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1、2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/25第六章曲线和曲面(二)2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/252/60主要内容：主要内容：曲线、曲面参数表示的基础知识曲线、曲面参数表示的基础知识常用的参数曲线常用的参数曲线常用的参数曲面常用的参数曲面2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/253/60曲线绘制问题曲线绘制问题给定给定n+1n+1个数据点，个数据点，生成一个曲线，使该曲线与这，生成一个曲线，使该曲线与这些点所
2、描述的形状相符。些点所描述的形状相符。如果要求曲线通过所有的数据点如果要求曲线通过所有的数据点插值问题插值问题用于重建数字化表示的曲用于重建数字化表示的曲线；线；如果要求曲线逼近这些数据点如果要求曲线逼近这些数据点逼近问题逼近问题主要用于设计美观的或符合主要用于设计美观的或符合某种美学标准的曲线；某种美学标准的曲线；解决上述问题的方法：找到一种用小的部分即解决上述问题的方法：找到一种用小的部分即曲线段曲线段来构建曲线的方法，以来构建曲线的方法，以满足设计标准；满足设计标准；-曲线和曲线段可以用曲线和曲线段可以用折线折线代替，即用非常短的线段绘制；代替，即用非常短的线段绘制；用曲线段拟合曲线用曲
3、线段拟合曲线 时，把曲线表示为许多小线段时，把曲线表示为许多小线段 之和，其中之和，其中 称为基（调和）函数；称为基（调和）函数；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/254/60曲线绘制问题曲线绘制问题基函数要用于计算和显示，因此经常选择多项式作为基函数。基函数要用于计算和显示，因此经常选择多项式作为基函数。次多项式有下列形式，此多项式由它的次多项式有下列形式，此多项式由它的n+1n+1个系数决定：个系数决定：连续分段连续分段n n次多项式次多项式 是是k k个多项式个多项式 的集合，每个多项式是的集合，每个多项式是n n阶，阶，且
4、有且有k+1k+1个节点个节点 ，即：，即：上式要求多项式在节点处连续，即上式要求多项式在节点处连续，即 但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点；但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点；多项式的阶数多项式的阶数：-高阶多项式有摇摆特性高阶多项式有摇摆特性曲线绘制时不是很有用；曲线绘制时不是很有用；-最有用的分段多项式为最有用的分段多项式为3 3阶多项式：原因：阶多项式：原因：达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是3 3；表示三维曲线所需的最小数字是表示三维曲线所需的最小数字是3 3；2004Dept.of Computer Sc
5、ience and Engineer2022/10/255/60常用的参数曲线常用的参数曲线Bezier曲线曲线B样条曲线样条曲线非均匀有理非均匀有理B样条（样条（NURBS）曲线）曲线常用参数曲线的等价表示常用参数曲线的等价表示2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/256/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线19621962年，法国雷诺汽车公司的年，法国雷诺汽车公司的19721972年，年，UNISURFUNISURF系统系统定义：定义：-一种以一种以逼近逼近为基础的参数曲线；为基础的参数曲线；-由一组折线集，或由
6、一组折线集，或BezierBezier特征多边形定义；特征多边形定义；-曲线的起点、终点与多边形起点、终点曲线的起点、终点与多边形起点、终点重合重合；-多边形的多边形的第一个边第一个边与与最后一个边最后一个边表示了曲线表示了曲线在起点和终点的在起点和终点的切矢量切矢量方向；方向；-形状形状趋于趋于特征多边形特征多边形的形状；的形状；-给定空间给定空间n+1n+1个点的位置矢量：个点的位置矢量：PiPi，则，则BezierBezier曲线各点坐标的插值公式：曲线各点坐标的插值公式：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/257/60常用的
7、参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BernsteinBernstein基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：BernsteinBernstein调和函数的性质：调和函数的性质：-1 1）正性：）正性：当满足当满足 时：时：当满足当满足 时：时：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/258/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BernsteinBernstein调和函数的性质：调和函数的性质：-2 2）权性：）权性：-3 3）对称性：）对称性：-4 4）递推性
