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1、第七章 量纲分析与相似理论第1页，本讲稿共27页7-1 量纲分析量纲分析一、量纲与单位一、量纲与单位1.1.单位：单位：表征各物理量的大小表征各物理量的大小。如长度单位如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。时间单位小时、分、秒等。质量单位千克、克等质量单位千克、克等2.2.量纲：量纲：表征各物理量单位的种类表征各物理量单位的种类。如如m、cm、mm等同属于长度类，用等同属于长度类，用L表示；表示；小时、分、秒等同属于时间类，用小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；表示；公斤、克等同属于质量类，用公斤、克等同属于质量类，用M表示。表示。第2页，本讲稿共27页3.3.基本量纲和导出量纲
2、基本量纲和导出量纲（1）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。长度量纲长度量纲质量量纲质量量纲时间量纲时间量纲（2）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基本量）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基本量纲的指数乘积来表示纲的指数乘积来表示。力力粘度粘度 速度速度第3页，本讲稿共27页4.4.量纲分类量纲分类（1 1）几何学量纲：）几何学量纲：（2 2）运动学量纲：）运动学量纲：（3 3）动力学量纲：）动力学量纲：（4 4）无量纲数：）无量纲数：第4页，本讲稿共27页二、量纲和谐性原理二、量纲和谐性原理1.1.量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项
3、的量量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。连续性方程连续性方程 伯诺里方程伯诺里方程 2.2.在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和谐的。在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和谐的。动量方程动量方程 第5页，本讲稿共27页三、量纲分析法三、量纲分析法量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物理量之间量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。的量纲和谐性建立各物理量之间的
4、函数关系式的方法。1.瑞利法瑞利法若某一物理过程与若某一物理过程与 个物理量有关，即个物理量有关，即 其中一个物理量其中一个物理量 可以表示成其它物理量的指数乘积形式可以表示成其它物理量的指数乘积形式 无量纲数无量纲数 待定系数待定系数 第6页，本讲稿共27页例例7-1 7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 ，与物体的质量与物体的质量 、速度、速度 和圆周半径和圆周半径 有关，试用瑞有关，试用瑞利法推导离心力公式。利法推导离心力公式。解解 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式根据量纲和谐性，有根据量纲和
5、谐性，有 第7页，本讲稿共27页例例7-2 7-2 由实验得知：恒定有压管流的临界流速由实验得知：恒定有压管流的临界流速 与管径与管径 、流体密度、流体密度 和粘度和粘度 有关，试用瑞利有关，试用瑞利法求出它们之间的关系式。法求出它们之间的关系式。解解 根据已知条件，有以下待定函数关系根据已知条件，有以下待定函数关系根据量纲和谐性有根据量纲和谐性有 第8页，本讲稿共27页2.2.定理法定理法(布金汉法布金汉法)若物理方程为若物理方程为 而这些变量中含有而这些变量中含有m m个基本物理量，则可组合这些变量成为个基本物理量，则可组合这些变量成为(n(n m)m)个无量纲个无量纲数的函数关系，即数的
6、函数关系，即这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征 第9页，本讲稿共27页必须相互独立必须相互独立 表征流体物性：密度表征流体物性：密度 、粘度、粘度 等等 表征几何特性表征几何特性:管径管径 、管长、管长 等等 表征运动特性：速度表征运动特性：速度 、重力加速度、重力加速度 等等 第10页，本讲稿共27页定理法的运用步骤：定理法的运用步骤：（1 1）找出对物理过程有影响的）找出对物理过程有影响的 个物理量，写成函数形式。个物理量，写成函数形式。所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程
7、起作用的各种独立因素因素 （2 2）选出）选出 个相互独立的基本量，一般取个相互独立的基本量，一般取 个个（4 4）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数 、。（3 3）将）将 个基本量依次与其余量组成个基本量依次与其余量组成 个无量纲项个无量纲项（5 5）写出描述该物理过程的关系式）写出描述该物理过程的关系式 第11页，本讲稿共27页例例7-3 7-3 已知圆球的绕流阻力已知圆球的绕流阻力 与流体的密度与流体的密度 和和粘度粘度 、圆球的直径、圆球的直径 、来流的流速、来流的流速 相关，相关，试用试用 定理推导绕流阻力公式。定理推导绕流阻力公式。解解（
