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1、第五章弯曲应力正式本讲稿第一页，共五十四页25-1 引言引言 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件5-5 5-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施第五章第五章第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力本讲稿第二页，共五十四页3mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横
2、截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩弯矩弯矩弯矩MM，又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S。5-1 引言引言FFaaCDAB本讲稿第三页，共五十四页4mmF FS SMmmF FS S mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩.弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应
3、力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力；剪力；剪力；剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力又有切应力又有切应力又有切应力.本讲稿第四页，共五十四页5平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面
4、平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是曲就是曲就是曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各
5、横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.三、纯弯曲三、纯弯曲三、纯弯曲三、纯弯曲+FF+FaFFaaCDAB本讲稿第五页，共五十四页6 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公
6、式 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 本讲稿第六页，共五十四页7一、实验一、实验一、实验一、实验1.1.1.1.变形现象变形现象变形现象变形现象纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为
7、直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线本讲稿第七页，共五十四页82.2.2.2.提出假设提出假设提出假设提出假设1 1 1 1）平面假设：变形前为平面的横截面变形后）平面假设：变形前为平面的横截面变形后）平面假设：变形前为平面的横截面变形后）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维
8、必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层中性层中性层中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴2 2 2 2）纵向纤维间无正应力。）纵向纤维间无正应力。）纵向纤维间无正应力。）纵向纤维间无正应力。本讲稿第八页，共五十四页9应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的
9、应变与它到中性层的距离成正比.d dx x二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系o o b b dxdxMMMMd d o o b b y本讲稿第九页，共五十四页10三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系所以所以所以所以Hookes LawHookes LawMyzOx 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比，即：沿截面高度正应力按直线规律变化。成正比，即：沿截面高度正
10、应力按直线规律变化。成正比，即：沿截面高度正应力按直线规律变化。成正比，即：沿截面高度正应力按直线规律变化。应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径r r r r本讲稿第十页，共五十四页11yzxOMd dA AzyddA A四、静力关系四、静力关系四、静力关系四、静力关系 横截面上内力系为垂直于横截面的空横截面上内力系为垂直于横截面的空横截面上内力系为垂直于横截面的空横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，间平行力系，间平
11、行力系，间平行力系，这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内力分量力分量力分量力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得（1 1）（2 2）（3 3 3 3）本讲稿第十一页，共五十四页12将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1 1 1）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2 2 2）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)
12、(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足（对称轴）自然满足（对称轴）自然满足（对称轴）自然满足（对称轴）本讲稿第十二页，共五十四页13将将将将代入代入代入代入得到得到得到得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截
13、面上任意一点到中性轴的距离；I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩.EIEIz z为梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度.本讲稿第十三页，共五十四页14讨论讨论 （1 1）以）以）以）以中性轴（过形心轴）中性轴（过形心轴）中性轴（过形心轴）中性轴（过形心轴）为界，梁变形后凸出侧的应力为拉应力为界，梁变形后凸出侧的应力为拉应力为界，梁变形后凸出侧的应力为拉应力为界，梁变形后凸出侧的应力为拉应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入侧的应力为压应力（凹入侧的应力为压应力（凹入侧的应力为压应力（凹入侧的应
14、力为压应力（为负号）；为负号）；为负号）；为负号）；（2 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数（3 3）与截面是否矩形无关，但）与截面是否矩形无关，但）与截面是否矩形无关，但）与截面是否矩形无关，但须有纵向对称面须有纵向对称面须有纵向对称面须有纵向对称面，且载荷作用在这，且载荷作用在这，且载荷作用在这，且载荷作用在这个平面内。
15、个平面内。个平面内。个平面内。本讲稿第十四页，共五十四页15（1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy本讲稿第十五页，共五十四页16zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以
16、横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式拉拉拉拉TensionTension压压压压CompressionCompression本讲稿第十六页，共五十四页17 当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力，梁的弯曲当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力，梁的弯曲当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力，梁的弯曲当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力，梁的弯曲称为横力弯曲称为横力弯曲称为横力弯曲称为横力弯曲.5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的
17、横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲 切应力使横截面发生翘曲，切应力使横截面发生翘曲，切应力使横截面发生翘曲，切应力使横截面发生翘曲，引起与中性层平行的纵截面的挤压引起与中性层平行的纵截面的挤压引起与中性层平行的纵截面的挤压引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和纵向纤维间无正应力假设都不成应力，纯弯曲时所作的平面假设和纵向纤维间无正应力假设都不成应力，纯弯曲时所作的平面假设和纵向纤维间无正应力假设都不成应力，纯弯曲时所作的平面假设和纵向纤维间无
18、正应力假设都不成立立立立.本讲稿第十七页，共五十四页18横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、离中横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、离中横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、离中横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、离中性轴最远处：性轴最远处：性轴最远处：性轴最远处：其中，抗弯截面系数为其中，抗弯截面系数为其中，抗弯截面系数为其中，抗弯截面系数为:虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异
19、，但进一步的分析表明，当明，当明，当明，当 时，时，时，时，用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。本讲稿第十八页，共五十四页19二、强度条件二、强度条件二、强度条件二、强度条件1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过
20、材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.本讲稿第十九页，共五十四页202.2.2.2.强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用（2 2 2 2）设计截面）设计截面）设计截面）设计截面（3 3 3 3）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1 1 1）强度校核强度校核强度校核强度校核 注意：注意：注意：注意：对于铸铁等脆性材料制成的梁，材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，材料的以及梁横截面的以及梁横截面的以及梁横截面的以及梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴不是对称轴情况（不是对称
