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1、 环与域环环：环：设设 是具有两个二元运算是具有两个二元运算 和和的代数系统，的代数系统，（1）是交换群是交换群(或阿贝尔群或阿贝尔群)；（2）是半群是半群；（3）运算运算对运算对运算是可分配的是可分配的；则称则称是环。是环。如果：如果：环（2）是环（1）整数环 有理数环 实数环 复数环环交换环：在环中,运算是可交换的。含幺环：在环中,运算有幺元。注：为了区别运算+的幺元与的幺元,通常记+的幺元为，记的幺元为e。根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。布尔环：在环中,运算有等幂律。环所以 a,b,c A,a (b+c)=(a b)+(a c)a (+c)=(a )+(a c)即 a
2、c=(a )+(a c)从而必有a =,即 对是零元。证明：由环的意义,对+是可分配的,如果 为运算+的幺元,取b=,则有：可以证明：+的幺元 恰好是的零元。环无零因子环：既不含左零因子,也不含右零因子的环。左(右)零因子：在环中,如果存在a,b A,a ,b ,但a b=,则称a为A的左零因子,b为A中右零因子。环(1),都是交换环；不是交换环；(2),都是含幺环；“”的幺元分别为1,1,1,1和单位矩阵。(3),是无零因子环,是无零因子环,但不是。环整环：如果是交换环,含幺环，且是无零因子环，则称是整环。域域：设是一个代数系统，且满足：(1)是阿贝尔群；(2)是阿贝尔群；(3)“”对“+”是可分配的；则 称为域。如：,都是域域如：是整环，但不是域。域的性质：域一定是整环；整环不一定是域。因为除 1外，任何整数没有乘法逆元，而不能构成群。域例设S为下列集合，和是数的加法和乘法。(1)(2)(3)(4)问S关于，能否构成整环？能否构成域？为什么？域（1）不是整环也不是域，因为乘法幺元是1，1 。（2）不是整环也不是域，因为数的加法的幺元是0，不是环。(1)(2)域(3)不是环，因为除0外任何正整数x的加法逆元是x，而 ，当然也不是整环和域。(4)是域,逐条验证(自己完成！).(3)(4)THANK YOU