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1、第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布内容提要内容提要一总体与样本一总体与样本二二 样本分布函数样本分布函数三统计量三统计量四抽样分布四抽样分布基本要求基本要求1理解总体理解总体,个体个体,简单随机样本和统计量的概念。简单随机样本和统计量的概念。2掌握样本均值掌握样本均值,样本方差的计算。样本方差的计算。3.了解了解 x2分布分布,t 分布分布,F 分布的定义和性质分布的定义和性质,了解分位点的概了解分位点的概 念并会查表计算。念并会查表计算。4.掌握正态总体的样本均值和样本方差的分布。掌握正态总体的样本均值和样本方差的分布。5.了解直方图的作法。了解直方图的作法。本章重点本章重点:常用统
2、计量的概念及其分布。常用统计量的概念及其分布。6.1 总体与样本总体与样本一一.总体与个体总体与个体.总体总体:被研究的对象的全体被研究的对象的全体例如：考察某工厂生产的电视机显象管的质量例如：考察某工厂生产的电视机显象管的质量,即考察显象管的即考察显象管的 寿命。寿命。其中其中,总体总体:该厂生产的所有显象管的寿命；该厂生产的所有显象管的寿命；个体个体:每个显象管的寿命。每个显象管的寿命。2组成总体的各个元素组成总体的各个元素由于受到人力由于受到人力,物力等的限制物力等的限制,特别是测定显象管的寿命是一特别是测定显象管的寿命是一个破坏性试验个破坏性试验,即当得知显象管寿命时即当得知显象管寿命
3、时,该显象管的使用价值也消该显象管的使用价值也消失了失了,于是我们采用从总体中抽取若干个体于是我们采用从总体中抽取若干个体,由局部了解整体情况。由局部了解整体情况。一般一般,代表总体的指标代表总体的指标(如显象管寿命如显象管寿命)是一个随机变量是一个随机变量X,所以总体就是指某个随机变量所以总体就是指某个随机变量X 可能取值的全体。可能取值的全体。二样本二样本1抽样抽样:从总体中抽取若干个体的过程。从总体中抽取若干个体的过程。2样本样本:从总体中抽取若干个体从总体中抽取若干个体,观察得随机变量的一组试验观察得随机变量的一组试验 数据数据(观测值观测值),样本中所含个体的数量称为样本容量。样本中
4、所含个体的数量称为样本容量。从总体中抽取样本从总体中抽取样本,一般假设满足下述条件：一般假设满足下述条件：(1)随机性随机性:使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到；使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到；(2)独立性独立性:每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果,也不受其他各次结果的影响；也不受其他各次结果的影响；3.简单随机样本：由随机的简单随机样本：由随机的,独立的抽样方法得到的样本独立的抽样方法得到的样本,这种这种随机的随机的,独立的抽样方法称为简单随机抽样。独立的抽样方法称为简单随机抽样。注注:今后凡是提到抽样与样本今后凡是提到抽样与样本,都
5、是简单随机抽样与简单随都是简单随机抽样与简单随 机样本。机样本。由于从总体中抽取容量为由于从总体中抽取容量为n的样本的样本,即是对代表总体的随即是对代表总体的随机变量机变量X随机的随机的,独立的进行独立的进行n次试验次试验,每次试验结果可以看作每次试验结果可以看作一个随机变量一个随机变量,n 次试验结果就是次试验结果就是n个随机变量个随机变量 X1,X2,X n,它们相互独立且与总体它们相互独立且与总体X同分布。同分布。将样本将样本X1,X2,X n看作一个看作一个n维随机变量维随机变量(X1,X2,X n),则：则：(1)当总体当总体X是离散型随机变量时是离散型随机变量时,设设 ,则则(2)
6、(X1,X2,X n)分布律为：分布律为：(2)当总体当总体X是连续型随机变量时是连续型随机变量时,且概率密度为且概率密度为 ,则则 (X1,X2,X n)概率密度为：概率密度为：测试题A一一.填空题。填空题。1.X1,X2,X n 是总体是总体X的简单随机样本的条件是的简单随机样本的条件是)。2.设设X1,X2,X n是来自是来自 分布的样本分布的样本,为未知参数为未知参数,则则 的分布率为的分布率为 ,设设n=10时样本的一组观测值为时样本的一组观测值为 (1,2,4,3,3,4,5,6,4,8),则样本均值为则样本均值为 ,方差为方差为 。3.样本样本(Y1,Y2,Y3)是来自于正态总体
7、是来自于正态总体N(0,1),又又 则的联合概率密度为则的联合概率密度为 。1.设设X1,X2,X n是来自均匀分布总体是来自均匀分布总体U(a,b)的样本的样本,求样本求样本 (X1,X2,X n)的联合概率密度。的联合概率密度。二二.计算题。计算题。测试题B一填空题。一填空题。1.设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布,若若2.X1,X2,X n可以看作一组简单随机变量可以看作一组简单随机变量,则它应满足的条件则它应满足的条件 。2.设设X1,X2,X n是来自是来自01分布的样本分布的样本,且且 ,p 为未知参数为未知参数,则则(X1,X2,X n)的分布率为的分布率为 ,。3.