8、：）递推性：高次高次BernsteinBernstein调和函数可由两个低一次调和函数可由两个低一次BernsteinBernstein调和函数线性组合而成；调和函数线性组合而成；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/259/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BernsteinBernstein调和函数的性质：调和函数的性质：-5 5）导函数：）导函数：三次Bernstein调和函数曲线2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2510/60常用的参数曲线常用
9、的参数曲线 Bezier曲线曲线-6）降阶公式）降阶公式:-7 7）升阶公式）升阶公式:-8）积分）积分:-9）最大值）最大值:在在t=i/nt=i/n处取得最大处取得最大值值-10）线性无关性）线性无关性 是是n n次多项式空间次多项式空间的一组基函数，的一组基函数，2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2511/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：-1 1）端点性质：）端点性质：A)A)端点位置矢量：端点位置矢量：-BezierBezier曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的
10、起点、曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合；终点重合；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2512/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：B)B)切矢量：切矢量：-BezierBezier曲线的起点、终点的切线方向与其相应的特征多边曲线的起点、终点的切线方向与其相应的特征多边形的第一条边及最后一条边的形的第一条边及最后一条边的走向一致走向一致；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2513/60常用的参数曲
11、线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：C)C)曲率：曲率：-BezierBezier曲线在端点处的曲线在端点处的r r阶导数，只与（阶导数，只与（r+1r+1）个相邻点有）个相邻点有关，与更远的点无关；关，与更远的点无关；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2514/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：D)rD)r阶导函数的差分表示：阶导函数的差分表示：-N N次次BezierBezier曲线的曲线的r r阶导函数可用差分公式表示为阶导函数可用
12、差分公式表示为：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2515/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：-2 2）对称性：）对称性：若保持原若保持原BezierBezier曲线的全部定点位置不变，仅把曲线的全部定点位置不变，仅把次序颠倒次序颠倒，形成新的顶，形成新的顶点；点；则新则新BezierBezier曲线曲线形状不变形状不变，只是，只是走向相反走向相反；-BezierBezier曲线及其特征多边形在起点曲线及其特征多边形在起点处的处的几何性质几何性质与终点处相同；与终点处相同；2
13、004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2516/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：-3 3）凸包性：）凸包性：1 1）说明当）说明当t t在在0 0与与1 1区间变化区间变化时，对某个时，对某个t t值，值，C C（t t）是）是特征多边形各项点特征多边形各项点PiPi的的加加权平均权平均，权因子依次是，权因子依次是Bi,n(t);Bi,n(t);2 2）在几何图形上，）在几何图形上，BezierBezier曲线是曲线是PiPi各点的各点的凸线性组凸线性组合合，并且各点均落在特征，
14、并且各点均落在特征多边形的凸包之中多边形的凸包之中；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2517/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线Bezier曲线的性质：曲线的性质：-4 4）几何不变性：）几何不变性：几何特性不随一定的坐标变换而变化的性质几何特性不随一定的坐标变换而变化的性质BezierBezier曲线的位置与形状仅与特征多边形的定点位置有关，不依赖坐标曲线的位置与形状仅与特征多边形的定点位置有关，不依赖坐标系的选择；系的选择；即：即：-5 5）变差缩减性：）变差缩减性：如如BezierBezier曲线的特征
