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1、第七章量纲分析与相似原理第1页，本讲稿共34页第七章第七章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理7.1 7.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性1.1.物理量的量纲物理量的量纲物理量物理量大小大小类别类别导出量纲导出量纲工程单位制工程单位制国际单位制国际单位制英英 制制单位制单位制量纲量纲基本量纲基本量纲量纲幂次式量纲幂次式SISI制中的基本量纲：制中的基本量纲：导出量纲：用基本量纲的幂次表示。导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dim m=M ,dim l=L ,dim t=T 第2页，本讲稿共34页应变率应变率 角速度，角加速度角速度，角加速度 其他量其他量粘度系数粘度系数
2、压强，压力，弹性模量压强，压力，弹性模量力，力矩力，力矩密度，重度密度，重度体积流量，质量流量体积流量，质量流量 速度，加速度速度，加速度 常用量常用量 第3页，本讲稿共34页注：注：为温度量纲为温度量纲（比）焓，内能（比）焓，内能（比）（比）熵熵 导热系数导热系数比热比热表面张力系数表面张力系数功率功率能量，功，热能量，功，热动量，动量矩动量，动量矩惯性矩，惯性积惯性矩，惯性积第4页，本讲稿共34页同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。的幂次应相等，称为量纲齐次性。
3、2.2.量纲齐次性原理量纲齐次性原理常数常数 （沿流线）（沿流线）第5页，本讲稿共34页忽略重力的伯努利方程忽略重力的伯努利方程3.3.物理方程的无量纲化物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）（沿流线）（沿流线）无量纲化伯努利方程无量纲化伯努利方程在无粘性圆柱绕流中在无粘性圆柱绕流中前后驻点前后驻点上下侧点上下侧点其他点其他点柱面上：柱面上：流场中流场中 还与无量纲半径还与无量纲半径 有关有关CDABa以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。第6页，本讲稿共34页7.2 7.2 量纲分析与量纲分析与定理定理量纲分析概念量纲分析概念
4、一个方程中多项量纲必须齐次；一个方程中多项量纲必须齐次；一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按量纲齐次性原理量纲齐次性原理作分作分析。析。类比：角色分析类比：角色分析量纲分析法量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数无量纲参数之间的关系代替有量纲的物之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导
5、理论分析理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。和实验研究。第7页，本讲稿共34页x1=(x 2，x 3,x n)1=f(2,3,n-r)提议用量纲分析的是瑞利（提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉奠定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914):E.Buckingham,1914):7.2.1 7.2.1 定理定理定理定理方方 法法充要条件充要条件n n个物理量个物理量r r个独立个独立基本量基本量n-rn-r个导出量个导出量选选r r个独立个独立基本
6、量基本量组成组成n-rn-r个个独立独立数数量纲分析方法等量纲分析方法等第8页，本讲稿共34页7.2.2 7.2.2 量纲分析法量纲分析法1.1.一般步骤：以圆柱绕流为例一般步骤：以圆柱绕流为例第第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取重复量，取3个）。个）。第第3步、将其余的物理量作为导出量，即步、将其余的物理量作为导出量，即 、分别与基本分别与基本 量的幂次式组成量的幂次式组成表达式表达式(参见例参见例7.2.2)7.2.2)。第第1步、列举所有相关的物理量。步、列举所有相关的物理量。阻力阻力密度密度速度速度 直径直径
7、粘度系数粘度系数选选、V、d 第9页，本讲稿共34页2.量纲分析的优点量纲分析的优点vd第10页，本讲稿共34页不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。关系。例例7.2.27.2.2 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 解：解：1 1列举物理量。列举物理量。p，V，d，l，共，共7 7个个2 2选择基本量：选择基本量：、V、d 3 3列列表达式求解表达式求解数数 1=a V bd cp M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T
8、1)b L c(M L 1 T 2)第11页，本讲稿共34页解得：解得：a=-1,b=-2,c=0（欧拉数，（欧拉数，1/21/2是人为加上去的）是人为加上去的）2=a b b c c M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c(M L 1 T 1)第12页，本讲稿共34页解得：解得：a=b=c=-1(雷诺数雷诺数)3=a V bd cM 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c L 解得：解得：a=b=0，c=-1 第13页，本讲稿共34页（相对粗糙度）（相对粗糙度）4=a V bd c l (同上同上)（几何比数）（几何比数）4列列数方程数方程即即