8、已知样本容量为已知样本容量为8的一个样本值为的一个样本值为(0,1,0,1,1,0,1,1),则样本的则样本的 均值为均值为 _ 。(其中样本来自于其中样本来自于01分布的总体分布的总体 且且 )二计算题。二计算题。1.设设 X1,X2,X n 是来自正态总体是来自正态总体 的样本的样本,求求2.样本样本X1,X2,X n的联合概率密度。的联合概率密度。1.)X1,X2,X n 相互独立相互独立2.)X1,X2,X n 与总体与总体 X 同分布。同分布。测试题测试题A答案：答案：一填空题。一填空题。2.3.二计算题。二计算题。解解:因为因为X1,X2,X n来自均匀分布总体来自均匀分布总体U(
9、a,b),则则X1,X2,X n相互独立相互独立.所以所以 测试题测试题B答案答案:一填空题。一填空题。1.1)满足满足X1,X2,X n独立且同分布独立且同分布2.2)2.3.5/8二计算题。二计算题。解解:因为因为X1,X2,X n来自均匀分布总体来自均匀分布总体 ,则则X1,X2,X n相互独立相互独立.且且 所以所以 观测值x(1)X(2)X(l)总计频数n1n2n l频率f1f2f l6.2 样本分布函数与直方图一一.样本分布函数样本分布函数从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为n的样本的样本,得到得到n个观测值个观测值,当当n较大时较大时,相同的观测值可能重复出现若干次相同的观测值可
10、能重复出现若干次,整理后得到样本频率分布表整理后得到样本频率分布表:1总体分布函数总体分布函数:总体总体X的分布函数的分布函数其中：其中：2样本分布函数样本分布函数定义定义:设函数设函数 则称则称 为样本分布函数或经验分布函数。为样本分布函数或经验分布函数。其中其中 是对小于或等于是对小于或等于 的一切的一切 的频率的频率 求和。求和。3.样本分布函数的性质样本分布函数的性质(1)(2)是非减函数是非减函数(3)(4)在每个观测值在每个观测值 处是右连续的处是右连续的,点点 是是(5)的跳跃间断点的跳跃间断点,在点在点 的跃度就是频率的跃度就是频率样本分布函数样本分布函数 的图形如下：的图形如
11、下：对于任意实数对于任意实数x,由样本分布函数定义知由样本分布函数定义知,表示事件表示事件 的频率的频率,由伯努利大数定理知由伯努利大数定理知,当当 时时,对于对于 ,有有二二.直方图直方图当总体当总体X是连续型随机变量时是连续型随机变量时,可用直方图来处理数据可用直方图来处理数据,即即作出样本的频率直方图。作出样本的频率直方图。(1)找出样本观测值找出样本观测值x1,x2,x n中的最小值与最大值中的最小值与最大值,分别分别(2)记为记为 与与 .即即步骤：步骤：(2)适当选取略小于适当选取略小于 的数的数a 与略大于与略大于 的数的数 b,得到适当的得到适当的 作图区间作图区间a,b,并在
12、区间并在区间a,b中插入分点中插入分点 则得到子区间则得到子区间(3)以以n i 表示落入第表示落入第i个小区间个小区间 内样本观测值的频数内样本观测值的频数(4)为频率为频率.(4)在直角坐标系内在直角坐标系内,以各个小区间为底以各个小区间为底,以以 为高作小为高作小(5)矩形矩形,即使各个小矩形的面积即使各个小矩形的面积 等于样本观测值落等于样本观测值落在该在该(6)子区间内的频率子区间内的频率.所有小矩形的面积之和为所有小矩形的面积之和为1。通常如此步骤作出的所有小矩形就构成了直方图。通常如此步骤作出的所有小矩形就构成了直方图。注意：注意：(1)各个区间长度可以相等各个区间长度可以相等,
13、也可以不等。也可以不等。(2)由大数定理知由大数定理知,当样本容量当样本容量n充分大时充分大时,毛坯重量毛坯重量185 187192195200202205 206频数频数11111211毛坯重量毛坯重量207 208210214215216218 227频数频数21112121并按区间并按区间183.5,192.5),219.5,228.5)分成分成5组组,列出毛坯列出毛坯重量的频率分布表重量的频率分布表,并作直方图。并作直方图。解：我们把数据的分布区间确定为解：我们把数据的分布区间确定为183.5,228.5,并等分为并等分为5 个子区间个子区间:183.5,192.5),192.5,20