15、多边形是一个平面图形，则直线与曲曲线的特征多边形是一个平面图形，则直线与曲线的交点个数线的交点个数 该直线和特征多边形的交点个数该直线和特征多边形的交点个数变差缩减性变差缩减性；说明说明BezierBezier曲线比特征多边形的波动小曲线比特征多边形的波动小BezierBezier曲线比特征多边形所曲线比特征多边形所在的折线更光顺在的折线更光顺；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2518/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示：曲线的矩阵表示：-一次一次BezierBezier
16、曲线曲线-一次一次BezierBezier曲线是连接起点与终点的直线段曲线是连接起点与终点的直线段；-二次二次BezierBezier曲线曲线二次二次BezierBezier曲线对应一条多边形起点与终点的抛物线；曲线对应一条多边形起点与终点的抛物线；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2519/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示：曲线的矩阵表示：-三次三次BezierBezier曲线曲线2004Dept.of Computer Science and Engineer2022
17、/10/2520/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示：曲线的矩阵表示：-n n次次BezierBezier曲线曲线给定空间给定空间n+1n+1个点，则个点，则n n次次BezierBezier曲线的矢量方程：曲线的矢量方程：工程实践中常用的工程实践中常用的BezierBezier曲线为二、三次曲线为二、三次。2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2521/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的分割递推曲线的分割递推Casteljau
18、Casteljau算法：算法：-如何生成如何生成BezierBezier曲线上的点？曲线上的点？利用三次曲线矩阵公式产生曲线上点的方法：利用三次曲线矩阵公式产生曲线上点的方法：-不通用、计算量大不通用、计算量大CasteljauCasteljau算法：原理：算法：原理：给定参数给定参数 ,求求 tP(t)2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2522/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的分割递推曲线的分割递推CasteljauCasteljau算法：算法：-算法算法-计算过程计算过程20
19、04Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2523/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线算法的几何解释：算法的几何解释：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2524/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的拼接及其连续性：曲线的拼接及其连续性：-目的：目的：将两条将两条BezierBezier曲线按照一定的连续条件连接起来，如图所示，曲线按照一定的连续条件连接起来，如图所示，要求前条曲线的终点与后条曲线的起点重合，即满足
20、要求前条曲线的终点与后条曲线的起点重合，即满足 连续；连续；-满足满足 连续的充要条件：连续的充要条件：-满足满足 连续的充要条件连续的充要条件：在：在 连续连续的前提下满足两个条件：的前提下满足两个条件：-1 1）密切平面重合，副法线矢量同向；）密切平面重合，副法线矢量同向；-2 2）曲率相等；）曲率相等；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2525/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线反算反算BezierBezier曲线控制点：曲线控制点：-目的目的：根据给定的曲线型值点：根据给定的曲线型值点 求求Bezier
21、Bezier曲线的控制点曲线的控制点 -方法方法：取参数取参数t=i/nt=i/n与点与点 对应，反算对应，反算 ；设设 在曲线在曲线 上，且有：上，且有：则可得下列则可得下列n+1n+1个方程组成的线性方程组：个方程组成的线性方程组：求解方程，可得求解方程，可得 ，即为过，即为过 的的BezierBezier多边形的顶点多边形的顶点2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2526/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的升阶：曲线的升阶：-目的：目的：对曲线做修改时，可以通过增加控制点以实现
22、对曲线的对曲线做修改时，可以通过增加控制点以实现对曲线的灵活控制灵活控制，而不改变原有曲线的形状而不改变原有曲线的形状；-方法方法：对原有曲线进行：对原有曲线进行升阶升阶，如图，将原有，如图，将原有4 4个控制点变为个控制点变为5 5个点；个点；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2527/60常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线-上式说明：上式说明：1 1）新的控制点）新的控制点P P是对老的特征多边形在参数是对老的特征多边形在参数i/(n+1)i/(n+1)处进行线性插值的结处进行线性插值的结果；果；2 2）升阶后
