cosa tan(a+2kp)=tana 例题讲解：(一) 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值xoyP(2,-3) (二) 求下列各角的六个三角函数值 0 p 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值(三) 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值 (四) 若 则sina= cosa=- 2sina+cosa=若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为（）A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能(五) 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A
10、：sina+cosa0 B：tana-sina0C：cosa-cota0 D：cotacsca0已知q是第三象限角且，问是第几象限角？(六) 已知，则q为第几象限角？三角函数定义的应用【例2】已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练2】已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值 1在利用三角函
11、数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技四、 同角三角函数的基本关系 理论证明：（采用定义） 注意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 ， ， 例题1 化简：2. 已知，求 强调（指出
12、）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化1法” 2 已知，求3 已知4 已知，求 5 已知 求 6 化简：7 已知8 求证： 9 已知方程的两根分别是，sin(360k+a) = sina, cos(360k+a) = cosa. sec(360k+a) = seca, csc(360k+a) = csca五、 诱导公式1 公式1： 2 对于任一0到360的角，有四种可能（其中a为不大于90的非负角） （以下设a为任意角）xyoP (x,y)3 公式2： 设a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+a终边与单位圆交于点P(-x,-y) P (-x,-y) sin(180+
13、a) = -sina, cos(180+a) = -cosa. xyoP(x,-y)P(x,y)M4 公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa. tan(-a) = -tana, 5 公式4： sin(180-a) = sin180+(-a) = -sin(-a) = sina, cos(180-a) = cos180+(-a) = -cos(-a) = -cosa, 同理可得： sin(180-a) = sina, cos(180-a) = -cosa. tan(180-a) = -tana 6 公式5： sin(3
14、60-a) = -sina, cos(360-a) = cosa. tan(360-a) = -tana 练习：1已知 2已知 sin(90 -a) = cosa, cos(90 -a) = sina. tan(90 -a) = cota, sec(90 -a) = csca, csc(90 -a) = seca公式6： xyoPP(x,y)MMM5 公式7： 如图，可证： 则sin(90 +a) = MP = OM = cosa sin(90 +a) = cosa, cos(90 +a) = -sina. tan(90 +a) = -cota, cos(90 +a) = OM = PM =
15、-MP = -sina 从而：或证：sin(90 +a) = sin180- (90 -a) = sin(90 -a) = cosacos(90 +a) = cos180- (90 -a) = -sin(90 -a) = -cosasin(270 -a) = -cosa, cos(270 -a) = -sina. a 7 公式8：sin(270 -a) = sin180+ (90 -a) = -sin(90 -a) = -cosa sin(270 +a) = -cosa, cos(270 +a) = sina. tan(270 +a) = -cota, 8 公式9： 例题a) b) c) 已知
16、（教学与测试例三） d) 已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。六、 两角差的余弦公式我们在初中时就知道，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式两角差的余弦公式： 例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差. 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以七、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）大家首先回顾一下两角
17、差的余弦公式： （2）？ 探究探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式. 探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式. 探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意： 5、将、称为和角公式，、称为差角公式。 例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.八、 二倍角的正弦、余弦和正切公式我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： 例题讲解例1、 已知求的值例2在ABC中，例3已知求的值九
18、、 简单的三角恒等变换1、由二倍角公式引导学生思考：有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台 例1、试以表示解：我们可以通过二倍角和来做此题因为，可以得到；因为，可以得到又因为十、 积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb sinacosb =sin(a + b) + sin(a - b)sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb cosasinb =sin(a + b) - sin(a - b)cos
19、(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb cosacosb =cos(a + b) + cos(a - b)cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb sinasinb = -cos(a + b) - cos(a - b)这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）十一、 习题1) 计算 cos105 cos15 coscos-sinsin cos15 =cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin452) 已知sina=，cosb=求co
