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1、6.6环环 6.6.1环环的的定定义义6.6.2环环的的性性质质 6.6.1环环的的定定义义设设R是是一一个个非非空空集集合合,其其中中有有加加“+”、乘乘“”两种两种二元代数运算，称（二元代数运算，称（R,+,）为一个环，如果）为一个环，如果1)a+b=b+a，2)a+（b+c）=（a+b）+c，3)R中有一个元素中有一个元素0，适合，适合a+0=a，4)对于对于R中任意中任意a,有有-a,适合适合a+（-a）=0，5)a（bc）=（ab）c，6)a（b+c）=(ab)+(ac)，（a+b）c=(ac)+(bc)。环的例环的例所所有有整整数数在在整整数数的的加加法法与与乘乘法法下下作作成成一
2、一个个环环，叫做叫做整数环整数环。域域上上的的所所有有n阶阶矩矩阵阵在在矩矩阵阵的的加加法法与与乘乘法法下下作作成一个环，叫做成一个环，叫做n阶阶矩阵环矩阵环。域域上上的的所所有有多多项项式式在在多多项项式式加加法法与与乘乘法法下下作作成成一个环，叫做一个环，叫做多项式环多项式环。整整数数模模n的的所所有有剩剩余余类类集集合合在在剩剩余余类类加加法法与与乘乘法下作成一个环。法下作成一个环。所所有有有有理理数数、所所有有实实数数、所所有有复复数数在在数数的的加加法法与与乘乘法法下下都都分分别别作作成成环环，常常称称为为有有理理数数域域、实实数域、复数域数域、复数域。性性质质1用用数数学学归归纳纳
3、法法，分分配配律律可可以推广如下：以推广如下：a（b1+bn）=(ab1)+(abn)，（a1+am）b=(a1b)+(amb)，6.6.2 环环 的的 性性 质质环环 的的 性性 质质性质性质2a（c-b）=(ac)-(ab)，（c-b）a=(ca)-(ba)。证明：证明：由由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac，得得a(c-b)=(ac)-(ab)。同理，同理，(c-b)a=(ca)-(ba)。性质性质3a0=0，0a=0。证明：证明：由性质由性质2，令，令b=c=0，得得a（0-0）=(a0)-(a0)=0，（，（0-0）a=(0a)-(0a)=0，即即,a0=0，0a=0。性
4、质性质4a（-b）=-（ab），），（-a）b=-（ab），（），（-a）（）（-b）=ab。证明：证明：由性质由性质2，令，令c=0，即得即得a（-b）=-（ab），（），（-a）b=-（ab）。）。因此，因此，（-a）（）（-b）=-(-a)b)=-（-（ab）=ab。性质性质5对任意整数对任意整数m，都有都有a（mb）=（ma）b=m（ab）。）。环环 的的 性性 质质性质性质6am+n=aman，（，（am）n=amn。性质性质7在交换环中，有第三指数律：在交换环中，有第三指数律：（ab）n=anbn。性质性质8在交换环中二项式定理成立：在交换环中二项式定理成立：(a+b)n=an+n
5、an-1b+an-2b2+bn。用数学归纳法证明用数学归纳法证明.环环 的的 性性 质质如果环如果环R不只有一个元素而且有一个元素不只有一个元素而且有一个元素1适合对任意适合对任意a R，1a=a1=a则称则称R为含壹环。为含壹环。例例.整数环为含壹环，所有偶数在数整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。的加法和乘法下作成的环不是含壹环。含壹环含壹环性质性质9含壹环含壹环R的壹是唯一确定的。的壹是唯一确定的。证明：证明：若若1、1为为R的两个壹，则的两个壹，则1=11=1。性质性质10设环设环R有有1，则，则10。证明：证明：取取aR,且且a0,则则a0=0,而而a1=a
6、,故故10。性质性质11任意环任意环R均可扩充成一个含壹环均可扩充成一个含壹环R+。证明：证明：令令R+=a+m|aR，mZ。规定：规定：（a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）;（a+m）（）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。则则R+为环，其壹为为环，其壹为0+1。含壹环性质含壹环性质定定义义.若若R是是环环,S是是R的的非非空空子子集集,若若S在在R的的加法和乘法下仍是环加法和乘法下仍是环,则称则称S是是R的子环。的子环。结论：结论：R本身以及本身以及0是是R的两个平凡子环。的两个平凡子环。定定理理6.6.1环环R的的子子集集S作作成成子子环环必必要要而而且且只要，只要，（1）