23、的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内；）升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内；3 3）升阶后的特征多边形更靠近）升阶后的特征多边形更靠近BezierBezier曲线；曲线；BezierBezier曲线的降阶：曲线的降阶：-同理可以推导出曲线的降阶公式；同理可以推导出曲线的降阶公式；有理有理BezierBezier曲线：曲线：目的目的:更好的控制曲线的形状；更好的控制曲线的形状；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2528/60常用的参数曲线常用的参数曲线Bezier曲线曲线B样条曲线样条曲线非均匀有理非均匀有理B样条（
24、样条（NURBS）曲线）曲线常用参数曲线的等价表示常用参数曲线的等价表示2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2529/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线目的：目的：解决解决BezierBezier曲线的不足（曲线的不足（19721972年，年，Gordon,RiesenfeldGordon,Riesenfeld扩展扩展BezierBezier曲线）；曲线）；1)1)控制多边形的顶点个数决定了控制多边形的顶点个数决定了BezierBezier曲线的阶次曲线的阶次,n,n较大时特征多边较大时特征多边形对曲线的控制减弱形对曲
25、线的控制减弱;2)2)调和函数在整个区间内均不为零调和函数在整个区间内均不为零不能作局部修改不能作局部修改；方法方法：用：用B B样条函数代替样条函数代替BernsteinBernstein函数，从而：函数，从而：-1 1）改进了）改进了BezierBezier特征多边形与特征多边形与BernsteinBernstein多项式多项式次数相关次数相关的问题；的问题；-2 2）克服了）克服了BezierBezier曲线曲线整体逼近整体逼近的缺点；的缺点；均匀均匀B B样条函数的定义：样条函数的定义：-已知有已知有n+1n+1个控制点的特征多边形，其顶点为：个控制点的特征多边形，其顶点为：-则可以定
26、义则可以定义L L1 1段段k-1k-1次的参数曲线。次的参数曲线。其中：其中：L=n-L=n-（k k1 1）2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2530/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线其中其中 为基函数，可以定义如下递归函数：为基函数，可以定义如下递归函数：上式等价为：上式等价为：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2531/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线参数说明：参数说明：k k是曲线的阶数，是曲线的阶数，k k1 1为为B B样
27、条曲线的次数，曲线在连接点处具有样条曲线的次数，曲线在连接点处具有(k-2)(k-2)阶连续；阶连续；是节点值，是节点值，构成了构成了k k次次B B样条曲线的节样条曲线的节点矢量，节点是非减序列；且：点矢量，节点是非减序列；且：节点矢量节点矢量：分为三种类型：分为三种类型：均匀的均匀的，均匀非周期的均匀非周期的和和非均匀的非均匀的；-节点沿参数轴均匀等距分布，即节点沿参数轴均匀等距分布，即 =常数时，常数时，均匀均匀B B样条函数样条函数；-节点沿参数轴分布不等距，即节点沿参数轴分布不等距，即 常数时，常数时，非均匀非均匀B B样条函数样条函数。1 1均匀周期性均匀周期性B B样条曲线样条曲
28、线-T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)-T=(0,1,2,3,4,5,6,7)T=(0,1,2,3,4,5,6,7)-均匀均匀B B样条的基函数呈周期性：样条的基函数呈周期性：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2532/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-均匀周期性均匀周期性二二 次（三阶）次（三阶）B B样条曲线样条曲线取取k k1=21=2，n=3n=3-k k1=2,n=31=2,n=3i=0,1,2i=0,1,2
29、2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2533/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-二次二次B B样条曲线表达式可以表示如下：样条曲线表达式可以表示如下：-一般化的形式：一般化的形式：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2534/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线曲线的起点和终点值：曲线的起点和终点值：均匀二次均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：样条曲线起点和终点处的导数：2004Dept.of Computer Science and Eng
