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1、第七章 第一节 二重积分第1页，本讲稿共26页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、二重积分的计算四、二重积分的计算(累次积分法累次积分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第七章 第2页，本讲稿共26页解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3
2、页，本讲稿共26页1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，本讲稿共26页4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，本讲稿共26页2.2.平面薄板的质量平面薄板的质量平面薄板的质量平面薄板的质量 有一个平面薄板,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄板的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄板也分为小区域.机动 目录 上页 下页
3、返回 结束 第6页，本讲稿共26页2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，本讲稿共26页两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄板的质量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，本讲稿共26页二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分区域被积函数积分表达式面积微元记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束 第9页，本讲稿共26页引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积微元可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，本讲稿共26页二重积分存在定理二重积分存在定理二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略证明略)定理定理1 1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在D:上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，本讲稿共26页三、二
5、重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，本讲稿共26页特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，本讲稿共26页7.(二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，本讲稿共26页例例例例1.1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束 第15页，本讲稿共26页例例例例2.2.估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，本讲稿共26页8.8.设函数设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，本讲稿共26页四、二重积分的计算四、二重积分的计算以曲顶柱体体积计算为例，设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页
7、返回 结束 第18页，本讲稿共26页且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，本讲稿共26页当被积函数当被积函数均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，本讲稿共26页说明说明说明说明:(1)(1)若积分区域既是若积分区域既是X X 型区域又是型区域又是Y Y 型区域型区域,为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 机动 目录 上页 下页 返回 结
8、束 第21页，本讲稿共26页例例例例1.1.计算计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，本讲稿共26页例例例例2.2.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，本讲稿共26页例例例例3.3.计算计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，本讲稿共26页例例例例4.4.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，本讲稿共26页内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算累次（二次）积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，本讲稿共26页