7、S非空；非空；（2）若若aS，bS，则则a-bS;（3）若若aS，bS，则则abS。子环子环对于环来说，若大环有壹，子环未必对于环来说，若大环有壹，子环未必有壹有壹.如，整数环含如，整数环含1 1，但其子环偶数环不含，但其子环偶数环不含1 1。即使子环有壹，其壹未必与大环的壹即使子环有壹，其壹未必与大环的壹一致一致.见教材见教材224页矩阵环的例子。页矩阵环的例子。子环与大环的关系子环与大环的关系定义定义.若若R是环，是环，a，bR，如果如果a0，b0，但但ab=0，则称则称a，b为为零因子零因子。如。如果果R没有这样的元素，则说没有这样的元素，则说R无零因子。无零因子。无零因子的环称为无零因
8、子的环称为消去环消去环。例例.整数环是消去环，矩阵环不是消去环，整数环是消去环，矩阵环不是消去环，有零因子。比如，有零因子。比如，消去环消去环性质性质12环环R是消去环是消去环iffR中消去律成立。中消去律成立。证明：证明：必要性必要性。如果如果a0,且且ab=ac,那么那么ab-ac=0,即即a（b-c）=0。因环因环R中无零因子中无零因子,而而a0,故必有故必有b-c=0，即即b=c，因此，左消去因此，左消去律成立，同理可证右消去律也成立。律成立，同理可证右消去律也成立。充分性充分性。设消去律成立，即由设消去律成立，即由a0,ab=ac可可推出推出b=c。若若ab=0,而而a0,则则ab=
9、a0,因而由因而由消去律可得消去律可得 b=0。故故R无零因子无零因子,R是消去环。是消去环。消去环的性质消去环的性质性性质质13在在消消去去环环R中中，不不为为0的的元元素素在在加加法法下的周期相同。下的周期相同。证明：证明：(1)若若不不为为0的的元元素素在在加加法法下下的的周周期期都都为为0，则则得证。得证。(2)否否则则，R中中存存在在非非零零元元素素a，a的的周周期期不不是是0，设为，设为m，即即ma=0。任取任取R中非零元中非零元b，消去环的性质消去环的性质则，则，a(mb)=(ma)b=0b=0，又又由由a0，且且R无无零零因因子子知知，mb=0，所所以以b的的周期不是周期不是0
10、，设为，设为n，则，则n|m。另另一一方方面面，(na)b=a(nb)=a0=0，又又由由b0,且且R无零因子知，无零因子知，na=0。而。而a的周期为的周期为m,故故m|n。因此，因此，m=n。由由b的任意性知，在消去环的任意性知，在消去环R中，不为中，不为0的元素的元素在加法下的周期都与在加法下的周期都与a的周期相同。的周期相同。消去环的性质消去环的性质性性质质14在在消消去去环环R中中，不不为为0的的元元素素在在加加法法下下的的周期或为周期或为0或为质数。或为质数。证明：证明：设设aR，a0，且且a的周期为的周期为n，故故na=0。(1)若若n=0，则得证。则得证。(2)否则，只需证否则
11、，只需证n是质数。是质数。消去环的性质消去环的性质用用反反证证法法。设设n不不是是质质数数，则则n=n1n2，且且n11，n21。故。故1n1n，1n2n。显然，显然，n1a，n2aR，由，由a的周期为的周期为n知，知，n1a0，n2a0。而。而（n1a）（）（n2a）=（n1n2）（）（aa）=（na）a=0a=0，故故n1a，n2a为零因子，与为零因子，与R无零因子矛盾。无零因子矛盾。因此，原假设不对，因此，原假设不对，n是质数。是质数。消去环的性质消去环的性质整区整区 有壹无零因子的交换环。有壹无零因子的交换环。理解整区定义理解整区定义是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环。是含壹环（
12、至少两个元素）、消去环、交换环。想证明想证明(R,+,）是整区，需要证明：是整区，需要证明：v（R,+）是是Abel群群;v（R,）是是半群，有壹，半群，有壹，且交换律、消去律成立（无零因子）且交换律、消去律成立（无零因子）;v对对+有分配律有分配律.整区整区例例.整数环、有理数环、实数环、复数环都是整数环、有理数环、实数环、复数环都是整区。整区。例例.实数域上的所有实数域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成的法下作成的n阶矩阵环不是整区：不是交换环，不阶矩阵环不是整区：不是交换环，不是消去环。是消去环。例例.整数模整数模4的所有剩余类集合的所有剩余类集合Z4在剩余类
13、加法在剩余类加法与乘法下作成一个有壹的交换环，但不是整区：与乘法下作成一个有壹的交换环，但不是整区：不是消去环。不是消去环。体体体体设设R为为环环，如如果果去去掉掉0，R的的其其余余元元素素作作成成一一个个乘乘法法群，则称环群，则称环R为体。为体。理解体的定义：理解体的定义：是含壹环（至少两个元素）是含壹环（至少两个元素）、消去环，任意非零元素、消去环，任意非零元素在乘法下有逆，未必是交换环，因此未必是整区。在乘法下有逆，未必是交换环，因此未必是整区。想证明想证明(R,+,）是体，需要证明：是体，需要证明：（R,+）是是Abel群群;（R*,）是是群群;对对+有左右分配律。有左右分配律。例例.