20、s(a-b)的值。3) 不查表，求下列各式的值：1 sin75 2 sin13cos17+cos13sin174) 求证：cosa+sina=2sin(+a)5) 已知sin(a+b)=,sin(a-b)= 求的值 6) 化简7) 已知，求函数的值域8) 已知 ， 求的值方法优化2灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】(2012辽宁卷)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1BCD1 反思感悟 (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2及sin tan cos 等这
21、是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在【自主体验】(2013东北三校模拟)已知sin cos ，则sin cos 的值为()ABCD基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1已知和的终边关于直线yx对称，且，则sin 等于()ABCD2(2014合肥模拟)sin 585的值为()ABCD3(2014郑州模拟)()Asin 2cos 2Bsin 2cos 2C(sin 2cos 2)Dcos 2sin 24若3sin cos 0，则的值为()ABCD25若sin 是5x27x60的根，则()ABCD二、填空题6(2014杭州模拟)如果sin(A)，那么cos的值是_7si
22、n cos tan的值是_8(2013江南十校第一次考试)已知sin，且，则cos_.三、解答题9化简：(kZ)10已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1若sin，则cos等于()ABCD2(2014衡水质检)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1, 则sin 的值是()ABCD二、填空题3sin21sin22sin290_.三、解答题4是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出
23、，的值；若不存在，请说明理由十二、 正弦、余弦函数的图象1) 复习引入实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而确定的角又有着唯一确定的正弦（或余弦）值。这样任意给定一个实数x有唯一确定的值sinx（cosx）与之对应，有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R。遇到一个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢？我们先来做一个简弦运动的实验，这就是某个简弦函数的图象，通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢2) 讲授新课（1）正弦函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以
24、为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象【设计意图】通过按步骤自己画图，体会如何画正弦函数的图象。根据终边相同的同名三角函数值相等，所以函数y=sinx,x2k,2(k+1),
25、kZ且k0的图象，与函数y=sinx，x0,2)的图象的形状完全一致。于是我们只要将y=sinx，x0,2)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR的图象.【设计意图】由三角函数值的关系，得出正弦函数的整体图象。 把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象 探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变得到余弦函数的图象？根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移 单位即得余弦函数y=cosx的图象. 正弦函数y=
26、sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，体会数学知识间的联系，以及类比的数学思想。思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？【设计意图】通过问题，为下面五点法绘图方法介绍做铺垫2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定
27、了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图3) 讲解范例例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x0，2， （2）y=-COSx 【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画法步骤。探究1 如何利用y=sinx，0，的图象，通过图形变换（平移、 翻转等）来得到（1）y1sinx ,0，的图象；（2）y=sin(x- /3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。探究2如何利用y=cos x，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y-cosx ，0，的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。探究3 如何利用y=cos x
28、，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y2-cosx ，0，的图象？小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y-cosx的图象，再将y-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y2-cosx 的图象。探究4 不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。小结：sin( x - 3/2 )= sin( x - 3/2 ) +2 =sin(x+/2)=cosx这两个函数相等，图象重合。十三、 正弦函数、余弦函数的性质之定义域与值域1) 复习：正弦和余弦函数图象的作法yxo1-1yxo1-
29、1yxo1-1yxo1-12) 研究性质：1 定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R2 值域： 1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|1, |cosx|1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论y=sinx, y=cosx的值域为-1，12对于y=sinx 当且仅当x=2kp+ kZ时 ymax=1当且仅当时x=2kp- kZ时 ymin=-1对于y=cosx 当且仅当x=2kp kZ时 ymax=1当且仅当x=2kp+p kZ时 ymin=-13 观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知当2kpx0当(2k-1)px 2kp (kZ)时 y=sinx0当2kp-x0当2kp+x2kp+ (kZ)时 y=cosx0则定义域无上界；T0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的。2它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A3若A0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。3) y=sinx画出函数y=sin2x xR；y=sinx xR的图象（简图）。 解：函数y=sin2x 周期T=p 在0, p上作图令X=2x 则x= 从而sinX=sin2x列表：X=2x0p2px0psin2x010-10