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1、第一节二重积分概念第1页，本讲稿共24页上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分二重积分三重积分三重积分 重积分应用重积分应用定积分定积分重积分重积分二元函数在平面区域上的积分二元函数在平面区域上的积分三元函数在空间区域上的积分三元函数在空间区域上的积分：一元函数在直线段上的积分一元函数在直线段上的积分第2页，本讲稿共24页v 问题的提出问题的提出v 二重积分的性质二重积分的性质第九章第九章 重积分重积分第一节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质v 二重积分的概念二重积分的概念第3页，本讲稿共24页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一
2、、问题的提出曲顶柱体：曲顶柱体：曲顶柱体：曲顶柱体：顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面底为底为 xoy 面上区域面上区域D，侧面是以，侧面是以D的的边界曲线为准线而母线平行于边界曲线为准线而母线平行于z轴轴的柱面，顶为曲面的柱面，顶为曲面z=f(x,y)的立体的立体D上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页，本讲稿共24页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面（分割区域（分割区域 D,化整为零化整为零）x0yz（局部以平代曲（局部以平代曲,求局部体积的近求局部体积的近似值）似值）D i（1）分割）分割（2）近似）近似（3）求和）求和（积零为整）（积
3、零为整）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 既表示小区域，既表示小区域，也表示其面积）也表示其面积）第5页，本讲稿共24页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面x0yzD i（3）求和）求和（4）取极限取极限（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）V=（分割区域（分割区域 D,化整为零化整为零）（局部以平代曲（局部以平代曲,求局部体积的近求局部体积的近似值）似值）（1）分割）分割（2）近似）近似（积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页，本讲稿共24页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱
4、体的体积曲顶柱体的体积顶：曲面顶：曲面底底侧面侧面x0yzD i（3）求和）求和（4）取极限取极限（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）V=（分割区域（分割区域 D,化整为零化整为零）（局部以平代曲（局部以平代曲,求局部体积的求局部体积的近似值）近似值）（1）分割）分割（2）近似）近似（积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页，本讲稿共24页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积x0yz（3）求和）求和（4）取极限取极限（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）V=（分割区域（分割区域
5、 D,化整为零化整为零）（局部以平代曲（局部以平代曲,求局部体积的求局部体积的近似值）近似值）（1）分割）分割（2）近似）近似（积零为整）（积零为整）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页，本讲稿共24页求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点求平面薄片的质量求平面薄片的质量.),(yx处的面密度为处的面密度为),(yxr r，假定假定),(yxr r在在D上连续，上连续，（1）分割）分割（分割区域（分割区域 D,化整为零化整为零）（2）近似）近似将非均匀小薄片近似看作均匀小薄片，将非均匀小薄片近似看作均匀小
6、薄片，上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 既表示小区域，既表示小区域，也表示其面积）也表示其面积）第9页，本讲稿共24页 （3）求和）求和（积零为整）（积零为整）（4）取极限取极限（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）（令分法无限变细）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页，本讲稿共24页两个问题的共性：两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：解决问题的步骤相同：(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页，本讲稿
7、共24页定义定义将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取点点若存在常数若存在常数 I,使得使得可积可积,在在D上的二重积分上的二重积分.积分和积分和积分区域积分区域被积函数被积函数被积表达式被积表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、二重积分的概念二、二重积分的概念第12页，本讲稿共24页注：注：注：注：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当被积函数当被积函数f(x,y)在积分区域在积分区域D上连续时，二重上连续时
8、，二重积分必存在积分必存在.(3)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分面积元素为面积元素为D D故二重积分可写为故二重积分可写为区域区域 D，这时这时因此，因此，在直角坐标系下在直角坐标系下，上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第13页，本讲稿共24页曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄板的质量平面薄板的质量:由二重积分定义知：由二重积分定义知：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第14页，本讲稿共24页二重积分的几何意义二重积分的几何意义二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当当f(x,y)0时，二重积分是曲顶柱体的体积时，二重积分是曲顶柱
9、体的体积 当当f(x,y)0时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值 若若f(x,y在区域内有正有负在区域内有正有负,二重积分是二重积分是xoy 面上方面上方曲顶柱体的体积与下方曲顶柱体的体积的差值曲顶柱体的体积与下方曲顶柱体的体积的差值上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第15页，本讲稿共24页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质以上两性质统称为以上两性质统称为线性性质线性性质.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第16页，本讲稿共24页性质性质对区域具
10、有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第17页，本讲稿共24页性质性质（估值定理）（估值定理）性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）设设M、m 分别是分别是f(x,y）在闭区域）在闭区域 D 上的上的最大值最大值和最小值，和最小值，为为D的面积，则的面积，则 设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域 D上连续上连续，为为D的面积，的面积，则在则在D上至少存在一点（上至少存在一点（x,h x,h），），使得使得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第18页，本讲稿共24页由性质由性
11、质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点使得使得因此因此上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证:因为函数因为函数 f(x,y)在闭区域在闭区域 D上连续上连续，所以函数所以函数 f(x,y)在闭区域在闭区域 D上有最大值上有最大值M和最小值和最小值m，第19页，本讲稿共24页D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,在区域在区域 D 上上在闭区域在闭区域D上连续上连续,D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 f(x,y)关于关于y 为偶函数，为偶函数，重要技巧：重要技巧：f(x,y)关于关于y 为奇函数，为
12、奇函数，设函数设函数第20页，本讲稿共24页上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭区域在闭区域D上连续上连续,D 关于关于 y 轴对称轴对称,D 位于位于 y 轴右方的部分为轴右方的部分为D1。同理，若函数同理，若函数在区域在区域 D 上上则则f(x,y)关于关于x 为奇函数，为奇函数，则则f(x,y)关于关于x 为偶函数，为偶函数，第21页，本讲稿共24页在第一象限部分在第一象限部分,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则第22页，本讲稿共24页又又例例例例1.1.1.1.估计积分估计积分 的值，的值，解：解：解：解：在区域在区域D上，由于上，由于 其中其中D是矩形域是矩形域所以所以即：即：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第23页，本讲稿共24页解：解：解：解：例例2 比较积分比较积分与与小小,其中其中D是三角形闭区域是三角形闭区域,三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).的大的大区域区域D如图，如图，三角形斜边为三角形斜边为在在D内有内有 故故 于是于是因此因此 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第24页，本讲稿共24页