14、整数环不是体。有理数环、实数环、复数环都是体。整数环不是体。有理数环、实数环、复数环都是体。可见，整区未必是体。可见，整区未必是体。结论：结论：假定假定R是无零因子的有限环，且不只有一个元素，是无零因子的有限环，且不只有一个元素，则则R必是一个体。必是一个体。证明：证明：只需证明环只需证明环R中所有非零元做成乘法群。中所有非零元做成乘法群。v由由R中不只有一个元素，知中不只有一个元素，知R*非空。非空。v任任取取a,bR*，即即a0，b0，由由R无无零零因因子子，知知ab0，即即abR*。v由环由环R对乘法适合结合律知对乘法适合结合律知,R*对乘法亦适合结合律。对乘法亦适合结合律。v由由R无零
15、因子知，无零因子知，R*中消去律成立。中消去律成立。v由由R有限，知有限，知R*有限。有限。所以环所以环R中所有非零元做成乘法群，因而是体。中所有非零元做成乘法群，因而是体。域域域域 交换体交换体理解域的定义：理解域的定义：是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环想证明想证明(R,+,）是域，需要证明：是域，需要证明：（R,+）是是Abel群；（群；（R*,）是是Abel群；群；对对+有分配律。有分配律。在域中每一个非零元素都具有两个与之相联系在域中每一个非零元素都具有两个与之相联系的周期，一个是在加法群中的加法周期，一个的周期，一个是在加法群中的加法周
16、期，一个是在乘法群中的乘法周期。是在乘法群中的乘法周期。例例.有理数域、实数域、复数域都是域。有理数域、实数域、复数域都是域。其中每一非零元素的加法周期是其中每一非零元素的加法周期是0（无穷），（无穷），1的的乘法周期是乘法周期是1，-1的乘法周期是的乘法周期是2，此外，其它非，此外，其它非零元的乘法周期为零元的乘法周期为0。在域中，在域中，abab-1-1可以写成可以写成。结论结论1域中所有非零元素都有相同的加法周期，域中所有非零元素都有相同的加法周期，且或为且或为0，或为质数。，或为质数。结论结论2域是整区。域是整区。结论结论3 有限整区是域。有限整区是域。证证法法一一：因因为为有有限限整
17、整区区是是无无零零因因子子的的有有限限环环，且且不不只只有有一一个个元元素素，所所以以有有限限整整区区是是体体。再再由由整整区区是是交交换换环环，知知，有有限限整整区区是是交交换换体体，因此是域。因此是域。证法二：证法二：只需证明整区只需证明整区R中非零元做成乘法群。中非零元做成乘法群。v由由R是整区，知是整区，知R*非空：非空：1R*。v任任取取a,bR*，即即a0，b0，由由R无无零零因因子子，知知ab0，即即abR*。v由由环环R对对乘乘法法适适合合结结合合律律知知,R*对对乘乘法法亦亦适适合合结结合律。合律。vR*有有乘法单位元乘法单位元1。v任任取取aR*，由由R无无零零因因子子知知
18、，R*中中消消去去律律成成立立，再再由由R*有有限限，知知aR*=R*。由由1R*，知知1aR*，即即有有akR*，使使得得aak=1，即即每每个个非非零元在乘法下有逆。零元在乘法下有逆。所以有限整区中非零元做成乘法群，因而是体，所以有限整区中非零元做成乘法群，因而是体，再由整区是交换环，知，有限整区是再由整区是交换环，知，有限整区是域。域。有限域的例有限域的例l设设R=0,1,2,3,4，定义定义R上的运算如下：上的运算如下：a b=a+b(mod5)a b=ab(mod5)则可以证明（则可以证明（R，）是域。是域。证明作为练习证明作为练习1，2，3，4的加法周期是？的加法周期是？1，2，3