14、1.5),201.5,210.5)210.5,219.5),219.5,228.5)。例例1.测得测得20个毛坯重量个毛坯重量(单位单位:g)列成简单表如下：列成简单表如下：毛坯重量毛坯重量频数频数频率频率183.5,192.5)30.15192.5,201.5)20.1201.5,210.5)80.4210.5,219.5)60.3219.5,228.5)10.05总计总计201由此得到毛坯重量的频率分布表如下：由此得到毛坯重量的频率分布表如下：直方图如下：直方图如下：6.3 统计量一统计量一统计量1.定义定义:设设X1,X2,X n是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本,若样本函若样本
15、函2.数数g(X1,X2,X n)中不含任何未知量中不含任何未知量,则称这类样本函则称这类样本函数数3.为统计量。为统计量。注：注：统计量是完全由样本确定的量统计量是完全由样本确定的量,是样本的函数。是样本的函数。例如：例如：,其中其中 已知已知,未知未知.为总体的一个样本为总体的一个样本,则则 是一个统计量是一个统计量,不是统计量。不是统计量。2常用统计量及其观测值常用统计量及其观测值(1)样本均值样本均值:观测值为观测值为:(2)样本方差样本方差:观测值为观测值为:(3)样本标准差样本标准差:观测值为观测值为:(4)样本样本k阶原点矩阶原点矩:其观测值为其观测值为:(5)样本样本k阶中心矩
16、阶中心矩:其观测值为其观测值为:显然显然,样本一阶中心矩恒等于零。样本一阶中心矩恒等于零。例例1.已知已知X1,X2,X n 是来自总体是来自总体X的一组样本的一组样本,且总体且总体X的的 k阶矩阶矩 存在存在,记为记为 ,试证试证:证明证明:由于由于X1,X2,X n 独立且与独立且与X同分布同分布,所以所以X1k,X2k,X n k独立且与独立且与X k同分布同分布.于是于是由辛钦大数定理知由辛钦大数定理知:对于对于 ,有有即即:证毕。证毕。由例由例1结论及依概率收敛的序列的性质知结论及依概率收敛的序列的性质知:对于连续函对于连续函数数 g,有有此为下章矩估计法的理论依据。此为下章矩估计法
17、的理论依据。例例2.设设 及及 为两个样本观察值为两个样本观察值,它们有它们有 如下关系如下关系:a,b为常数为常数,求样本求样本 平均值平均值 与与 ,样本方差样本方差 与与 之间的关系。之间的关系。解解:由由 ,得得又又即即:又又 例例3.若样本观测值若样本观测值 的频数分别为的频数分别为 ,试写出计算样本均值试写出计算样本均值 与样本方差与样本方差 的公式的公式,其中其中若写出样本二阶中心矩若写出样本二阶中心矩,显见当充分显见当充分大时，大时，和和 是近似相等的。是近似相等的。解解:测试题A1.设设 是来自总体的样本是来自总体的样本,则有则有()。2.(A)(B)3.(C)(D)都不对都
18、不对2.设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本,其中其中 ,为未为未 知参数知参数,问下列诸量哪个是统计量问下列诸量哪个是统计量,哪个不是统计量哪个不是统计量?(1)(2)(3)(4)(5)3.已知样本观测值为已知样本观测值为:15.8,24.2,14.5,17.4,13.2,20.8,17.9,19.1,21.0,18.5,16.4,22.6;计算样本均值计算样本均值,样本方差及样本二样本方差及样本二阶中心矩的观测值。阶中心矩的观测值。测试题B1.设设 取自总体取自总体X的样本的样本,为已知为已知,2.为未知为未知,则下列随机变量中不是统计量则下列随机变量中不是统计量()。(A)(B)(C