8、1 1）建立函数关系式）建立函数关系式（2 2）选取）选取 、为三个基本量，求各为三个基本量，求各 项。项。第12页，本讲稿共27页根据量纲和谐性原理根据量纲和谐性原理 同理同理（3 3）写出无量纲方程）写出无量纲方程 第13页，本讲稿共27页例例7-4 7-4 根据实验，某气体管流现象的物理方程为根据实验，某气体管流现象的物理方程为 压强损失：压强损失：气体密度：气体密度：流速：流速：动力粘度：动力粘度：管径：管径：管长：管长：管壁粗糙度：管壁粗糙度：试用试用 定理推导气体管路压强损失定理推导气体管路压强损失 公式公式。解解 （1 1）取）取 、作为三个基本量，求各作为三个基本量，求各 项项
9、 第14页，本讲稿共27页（2 2）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项结果为）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项结果为（3 3）写出无量纲方程）写出无量纲方程 第15页，本讲稿共27页7-2相似的基本概念相似的基本概念一、几何相似一、几何相似一、几何相似一、几何相似模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。应的夹角相等。长度比尺长度比尺 面积比尺面积比尺 体积比尺体积比尺 第16页，本讲稿共27页二、运动相似二、运动相似二、运动相似二、运动相似两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成
10、比例，即两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即 速度比尺速度比尺 加速度比尺加速度比尺 时间比尺时间比尺 重力加速度比尺重力加速度比尺 第17页，本讲稿共27页三、动力相似三、动力相似三、动力相似三、动力相似两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例例 ，即，即粘性力粘性力粘性力粘性力重力重力重力重力压力压力压力压力弹性力弹性力弹性力弹性力表面张力表面张力表面张力表面张力惯性力惯性力惯性力惯性力力的比尺力的比尺 密度比尺密度比尺 粘度比尺粘度比尺 第18页，本讲稿共27页四、初始条件和边界条件相似四、初始条件
11、和边界条件相似四、初始条件和边界条件相似四、初始条件和边界条件相似1.1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。则失去了意义。3.3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。等于大气
12、压强，固体边界上的法线速度为零等。几何相似是运动相似和动力相似的前提；几何相似是运动相似和动力相似的前提；动力相似是决定流动相似的主要因素；动力相似是决定流动相似的主要因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现。运动相似是几何相似和动力相似的表现。第19页，本讲稿共27页7-3 相似准则相似准则1.1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。作用力的比尺要满足的约束关系。一、牛顿相似准则一、牛顿相似准则 2.2.牛顿相似准则牛顿相似准则惯性力比尺惯性力比尺 力的比尺力的比尺 牛顿数牛顿数 牛顿相
13、似准则是两牛顿相似准则是两个流动动力相似的个流动动力相似的充分与必要条件充分与必要条件 第20页，本讲稿共27页二、动力相似准则二、动力相似准则 1.1.雷诺准则（粘性力准则）雷诺准则（粘性力准则）粘性力比尺粘性力比尺 雷诺数雷诺数 雷诺准则：粘性力起雷诺准则：粘性力起主要作用。主要作用。第21页，本讲稿共27页2.2.佛汝德佛汝德准则（重力准则）准则（重力准则）重力比尺重力比尺 佛汝德数佛汝德数 佛如德准则：重力起主佛如德准则：重力起主要作用。要作用。第22页，本讲稿共27页3.3.欧拉欧拉准则（压力准则）准则（压力准则）压力比尺压力比尺 欧拉数欧拉数 欧拉准则：动压力欧拉准则：动压力起主要
14、作用。起主要作用。第23页，本讲稿共27页4.4.其它其它准则准则韦伯准则（表面张力准则）韦伯准则（表面张力准则）柯西准则（弹性力准则）柯西准则（弹性力准则）马赫准则（弹性力准则）马赫准则（弹性力准则）韦伯数韦伯数 柯西数柯西数 马赫数马赫数 水击、水流诱发振动水击、水流诱发振动超音速气流超音速气流小规模流动，表面小规模流动，表面张力显著张力显著第24页，本讲稿共27页例例7-57-5一潜艇长为一潜艇长为L78m78m，水面航速为，水面航速为13kn,13kn,现用现用1 1：5050的模型在的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖
15、车的拖曳速度。解：实验应按佛汝德准则进行解：实验应按佛汝德准则进行。已知船模长度：已知船模长度：实艇水面航速为：实艇水面航速为：故实验时船模的拖曳速度为：故实验时船模的拖曳速度为：第25页，本讲稿共27页 例例7-6 已知直径为已知直径为15cm的输油管，流量的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度，油的运动粘度p=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度。现用水作模型实验，水的运动粘度m=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得若测得5m长输水管两端的压强水头差长输水管两端的压强水头差 ，试求，试求100m长的输油管长的输油管两端的压强差？两端的压强差？解：（解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则满足雷诺相似准则 因因 ，上式可简化为，上式可简化为第26页，本讲稿共27页 流量比尺流量比尺 ，所以模型中水的，所以模型中水的流量为流量为 （2）流动的压降满足欧拉准则）流动的压降满足欧拉准则 因因 ，则，则5m长输油管两端的压强差为长输油管两端的压强差为 （油柱）（油柱）100m长的输油管两端的压强差长的输油管两端的压强差 （油柱）（油柱）第27页，本讲稿共27页