19、，4的乘法周期分别是？的乘法周期分别是？l例例.设设Zp是模是模p的剩余类环，的剩余类环，则则Zp是域是域iffp是质数。是质数。证明：证明：必要性。必要性。用反证法。假设用反证法。假设p不是质数，则不是质数，则p=ab，0ap,0bp，于是，于是ab=ab=p=0但但a0，b0，因此，因此，a，b为为Zp的的零因子，与零因子，与Zp是域矛盾。是域矛盾。充分性。充分性。显然，显然，Zp是交换环且有壹：是交换环且有壹：1。故只。故只需证需证Zp不含零因子，则不含零因子，则Zp是有限整区，因此就是有限整区，因此就是域。是域。用反证法。假设用反证法。假设Zp含零因子，即其中存在元含零因子，即其中存在
20、元素素a0，b0，但但ab=0，由由a0，知知p不整除不整除a；由；由b0，知，知p不不整除整除b；再由；再由p是质数，知是质数，知p不整除不整除ab。而由而由ab=ab=0，知，知，p|ab，产生矛盾，产生矛盾，因因此，此，Zp不含零因子。不含零因子。还可以用域的定义来证。还可以用域的定义来证。Zp中非零元的加法周期是？中非零元的加法周期是？四四元元数数 取取三三个个符符号号i，j，k，以以实实数数a，b，c，d为系数而作形式的线性组合为系数而作形式的线性组合a+bi+cj+dk。四元数间运算的规定四元数间运算的规定：（1 1）加法运算）加法运算(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2
21、i+c2j+d2k)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k。四元数体四元数体-是体但不是域的例是体但不是域的例（2 2）乘法运算：）乘法运算：先规定先规定i，j，k之间的乘法：之间的乘法：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j；ji=-k,ik=-j,kj=-i。四元数相乘四元数相乘-按组合律展开再化去按组合律展开再化去i，j，k的乘积而且并项的乘积而且并项（a1+b1i+c1j+d1k）（）（a2+b2i+c2j+d2k）=a1a2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+b1a2i-b1b2+b1c2k-b1d2j+c1a2j-c1b2k-c1c2
22、+c1d2i+d1a2k+d1b2j-d1c2i-d1d2=a1a2-b1b2-c1c2-d1d2+（a1b2+b1a2+c1d2-d1c2）i+（a1c2+c1a2+d1b2-b1d2）j+（a1d2+d1a2+b1c2-c1b2）k在上面加法和乘法之下，所有四元数作成一个环：在上面加法和乘法之下，所有四元数作成一个环：加法加法AbelAbel群，乘法半群，乘对加有分配律。群，乘法半群，乘对加有分配律。有壹：有壹：1+0i+0j+0k任意非任意非0四元数有逆。四元数有逆。设四元数设四元数u=a+bi+cj+dk，定义其共轭四元数为定义其共轭四元数为=abicj-dk则则u=a2+b2+c2+d2。若若u0（即若即若u0+0i+0j+0k），），则则u0，u-1=因此，此环是体，但不是域：因此，此环是体，但不是域：ij=-jiji。子体、子域子体、子域定义定义.体体K的一个子环，若仍为体，则的一个子环，若仍为体，则叫子体；若又为域，则叫叫子体；若又为域，则叫K的子域。的子域。同样，对于域同样，对于域F，也可以有，也可以有F的子环的子环和子域。和子域。例例.整数环是实数域的子环，实数域整数环是实数域的子环，实数域是复数域的子域。是复数域的子域。