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1、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用一、内容概述一、内容概述中值定理包括从特殊到一般的三中值定理包括从特殊到一般的三个定理，分别称作罗尔个定理，分别称作罗尔(Rolle)中值中值定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值定中值定理和柯西理和柯西(Cauchy)中值定理。中值定理。二、二、Rolle Rolle 定理的条件的讨论定理的条件的讨论 （1 1）罗尔定理的条件缺一不可）罗尔定理的条件缺一不可.例例2例例3（2）罗尔定理的条件之一不满足其结论仍成立）罗尔定理的条件之一不满足其结论仍成立 例如例如在在x=0处不可导处不可导在端点处函数值不相等在端点处函数值不相等在闭区间上不连
2、续在闭区间上不连续对以上三个函数对以上三个函数Rolle定理结论均成立定理结论均成立例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,2.图一图一CBAy=f(x)O a byx 2.图二图二f(b)f(a)ABO a bxyf(b)-f(a)b-aD C二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数
3、在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论例例2 2证证例例3 3证证由上式得由上式得例例5证证 分析分析:结论可变形为结论可变形为例例1 设设 在在0，1可导，且可导，且 证明存在证明存在 使使例例2 设设 在在0，1可导，且可导，且 证明存在证明存在 使使几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数例例4 4证证分析分析:结论可变形为结论可变形为四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理
4、罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的注意定理成立的条件条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.罗尔(Rolle)定理，拉格朗日定理，柯西(Cauchy)定理之间的关系定理及关系 条 件 结 论罗尔(Rolle)定理f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b),(a,b)内至少存在一点,f()=0 (ab)f(a)=f(b),拉格朗日定理(Lagrange)f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(a,b)内至少存在一点,柯西(Cauchy)定理f(x)，g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,g(x)0,(a,b)内至少存在一点,g(x)=xf(a)=f(b)