19、)(D)2.设设(-2,-1,3,3,4)是容量为是容量为5的一个样本观测值的一个样本观测值,试求经验分试求经验分 布函数布函数3.设从总体中抽取两组样本设从总体中抽取两组样本,其样本容量分别为其样本容量分别为n1和和n2,设两设两 组的样本均值分别为组的样本均值分别为 和和 ,样本方差分别为样本方差分别为 和和 ,把把 两组样本合并成一组容量为两组样本合并成一组容量为 的联合样本。的联合样本。证明证明:(1)联合样本的样本均值为联合样本的样本均值为:(2)联合样本的方差联合样本的方差测试题A答案1.D2.统计量统计量:(3)(5);非统计量非统计量:(1)(2)(4)3解解:即其观测值即其观
20、测值测试题B答案1.C2.解解:3.证明证明:设两组样本为设两组样本为:则则合并后的样本均值为合并后的样本均值为:样本方差：样本方差：抽样分布统计量是样本的函数统计量是样本的函数,它也是一个随机变量。它也是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。统计量的分布称为抽样分布。一一.三个重要分布三个重要分布1.x2 分布分布设设X1,X2,X n 是来自正态总体是来自正态总体N(0,1)的样本的样本,则称统则称统计量计量 服从自由度为服从自由度为n的的x2分布分布,记为记为 。此处自由度指此处自由度指 包含的独立变量的个数。包含的独立变量的个数。(1)分布的概率密度为分布的概率密度为:f(y)图形如
21、下所示图形如下所示:y12n=4n=2n=67n=1165432100.400.300.200.10n=110119813 14f(y)(2)x2分布的性质分布的性质()设设 ,且且 相互独立，相互独立，则则证略证略.此结论推广为此结论推广为:设设 ,且相互独立且相互独立,则则()设设 ,则则证明证明:由于由于 ,则则 所以所以而而又又因为因为 相互独立相互独立,所以所以 也相互独立，也相互独立，于是于是(3)分布的分位点分布的分位点定义定义:设有分布函数设有分布函数F(x),对于给定的对于给定的 ,若有若有 ,则称点则称点 为为F(x)的上分位点。的上分位点。当当F(x)有密度函数有密度函数
22、 f(x)时时,于是得于是得x2(n)分布的上分位点为分布的上分位点为:对于对于 称满足条件称满足条件 的点的点 为分布为分布 的上的上 分位点。分位点。对于不同的对于不同的 ,n,上上 分位点可查表得。分位点可查表得。当当n充分大时充分大时,近似有近似有 是标准正态分布的上是标准正态分布的上 分位点。分位点。表中列出了表中列出了n=45内的上内的上 分位点的值分位点的值,n 45时时,x2(n)分布的分布的上上 分位点的近似值由上式决定。分位点的近似值由上式决定。例如例如:若若 ,则则 若若 ,则则2.t 分布分布设设 ,且且X,Y相互独立相互独立,则称随机变则称随机变量量 服从自由度为服从
23、自由度为n的的t分布分布,记为记为(1)t(n)分布的概率密度为：分布的概率密度为：h(t)图形如下图所示：图形如下图所示：-2-10-31-4324922.5n显见显见h(t)的图形关于的图形关于t=0对称对称,当当n充分大时充分大时,其图形类似其图形类似于标准正态分布的概率密度的图形于标准正态分布的概率密度的图形,事实上事实上,当当n足够大时足够大时,t分布近似于分布近似于N(0,1)分布分布.即即:(2)t分布的分位点分布的分位点对于给定的对于给定的,称满足条件称满足条件的点的点 为为t(n)分布的上分布的上 分位点分位点.如下图：如下图：0显见显见t分布的上分布的上 分位点可由附表分位
24、点可由附表3查得查得,当当n45时时,有有3.F 分布分布设，且相互独立设，且相互独立,则称随则称随机变量机变量 服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的分布的分布,记为记为:(1)F分布的概率密度：分布的概率密度：0123(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)的图形如下：的图形如下：由定义知由定义知,若若 ,则则(2)F分布的分位点分布的分位点对于给定对于给定,称满足条件称满足条件的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点。分位点。0F分布的上分位点见附表分布的上分位点见附表5。由于若由于若 ,则则于是于是 ,即即于是可得于是可得:所以所以所以所以二二.正态总体统计量的分布