30、ineer2022/10/2535/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线结论：-对于由任意数目的控制点构造的二次周期性对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B B样条曲线，曲样条曲线，曲线的起点位于头两个控制点之间，终点位于最后两个控制线的起点位于头两个控制点之间，终点位于最后两个控制点之间；点之间；-对于高次多项式，起点和终点是对于高次多项式，起点和终点是m-1m-1个控制点的加权平均值个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。-由不同节点矢量构成的均匀由不同节点矢量构成的均匀B B样条函数所描绘的形状
31、相同，样条函数所描绘的形状相同，可以看成是一个可以看成是一个B B样条函数的简单平移；样条函数的简单平移；-在构造每个线段时，采用均匀在构造每个线段时，采用均匀B B样条函数比用非均匀样条函数比用非均匀B B样条样条函数工作量小，且外形设计的效果差别不大；函数工作量小，且外形设计的效果差别不大；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2536/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线2 2均匀非周期均匀非周期B B样条曲线样条曲线-节点矢量定义为：节点矢量定义为：令令L=n L=n k(n k(n为控制点数目为控制点数目)，从，
32、从0 0开始，按开始，按titi+1titi+1排列。排列。-均匀非周期二次（三阶）均匀非周期二次（三阶）B B样条曲线样条曲线设设k=2k=2，n=6n=6，节点矢量为：，节点矢量为：T=(t0,t1,T=(t0,t1,tL+2k+1)=(t0,t1,tL+2k+1)=(t0,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t9)=(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t9)=(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2537/60常用的常用的参数
33、曲线参数曲线 B B样条曲线2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2538/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线B B样条曲线的性质样条曲线的性质-1 1局部可控性局部可控性B B样条的基函数是一个分段样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数变化范围内，每个基函数在数在 到到 的子区间内的子区间内函数值不为零，在其余区函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该间内均为零，通常也将该特征称为特征称为局部支柱性局部支柱性。因此因此，每移动一个顶点时，每移动一个顶点时，只对其中
34、的一段曲线有影只对其中的一段曲线有影响，并不对整条曲线产生响，并不对整条曲线产生影响。影响。tk Tk+m2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2539/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-样条的凸组合性质样条的凸组合性质B B样条的凸组合性和样条的凸组合性和B B样条基函数的数值均大于或等于样条基函数的数值均大于或等于0 0保证了保证了B B样条曲线样条曲线的凸包性，即的凸包性，即B B样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。2004Dept.of Computer Scie
35、nce and Engineer2022/10/2540/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线B B样条曲线的性质样条曲线的性质-3.3.连续性连续性B B样条曲线在样条曲线在 处有处有L L重节点的连续性不低于（重节点的连续性不低于（k kL L）次，）次，整条曲线的连续性不低于（整条曲线的连续性不低于（k kLmaxLmax）次，其中）次，其中LmaxLmax是区间是区间 内内的最大重节点数；的最大重节点数；B B样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关。样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关。2004Dept.of Computer Science and Engineer20
36、22/10/2541/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线B B样条曲线的性质样条曲线的性质-4.4.导数导数；B B样条曲线的导数可用其低样条曲线的导数可用其低阶的阶的B B样条基函数样条基函数和和定点矢定点矢量的差商序列量的差商序列的线性组合的线性组合表示。表示。可以证明，可以证明，k k次次B B样条曲线样条曲线段之间达到段之间达到k-1k-1次的连续性；次的连续性；-5.5.几何不变性：几何不变性：形状和位置与形状和位置与坐标系的选择无关坐标系的选择无关；-6.6.变差缩减性：变差缩减性：平面内任一直平面内任一直线与曲线的交点个数不多于该线与曲线的交点个数不多于该直线与特征
