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1、1离散数学（二）离散数学（二）环和域环和域环环1 11 1整环整环2 2主要内容主要内容: :环和域的定义环和域的定义重点重点: : 重点和难点重点和难点: :域域3 3域的定义域的定义难点难点: : 一、环一、环环的定义：环的定义：是一代数系统, +和是二元运算，若满足 (1) 是阿贝尔群阿贝尔群(加法群) (2) 是半群半群 (3) 乘运算对加运算+可分配可分配，即对所有a,b,cA有 a (b + c)= a b + a c 和 (b + c) a = (b a) + (c a)称代数结构为环环(ring).例例1 (a) 是个环, 因为是加法群是加法群, 0是么元; 是半群是半群, 乘
2、法在加法上可分配。(b) 是个环, 这里Nk=0, 1, , k-1, k0, +k和k分别是模k加法和模k乘法。 因为因为是阿贝尔群是阿贝尔群, 0是么元是么元;是半群是半群, 对任意元素a, b, cNk, 有又k可交换, 所以,乘法在加法上可分配。)()()(mod()(mod()(mod()(mod()(cabakcakbakcbakcbacbakkkkkkkk一、环一、环定理定理1 1：设为环， 0是加法么元,那么对任意a,b,cR （1） a0 = 0a = 0 (加法么元必为乘法零元) （2） (-a)b = a(-b) = -(ab) （3） (-a)(-b) = ab （4）
3、 a(b-c) = ab-ac （5） (b-c)a=ba-ca其中,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记为a-b。证明证明(3) (-a)(-b) +(- a)b = (-a) (-b) + b = (-b)0=0 (ab) + (- a)b =a+(-a)b = 0b=0 所以 (-a)(-b) = ab (4) a(b-c) = ab+(-c) = ab + a(- c) = ab+-(ac) = ab-ac (5) (b-c)a=b+(- c)a= ba + (-c)a =ba + (-ca) =ba-ca二、环、整环二、环、整环含零因子含零因子/ /无零因子环的定义：无零因子环的
4、定义： 是环, a, bR,若 a0且b0,但是ab=0, 则称是含零因子含零因子环环, a、b称为零因子。不含零因子的环称为无零因子环无零因子环。 为无零因子环为无零因子环a, bR,a0且且b0时必有时必有ab0。 即即ab=0时，有时，有a=0或或b=0定理定理2：环：环是无零因子是无零因子 满足可约律。满足可约律。证明：证明：(1) 必要性：必要性：a, b, cR, 且a0，若ab=ac, 则有ab-ac=0, ab-ac=ab+a(-c)= a(b-c)=0。 由于无零因子，则b=c , 可见满足可约律。(2) 充分性：充分性：b, cR, bc=0, 证明b=0或c=0。 如果b
5、c=0且b0，那么bc=b0，根据可约律可得c=0；如果bc=0且c0，那么bc=0c，根据可约律可得b=0 。可见环无零因子 。二、环、整环二、环、整环整环的定义：整环的定义：是环, (1) 若R上运算可交换的, 称R, +, 是可交换环可交换环;(2) 若R关于运算有么元，称R, +, 是含么环含么环;(3) 如果是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环整环。例例2 (a) 是整环。因为可交换, 1是乘法么元,可约律成立。 二、环、整环二、环、整环整环的定义：整环的定义：是环, (1) 若R上运算可交换的, 称R, +, 是可交换环可交换环;(2) 若R关于运算有么元，称R, +, 是含
6、么环含么环;(3) 如果是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环整环。例例2 (b) 不是整环,因为362=0, 3和2是零因子。但是整环，N7= 0,1,2,3,4,5,6，根据定理定理2，只需证明cbacabaNcba0,777反证：反证：假如bc,不妨设bc,存在整数i, j使得ab=7i+r， ac=7j+r (0=rj)两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0a7, 0b-c7，所以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。三、域三、域域的两个定义：域的两个定义： 如果是整环, |F|1,是群,则是域域(定义定义I) 。 域域也可以如下定义(
7、定义定义II)： (1) 是阿贝尔群， (2) 是阿贝尔群， (3) 乘法对加法可分配。例如 、都是域； 不是域(因为不是阿贝尔群)。三、域三、域域的两个定义的等价性：域的两个定义的等价性：由整环定义容易得出，定义定义I 定义定义II下面证明定义下面证明定义II 定义定义I： (1) F-0知|F-0|0,即|F|1；(2) 是阿贝尔群知是群；(3) 证明是整环。 是环是环：是阿贝尔群；是半群；乘法对加法可分配； 是阿贝尔群,故F- 0上可交换,可知F上上可交换可交换； 是阿贝尔群,可知含么元含么元0； 是阿贝尔群,F-0关于 封闭,即x,yF-0有xyF-0, 即x,yF, x 0,y0,有
8、xy0,也就是说 无零因子无零因子。三、域三、域域一定是整环，但整环不一定是域域一定是整环，但整环不一定是域例如是整环但不是域，因不是阿贝尔群。定理定理2 2 有限整环必定是域。证明证明：设是一个有限整环，为了证明是域，依据域的定义II, 只要证明是阿贝尔群。 是整环，可知是半群，且含有么元，故A关于封闭，可结合，有么元，当然有A-0关于封闭，可结合，有么元。 因此只要说明xA,x-1存在即可。因为A-0有有限个元素，设|A-0|=n，所以x的阶k=n, xk=e, xk-1x=xxk-1=e, 所以 x的逆元x-1= xk-1。 因此因此是阿贝尔群，故是阿贝尔群，故是一个域。是一个域。三、域
9、三、域例例3：是一个域, 当且仅当k是质数。证明证明：必要性必要性(思路：已知思路：已知是一个域，证明是一个域，证明k是质数。我们证是质数。我们证明其逆反命题：若明其逆反命题：若k不是质数，则不是质数，则不是一个域不是一个域)。 若k不是质数,那么k =1或k =ab。k=1时,N1=0。只有一个元素故不是域;k=ab时,则akb=0,a、b是零因子,所以不是域。 充分性充分性(思路：在例思路：在例1(b)中已证明中已证明是一个环，根据域的定义是一个环，根据域的定义II，我们只需证明，我们只需证明是阿贝尔群是阿贝尔群)。(1)对Nk-0中任意元素a和b, akb0, 所以Nk-0对k封闭；(2
10、)k是可结合；(3)运算k的么元是1；(4)k是可交换的； (5)对每一元素对每一元素aNk-0都存在一逆元。都存在一逆元。三、域三、域例例3续：证明续：证明对每一元素对每一元素a aN Nk k-0-0都存在一逆元。都存在一逆元。(反证法反证法) 设b,c是Nk-0中任意两个元素,bc,现证akbakc。 若akb=akc,则ab=nk+r,ac=mk+r 不妨设bc,于是nm,ab-ac = nk-mk a(b-c) = (n-m)k (1) 因a和(b-c)都比k小，而k又是质数,(1)式不可能成立。这样就证明了若bc, 则akbakc。 于是a和Nk-0中的k-1个数的模k乘法,其结果都不相同,但又必须等于1, 2, , k-1中的一个,故必存在一元素b,使akb=1。这就证明了任意元素a存在逆元。作业： P222 习题6.8 1、3、13 、1414谢谢同学们谢谢同学们! !