25、正态总体统计量的分布定理：定理：设设X1,X2,X n是来自正态总体是来自正态总体 的一个简单的一个简单 随机样本随机样本,与与 分别为样本均值和样本分别为样本均值和样本,则有则有(1)(2)与与 相互独立相互独立(3)证明证明:(1)由于由于X1,X2,X n是来自总体是来自总体 的一个简单的一个简单 样本样本,则则X1,X2,X n相互独立相互独立,且与总体服从相同分且与总体服从相同分 布布 。由正态分布的性质知由正态分布的性质知,也服从正态分布也服从正态分布且且所以所以(2)(3)的证明略。的证明略。例例1.设设X1,X2,X10是来自正态总体是来自正态总体 的简单随机的简单随机 样本样
26、本,记记 试确定试确定a,b,c,d,使使Y服从服从 x2(k)分布分布,并求出并求出k 值。值。解解:因为因为 ,则则又又 ,则则 ,又又 ,则则又又 ,则则由由x2分布的可加性知分布的可加性知:即即:所以所以例例2.设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本,则统计量则统计量证证:由于统计量由于统计量又因为又因为 ,相互独立相互独立.所以所以 与与 也相互独立。也相互独立。于是于是即即:例例3.设设 ,试确定试确定 服从什么分布。服从什么分布。解解:因为因为 ,存在有存在有 ,且且 相互独立相互独立.使使显见显见于是于是 ,即即:例例4.设设 是来自是来自 ,是来自是来自 的两个独立样本的两
27、个独立样本(即即 与与 相互独立相互独立)设设则统计量则统计量证明证明:由定理知由定理知 ,且且 相互独立相互独立.由正态分布的性质知由正态分布的性质知:即即:又因为又因为:所以所以由于由于 与与 ,与与 相互独立相互独立,所以所以 与与 也相互独立也相互独立.于是于是即即:例例5.设设 是来自是来自 ,是来自是来自 的两个独立样本的两个独立样本,证明证明:其中其中:证明：由定理知：证明：由定理知：则则注注:当当 时时,即即例例6.设总体设总体X服从正态分布服从正态分布N(20,52),总体总体Y服从正态分布服从正态分布 N(10,22),从总体中分别抽取容量为从总体中分别抽取容量为n1=10
28、,n2=8的样本。求的样本。求:(1)样本均值差大于样本均值差大于6的概率；的概率；(2)样本方差比小于样本方差比小于23的概率。的概率。解解:(1)由例由例4知知:于是于是查表查表2得得:,即即:(2)由例由例5知知:,即即于是于是:查附表查附表5得得:即即:例例7.某市有某市有100000个年满个年满18岁的居民岁的居民,他们中他们中10%年收入超年收入超过过1万万,20%受过高等教育受过高等教育,今从中抽取今从中抽取1600人的随机样本人的随机样本,求：求：(1)样本中不少于样本中不少于11%的人年收入超过的人年收入超过1万的概率；万的概率；(2)样本中样本中19%和和21%之间的人受过
29、高等教育的概率。之间的人受过高等教育的概率。解解:(1)引入变量引入变量由题知由题知:,又因为又因为 ,故可近似看成故可近似看成放回抽样放回抽样,相互独立。相互独立。则则 ,(2)同同(1)法法:设设 其中其中由于由于n=1600 较大较大,故由中心极限定理得故由中心极限定理得:且且 ,即为样本中年收入超过即为样本中年收入超过1万的比例。万的比例。答：样本中不少于答：样本中不少于11%的人年收入超过的人年收入超过1万的概率为。万的概率为。样本中样本中19%至至21%的人受过高等教育的概率为。的人受过高等教育的概率为。近似服从近似服从 ,且且 为样本中受过高等教育的比例。为样本中受过高等教育的比