37、多边形的交点个数；直线与特征多边形的交点个数；-7.7.造型的灵活性；造型的灵活性；用用B B样条曲线可构造直线段、样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况：尖点、切线等特殊情况：通过选择控制点的位置和通过选择控制点的位置和节点的重复数节点的重复数。2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2542/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线B B样条曲线的矩阵表示样条曲线的矩阵表示一次一次B B样条曲线的矩阵表示样条曲线的矩阵表示-设空间设空间n+1n+1个定点的位置矢量，每两个相邻点可以构造出一段一次个定点的位置矢量，每两个相
38、邻点可以构造出一段一次B B样条曲样条曲线，线，B B样条基函数是样条基函数是 ，则每两段相关的一次，则每两段相关的一次B B样条曲线可样条曲线可以表示为：以表示为：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2543/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线二次二次B B样条曲线的矩阵表示样条曲线的矩阵表示-二次二次B B样条基函数的矩阵式可以表示为：样条基函数的矩阵式可以表示为：-设空间有设空间有 个顶点：个顶点：，则相邻的每三个顶点可构造一，则相邻的每三个顶点可构造一段二次段二次B B样条曲线，其中第样条曲线，其中第i i段可
39、以表示成段可以表示成(如图如图)：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2544/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-其中：其中：1 1）端点位置矢量：）端点位置矢量：2 2）端点一阶导数矢量：）端点一阶导数矢量：且：且：说明曲线段在起、终点的一阶导数矢量分别和两条边矢量重合，说明曲线段在起、终点的一阶导数矢量分别和两条边矢量重合，且在节点处的一阶导数矢量连续。且在节点处的一阶导数矢量连续。3 3）端点二阶导数矢量：）端点二阶导数矢量：即曲线段的二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量即曲线段的二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢
40、量 和和 所成的对角线矢量。所成的对角线矢量。4 4）若）若 三个顶点位于同一条直线上，三个顶点位于同一条直线上，蜕化为蜕化为 直线边上的一段直线，并使直线边上的一段直线，并使 曲线段切于曲线段切于 处，若要处，若要使二次使二次B B样条线段过端点，或得到一个尖点，还需要有二重控制点。样条线段过端点，或得到一个尖点，还需要有二重控制点。2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2545/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线三次三次B B样条曲线的矩阵表示：样条曲线的矩阵表示：-若从空间若从空间n+1n+1个顶点个顶点 中每次取
41、相邻的四个顶点，可构造中每次取相邻的四个顶点，可构造 出出一段三次一段三次B B样条曲线，其相应的基函数是：样条曲线，其相应的基函数是：-三次三次B B样条基函数的矩阵表示为：样条基函数的矩阵表示为：-相邻两段三次相邻两段三次B B样条曲线可表示为：样条曲线可表示为：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2546/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-因此，第因此，第i i段三次段三次B B样条曲线可写成：样条曲线可写成：-对应的矩阵式是：（如图）对应的矩阵式是：（如图）2004Dept.of Computer Scien
42、ce and Engineer2022/10/2547/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线其中：其中：-1 1）端点位置矢量端点位置矢量：曲线起点位于曲线起点位于 中线中线 的的1/31/3处，终点位于处，终点位于 中线中线 的的1/31/3处。处。-2 2）端点切矢量端点切矢量：曲线在始点处的切矢量平行于曲线在始点处的切矢量平行于 的边，其模长为该边长的的边，其模长为该边长的1/21/2，终点处，终点处的切矢量平行于的切矢量平行于 的边，其模长为该边长的的边，其模长为该边长的1/21/2。由于前一段曲线的终。由于前一段曲线的终点是下一段曲线的起点，而且具有相同的三角形，因此，几
43、何上可见两段曲线在点是下一段曲线的起点，而且具有相同的三角形，因此，几何上可见两段曲线在节点处具有相同的一阶导数矢量。节点处具有相同的一阶导数矢量。-3 3）端点的二阶导数矢量端点的二阶导数矢量：曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成平行四边形的对角线。曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成平行四边形的对角线。由于终点处的平行四边形和下一段曲线在始点处的平行四边形相同，因此，三次由于终点处的平行四边形和下一段曲线在始点处的平行四边形相同，因此，三次B B样条曲线在节点处有二阶导数连续。样条曲线在节点处有二阶导数连续。2004Dept.of Computer Scienc