9、或或第14页，本讲稿共34页不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。例例7.2.2A7.2.2A 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 2选择基本量：选择基本量：、g、h 3列列表达式求解表达式求解数数解：解：1 1列举物理量。列举物理量。Q ,，g，h，共共5个个 M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 2)b L c(L 3 T 1)第15页，本讲稿共34页解得：解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24列列数方程数方程1=f(2)（弧度，无量纲）（弧度，无
10、量纲）第16页，本讲稿共34页或或 讨论：讨论：结果表明结果表明Q与与无关，与无关，与h成成5/25/2次方关系。与例次方关系。与例B4.3.3中的解中的解析式一致，解析式为析式一致，解析式为 对一孔口角已确定的三角堰，对一孔口角已确定的三角堰，(c)式已明确地表达了式已明确地表达了Q与与h的理论关的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。由实验确定由实验确定(c)第17页，本讲稿共34页7.3 7.3 流动相似与相似准则流动相似与相似准则7.3.1 7.3.1 流动相似性流动相似性几何相似几何相似同类现象同类现象相似现象相似现象流动相似流
11、动相似形状相似形状相似尺度成比例尺度成比例遵循同一方程遵循同一方程物理量成比例物理量成比例尺度成比例尺度成比例时间成比例时间成比例速度成比例速度成比例力成比例力成比例几何相似几何相似时间相似时间相似运动相似运动相似动力相似动力相似第18页，本讲稿共34页7.3.2 7.3.2 相似准则相似准则1.矩形相似矩形相似称为相似准则数或无量纲边长。称为相似准则数或无量纲边长。2.流动相似流动相似几何相似准则数：几何相似准则数：运动相似准则数：运动相似准则数：动力相似准则数：动力相似准则数：（为惯性力）为惯性力）当当F 为粘性力，为粘性力，为粘性流动动力相似准则数为粘性流动动力相似准则数当当F 为重力，
12、为重力，为重力流动动力相似准则数为重力流动动力相似准则数第19页，本讲稿共34页7.4 7.4 相似准则数的确定相似准则数的确定1.量纲分析法量纲分析法对不可压缩粘性流体的流动：对不可压缩粘性流体的流动：，V，l，g，p，雷诺数雷诺数 佛鲁德数佛鲁德数 欧拉数欧拉数 斯特哈尔数斯特哈尔数 优点：优点：适用未知物理方程的流动。适用未知物理方程的流动。缺点：缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。选准物理量较难，物理意义不明确。第20页，本讲稿共34页2.方程分析法方程分析法以以N-S 方程方程x 方向的投影式为例方向的投影式为例 (B5.4.2)代入代入(B5.4.2)式得式得 令令第21页，本讲
13、稿共34页根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准则数。根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准则数。与流体微元尺度相应的特征物理量与流体微元尺度相应的特征物理量 l与流体微元速度相应的特征速度与流体微元速度相应的特征速度 V与流体微元质量相应的特征质量与流体微元质量相应的特征质量 与流体微元粘性相应的粘度系数与流体微元粘性相应的粘度系数 与流体微元压强相应的压强差与流体微元压强相应的压强差 与流体微元不定常运动相应的特征角速度与流体微元不定常运动相应的特征角速度3.3.物理法则分析法物理法则分析法优点：导出的相似
14、准则数物理意义明确；优点：导出的相似准则数物理意义明确；缺点：不能用于未知物理方程的流动。缺点：不能用于未知物理方程的流动。无量纲方程既适用于模型也适用于原型。无量纲方程既适用于模型也适用于原型。第22页，本讲稿共34页迁移惯性力迁移惯性力粘性力粘性力重力重力3.物理法则分析法物理法则分析法迁移惯性力迁移惯性力压差力压差力不定常惯性力不定常惯性力优点优点：导出的相似准则数物理意义明确；：导出的相似准则数物理意义明确；适用于未知物理方程的流动适用于未知物理方程的流动。缺点缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。第23页，本讲稿共34页7.5 7.5
15、 常用的相似准则数常用的相似准则数1.Re 数数(雷诺数雷诺数)低雷诺数粘性流动低雷诺数粘性流动平板边界层平板边界层 外流速度外流速度 距前缘距离距前缘距离钝体绕流钝体绕流 来流速度来流速度 截面宽度截面宽度圆管流动圆管流动 平均流速平均流速 管直径管直径 V l区分粘性流动层流与湍流态区分粘性流动层流与湍流态边界层外无粘流边界层外无粘流边界层内以边界层内以 为界区分层流与湍流态为界区分层流与湍流态第24页，本讲稿共34页2.Fr 数数(弗鲁德弗鲁德数数)明渠流明渠流 平均流速平均流速 水深水深水面船舶水面船舶 船舶速度船舶速度 船长船长 V l Fr 数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的