30、例。由题知由题知:测试题A一填空题。一填空题。1.若若 ,则则 的概率密度是的概率密度是 。2.设随机变量设随机变量 ,已知已知 ,则则 。3.设随机变量设随机变量X,Y相互独立相互独立,且均服从正态分布且均服从正态分布N(0,32),而而X1,X2,X 9和和Y1,Y2,Y9,分别是来自总体分别是来自总体X和和Y的简单随的简单随机样本机样本,则则 服从服从 分布。分布。二选择题。二选择题。1.设总体设总体X服从自由度为服从自由度为k的的 分布分布,X1,X2,X n是来自是来自2.总体总体X的样本的样本,则则 服从服从 分布分布,且自由度为且自由度为()3.(A)n+k (B)n k (C)
31、(n-1)(k+1)(D)k+n-22.设随机变量设随机变量X服从分布服从分布F(n,n),则则()(A)(B)(C)(D)无法判断无法判断4.设随机变量设随机变量X1,X2,X3,X4是来自正态分布是来自正态分布N(0,22)的样本的样本,则则a=,b=时时,统计量统计量X服从服从 分布分布,其自由度为其自由度为 。三三.计算题。计算题。1.当当 时时,可用近似公式可用近似公式 (其中其中2.是标准正态分布的上是标准正态分布的上 分位点分位点)来计算的值来计算的值,试计试计3.算算2.设设 相互独立且都是来自正态分相互独立且都是来自正态分 布布 ,求求3.设设X1,X2,X16是来自总体是来
32、自总体 的一个样本的一个样本,4.,则则 服从服从()分布。分布。(A)(B)(C)(D)测试题A答案一一.填空题。填空题。1.2.3.4.二二.选择题。选择题。1.B 2.C 3.D三三.计算题。计算题。2.1.测试题B一一.填空题。填空题。1.已知随机变量已知随机变量 X 服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布,则随机变量则随机变量 X2 服从分布服从分布 。2.假设随机变量假设随机变量 ,则则 为为 时满足时满足 3.设设 是来自正态总体是来自正态总体N(0,1)的样本的样本,和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则统计量则统计量 服从服从 。4.设总体设总体
33、 ,而而 是来自总体是来自总体 的简的简5.单随机样本单随机样本,则则 服从分布服从分布 ,参参6.数为数为 。二选择题。二选择题。1.设随机变量设随机变量X 服从自由度为服从自由度为(n,n)的的 F 分布分布,若已知若已知 满满2.足足 ,则则 ()。3.(A)0.95 (B)0.05 (C)0.025 (D)0.9752.设设 是取自总体是取自总体 的样本的样本,则则 是服从是服从()分布。分布。(A)(B)(C)(D)3.设设 是相互独立是相互独立,且均服从且均服从 ,则则 服从服从()分布。分布。(A)(B)(C)(D)三计算题。三计算题。1.若随机变量若随机变量X 是具有自由度为是
34、具有自由度为n1,n2的的F 分布分布,求证求证:2.(1)是具有自由度为是具有自由度为n2,n1的的F 分布分布;3.(2)证明证明 。2.设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布N(60,22),是该总体的是该总体的 一个样本一个样本,试求试求:(1)(2)测试题B答案一填空题。一填空题。1.F(1,n)2.1.145 2.3.t(n-1)4.F(10,5)(10,5)二选择题。二选择题。1.A 2.A 3.B三计算题。三计算题。1.证证(1),即即:2.于是于是(2)因为因为 则则即即:,所以所以2.解解:(1),(2)第六章 小结本章介绍了数理统计的基本概念和基本结论。本章介绍了数理统