44、e and Engineer2022/10/2548/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-4 4）若）若 三点共线，三次三点共线，三次B B样条曲线将产生拐点，若样条曲线将产生拐点，若 四点共线，则四点共线，则 变成一条直线段；若变成一条直线段；若 三点重合，则三点重合，则 通过通过 点。点。因此，利用三次因此，利用三次B B样条的顶点重合会产生应用需要的样条的顶点重合会产生应用需要的多种曲线。多种曲线。2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2549/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线B B样条曲线的分割和
45、节点插入算法样条曲线的分割和节点插入算法-1 1）deBoordeBoor分割算法分割算法K K次次B B样条基函数可由两个相邻的样条基函数可由两个相邻的k-1k-1次次B B样条基函数线性组合而成，利用样条基函数线性组合而成，利用k k次次B B样样条函数的性质，可条函数的性质，可用用deBoordeBoor算法计算曲线段算法计算曲线段C(t)C(t)的值的值，若，若则其递归公式为：则其递归公式为：也可表示成：也可表示成：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2550/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-求曲线上一点坐
46、标的递求曲线上一点坐标的递推过程可以表示成一个推过程可以表示成一个三角形，其几何意义如三角形，其几何意义如图：图：-deBoordeBoor分割算法的实质分割算法的实质是用是用 构成的边切构成的边切 角。角。-从多边形从多边形 开始经过开始经过k k层的切角，层的切角，最后得到曲线最后得到曲线C(u)C(u)上的上的点点P P；程序见：程序见：pp315pp3152004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2551/60常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线反求反求B B样条曲线的控制点及其端点性质样条曲线的控制点及其端点性质-定义：
47、已知一组空间型值点定义：已知一组空间型值点Q Q，找一条找一条k k次次B B样条曲线样条曲线，经过这些型值点，经过这些型值点，即找到与型值点即找到与型值点Q Q相应的相应的B B样条样条特征多项式顶点特征多项式顶点P P。对于型值点与控制点的。对于型值点与控制点的位置矢量之间有关系：位置矢量之间有关系：通过上次，可以求出控制点，但上次有通过上次，可以求出控制点，但上次有n n个方程，有个方程，有n+2n+2个未知数，因此需个未知数，因此需要补充两个边界条件，即要补充两个边界条件，即起点和终点起点和终点；分为以下情况确定起点和终点边界条件：分为以下情况确定起点和终点边界条件：1 1）首末两点过
48、）首末两点过Q1Q1和和QnQn的非周期三次的非周期三次B B样条曲线；样条曲线；2 2）封闭周期的三次）封闭周期的三次B B样条曲线；样条曲线；3 3）端点有二重控制点的三次）端点有二重控制点的三次B B样条曲线；样条曲线；4 4）给定始、终点的切矢量）给定始、终点的切矢量;5 5）给定始、终点的二阶导数矢量）给定始、终点的二阶导数矢量R1R1和和RnRn；2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2552/60常用的参数曲线常用的参数曲线Bezier曲线曲线B样条曲线样条曲线非均匀有理非均匀有理B样条（样条（NURBS）曲线）曲线常用
49、参数曲线的等价表示常用参数曲线的等价表示2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2553/60常用的常用的参数曲线参数曲线 非均匀有理非均匀有理B B样条（样条（NURBSNURBS）曲线）曲线NURBSNURBS方法方法:非均匀有理非均匀有理B B样条（样条（Nonuniform Rational B-SplineNonuniform Rational B-Spline）方法）方法-定义：由分段有理定义：由分段有理B样条多项式基函数定义：样条多项式基函数定义：-例：例：假定用定义在三个控制顶点和开放均匀的节点矢量上的二次（三阶）假定用
50、定义在三个控制顶点和开放均匀的节点矢量上的二次（三阶）B B样条函数来拟合，于是，样条函数来拟合，于是，T=(0,0,0,1,1,1)T=(0,0,0,1,1,1)，取权函数为：，取权函数为：2004Dept.of Computer Science and Engineer2022/10/2554/60常用的常用的参数曲线参数曲线 非均匀有理非均匀有理B B样条（样条（NURBSNURBS）曲线）曲线-有理有理B B样条的表达式为：样条的表达式为：-取不同的取不同的r r值得到各种二次曲线：值得到各种二次曲线：2004Dept.of Computer Science and Engineer2