16、无量数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。第25页，本讲稿共34页3.Eu 数数(欧拉数欧拉数)p 可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；V 为特征速度，为特征速度，为流体密度。在描述压强差时，为流体密度。在描述压强差时，Eu数常称数常称为压强系数为压强系数当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强 pv 时，时，Eu 数又称为空泡数或空蚀系数数又称为空泡数或空蚀系数 第26页，本讲稿共34页4Sr数（斯特哈尔数）数（
17、斯特哈尔数）l 为特征长度，为特征长度，V 为特征速度，为特征速度，为脉动圆频率。为脉动圆频率。Wo数（沃默斯利数）数（沃默斯利数）v 为流体的运动粘度系数，为流体的运动粘度系数，Wo 数也称为频率参数表示不定常惯性力与粘数也称为频率参数表示不定常惯性力与粘性力之量级比性力之量级比,用于描述粘性流体脉动流特征。用于描述粘性流体脉动流特征。第27页，本讲稿共34页5Ma数（马赫数）数（马赫数）Ma=V/c V 为特征速度，为特征速度，c 为当地声速。为当地声速。6We 数（韦伯数）数（韦伯数）为液体的表面张力系数。为液体的表面张力系数。We数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液，液液及液固交界
18、数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液，液液及液固交界面上的表面张力作用。面上的表面张力作用。第28页，本讲稿共34页7Ne 数（牛顿数）数（牛顿数）F 为外力，为外力，Ne 数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述运动物体在流体中产生的阻力、数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）功率等等影响。分别称为升力、力矩和（动力机械的）功率等等影响。分别称为阻力系数阻力系数升力系数升力系数 力矩系数力矩系数 动力系数动力系数（D 为动力机械旋转部件的直径，为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）为转速。）第29页，本讲稿共34页1.什么是模型实
19、验？什么是模型实验？7.6 7.6 模型实验与相似原理模型实验与相似原理7.6.1 7.6.1 模型实验模型实验 模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。2 2为什么要进行模型实验？为什么要进行模型实验？科学研究和生产设计需要做
20、模型实验科学研究和生产设计需要做模型实验 ；并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数 值模拟的流动现象都不必模拟实验。值模拟的流动现象都不必模拟实验。并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现 象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但 还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。第30页，本讲稿共34页7.6.2 7.6.2 相似原理相似原理原型现象的
21、原型现象的数方程：数方程：1=f(2,3,n)模型现象的模型现象的数方程：数方程：1m=f(2 m,3 m,n m)2 m=2，3 m=3，n m=n 相似条件：相似条件：相似结果：相似结果：1=1 m 由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为主相似准则数，或简称为主由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为主相似准则数，或简称为主数。数。相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证模型和原型相似理论和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证模型和原型 现象中的主现象中的主数相等，就能保证模型和原型现象相似，并使除主数相等，就能保证模型和原型现象相似，并使除主数外的其他相关
22、数外的其他相关数也相等。数也相等。第31页，本讲稿共34页7.6.3 7.6.3 关于相似原理的讨论关于相似原理的讨论1 1尼古拉兹图与穆迪图比较尼古拉兹图与穆迪图比较 第32页，本讲稿共34页 若要保证若要保证2 2个主个主数均相等，如数均相等，如为保证两主为保证两主数同时相等，应有数同时相等，应有 2 2关于主关于主数数 由由Fr数相等数相等 由由Re数相等数相等设设k=0.1，=0.1 cm2/s，应有，应有m=0.00032 cm2/s。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。无法找到运动粘度系数如此低的实验流体来实现完全相似。造船业上的惯常方法是：保证造船业上的惯常方法是：保证F F数为主数为主数数 作模型实验，然后根据经验作模型实验，然后根据经验对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似对粘性阻力影响作修正处理，称为近似相似。第33页，本讲稿共34页3 3自模性自模性 从穆迪图上可看到，当从穆迪图上可看到，当Re 数达到足够大后，管道流动进入完全粗糙区时，阻力系数数达到足够大后，管道流动进入完全粗糙区时，阻力系数保持常数，与保持常数，与Re无关，而仅与粗糙度有关。这种与主无关，而仅与粗糙度有关。这种与主数无关的流动称为自模性。数无关的流动称为自模性。穆迪利用自模性引入商用管道等效粗糙度概念。穆迪利用自模性引入商用管道等效粗糙度概念。第34页，本讲稿共34页