35、计的基本概念和基本结论。一一.总体和样本总体和样本对于对于X1,X2,X n为来自总体的简单随机样本有：为来自总体的简单随机样本有：(1)X1,X2,X n相互独立；相互独立；(2)X1,X2,X n均与总体均与总体 X 同分布；同分布；(3)X1,X2,X n为为Y1,Y2,Y n的观察值的观察值,即为样本值。即为样本值。样本均值样本均值 和样本方差和样本方差 是两是两个最重要的统计量个最重要的统计量,对任何总体均有对任何总体均有:二统计量二统计量三抽样分布三抽样分布1.三个重要分布三个重要分布:分布分布,t 分布分布,F 分布。分布。2.常见结论：常见结论：对正态总体对正态总体 ,来自总体
36、来自总体,则则(1)(2)(3)相互独立相互独立(4)第六章 测试题A一填空题。一填空题。1.设总体设总体 分布分布,是来自总体的样是来自总体的样 本本,又又 为样本均值为样本均值,则则n 时才能使时才能使 。2.设设 ,X,Y相互独立相互独立,X1,X2,X n是是X 的样本的样本,Y1,Y2,Y n是是Y 的样本的样本,则则 。3.设总体设总体 ,是来自总体的一个样本是来自总体的一个样本,则则 服从的分布是服从的分布是 。4.已知已知:,则则 。二选择题。二选择题。1.设设 ,未知未知,已知已知,是的样本是的样本,则则 下列是统计量的是下列是统计量的是()。(A)(B)(C)2.设随机变量
37、设随机变量 ,是是X的样本的样本,和和 分别是样本均值和样本方差分别是样本均值和样本方差,则下列正确的是则下列正确的是()。(A)(B)(C)(D)3.设设 样本容量分别为样本容量分别为 ,相互独立相互独立,则有则有()。(A)(B)不相互独立不相互独立 (C)4.设设 是来自是来自 的一个样本的一个样本,则则 ()。(A)(B)(C)三计算题。三计算题。1.设总体设总体 ,是来自总体的样本是来自总体的样本,求求:。2.设设 是来自正态总体是来自正态总体X 的样本的样本,证明统计量证明统计量Z服从自由度为服从自由度为2的的t分布。分布。3.设总体设总体 是来自总体的样本是来自总体的样本,样样
38、本均值为本均值为 ,样本方差为样本方差为 ,欲使欲使 ,则则k 为何值。为何值。测试题A答案一填空题。一填空题。1.2.3.4.二选择题。二选择题。1.A C 2.D 3.A 4.B三计算题。三计算题。1.因为因为 ,所以所以2.证证:设设 ,则则则则 即即:由由 ,(S1样本方差样本方差)知知:时时,.于是于是3.即即:4.由于由于 所以所以测试题B一填空题。一填空题。1.设设 ,其样本均值其样本均值 ,样本方差样本方差 ,则服从自由度为则服从自由度为9的的t 分布的统计量是分布的统计量是T=。2.设设 ,相互独立相互独立,和和 分别是其样本方差分别是其样本方差,则则 服从的分布是服从的分布
39、是 。(样样 本容量分别是本容量分别是n1,n2)3.设设 ,则则X2服从的分布是服从的分布是 。4.已知已知 ,则则 。二选择题。二选择题。1.设设 ,已知已知,未知未知,则下列是统计量的是则下列是统计量的是()。2.(A)(B)3.(C)2.设设 相互独立相互独立,样本容量分别样本容量分别 为为n1,n2,方差已知方差已知,则有则有()。(A)(B)(C)(D)3.设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本,是样本是样本 均值均值,记记 则服从则服从t(n-1)分布的统计量是分布的统计量是()。(A)(B)(C)(D)三计算题。三计算题。1.设总体设总体 ,是来自总体的样本是来自总体的样本,
40、求：求：(1)样本均值样本均值 的数学期望与方差；的数学期望与方差；(2)样本均值样本均值 的概率分布。的概率分布。2.设总体设总体 ,是来自总体的样本是来自总体的样本,记记:,求统计量求统计量 的分布。的分布。4.设设 是取自正态总体是取自正态总体 的一个样本的一个样本,则则 服从的分布是服从的分布是()。(A)t(n)(B)t(n-1)(C)F(n-1,n)(D)F(n,n-1)测试题B答案一填空题。一填空题。1.2.2.3.4.二选择题。二选择题。3.设设 是来自标准正态总体是来自标准正态总体 的样本的样本,求求k使使2.解解:相互独立，且相互独立，且1.(1)2.3.(2)1.A 2.D 3.B 4.B三计算题。三计算题。3.解解:,所以所以所以所以所以所以