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1、第七节第七节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、小结七、小结1一、问题的提出近似计算问题近似计算问题实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.2再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?3二、微分的定义定义定义(
2、微分的实质微分的实质)4由定义知由定义知:5三、可微的条件定理定理证证(1)必要性必要性6(2)充分性充分性(定义定义)7例例1 1解解8则有则有自变量的微分自变量的微分,记作记作从而从而记9四、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图)P 以以直直代代曲曲Q10五、微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式112.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则12六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性13例例2解解例例3解解14例例4解解15解：解：例例6
3、 6 例例5 5解解16 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学容称为微分学17例例7 7解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.18七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念导数与微分的联系导数与微分的联系:作业作业 p67 21（2）、（4）19思考题思考题20思考题解答思考题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.21练练 习习 题题2223练习题答案练习题答案2425