21、轴情况（不是对称轴情况（不是对称轴情况（T T形截面等）形截面等）形截面等）形截面等），所以梁的，所以梁的，所以梁的，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上，如弯矩方向变（两者有时并不发生在同一横截面上，如弯矩方向变（两者有时并不发生在同一横截面上，如弯矩方向变（两者有时并不发生在同一横截面上，如弯矩方向变化）化）化）化）则要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力则要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力则要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力则要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力本讲稿第二十页，共五十四页21例题例题例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图
22、所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板材料的，压板材料的，压板材料的，压板材料的弯曲许用应力弯曲许用应力弯曲许用应力弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力F F.ACBFa2a203014FRA=F/2FRB+Fa解：（解：（解：（解：（1 1）作出弯矩图）作出弯矩图）作出弯矩图）作出弯矩图 最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为FaFa；（2 2）求惯性矩、抗弯截面系数）
23、求惯性矩、抗弯截面系数）求惯性矩、抗弯截面系数）求惯性矩、抗弯截面系数（3 3）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷B截面截面本讲稿第二十一页，共五十四页2280y1y22020120z例题例题例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力为为为为 t t=30MPa =30MPa，许用压应力为许用压应力为许用压应力为许用压应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截面对形心轴已知截面对形心轴已
24、知截面对形心轴已知截面对形心轴z z的惯的惯的惯的惯性矩为性矩为性矩为性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4，y y1 1 =52mm=52mm，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m本讲稿第二十二页，共五十四页23FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kNm2.5kNm解：解：解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y
25、22020120z t t=30MPa=30MPa c c=160MPa=160MPay y1 1 =52mm=52mm梁的强度满足安全要求。梁的强度满足安全要求。梁的强度满足安全要求。梁的强度满足安全要求。本讲稿第二十三页，共五十四页24例题例题例题例题3 3 由由由由 n n 片薄片组成的梁，计算正片薄片组成的梁，计算正片薄片组成的梁，计算正片薄片组成的梁，计算正应力。当每片间的摩擦力甚小时，每应力。当每片间的摩擦力甚小时，每应力。当每片间的摩擦力甚小时，每应力。当每片间的摩擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲。近似地认为每片一薄片就独立弯曲。近似地认为每片一薄片就独立弯曲。近似地认为每片一薄片
26、就独立弯曲。近似地认为每片上承担的外力等于上承担的外力等于上承担的外力等于上承担的外力等于 。zbFlh解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力zbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于本讲稿第二十四页，共五十四页25一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应
27、力1.1.1.1.矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁 5-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件（1 1）两个假设）两个假设）两个假设）两个假设（a a a a）切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；（b b b b）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F2本讲稿第二十五页，共五十四页26（2 2）分析方法）分析方法）分析方法）分析方法（a a）用横截
28、面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截取从梁中截取从梁中截取从梁中截取 d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等.所以两截所以两截所以两截所以两截面同一面同一面同一面同一y y处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；（b b）假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素 mBmB1 1，在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1，nBnB1 1上两个法向上两个法向上两个法向上两个法向 内力不等内力不等内力不等
29、内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnmxyzObdxmmhnyABA1B1ABB1A1mnxzyymmFN2FN1本讲稿第二十六页，共五十四页27mnnmxyzOyABA1B1bdxmmh（c c）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF FS S.故在此面上就有切应故在此面上就有切应故在此面上就有切应故在此面上就有切应力力力力 .根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相
30、等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点各点各点各点的切应力方向均与截面侧边平行的切应力方向均与截面侧边平行的切应力方向均与截面侧边平行的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFSmm本讲稿第二十七页，共五十四页28ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS（3 3）公式推导）公式推导）公式推导）公式推导 假设假设假设假设mm-mm，n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM，两截，两截，两截，两截面上距中性轴面上距中
31、性轴面上距中性轴面上距中性轴 y y1 1 处的正应力为处的正应力为处的正应力为处的正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A1 1为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积.式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A1 1对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.A A1 1本讲稿第二十八页，共五十四页29由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFSA A1 1又因：又因：本讲稿第二十九页，共五十四页30b矩型截
32、面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度.yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩.距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横的横线以外部分横的横线以外部分横的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩.（4 4）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确
33、定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定.mnnmxyzOyABA1B1bdxmmhn根据切应力互等：根据切应力互等：根据切应力互等：根据切应力互等：本讲稿第三十页，共五十四页31y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）=0=0=0=0y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
34、（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，式中，式中，式中，A=bhA=bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.本讲稿第三十一页，共五十四页32z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A*为截面面积为截面面积为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A*2.2.2.2.工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁腹板为狭长矩形。矩形截面切应力分布的两个假设仍然使用，腹板为狭长矩形。矩形截面切应力
35、分布的两个假设仍然使用，腹板为狭长矩形。矩形截面切应力分布的两个假设仍然使用，腹板为狭长矩形。矩形截面切应力分布的两个假设仍然使用，因此腹板上到中性轴距离为因此腹板上到中性轴距离为因此腹板上到中性轴距离为因此腹板上到中性轴距离为y y y y的点的切应力计算公式亦为：的点的切应力计算公式亦为：的点的切应力计算公式亦为：的点的切应力计算公式亦为：HoyxbzhBb b 腹板的厚度腹板的厚度腹板的厚度腹板的厚度本讲稿第三十二页，共五十四页33O 距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截 面面积面面积面面积面面积A A
36、*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.minminozy maxmax maxmax（a a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次）腹板上的切应力沿腹板高度按二次）腹板上的切应力沿腹板高度按二次）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；抛物线规律变化；抛物线规律变化；抛物线规律变化；ydxBzybOH/2h/2本讲稿第三十三页，共五十四页34O minminozy maxmax maxmax（b b）最大切应力在中性轴上）最大切应力在中性轴上）最大切应力在中性轴上）最大切应力在中性轴上,也是整个横截也是整个横截也是整个横截也是整个横截面上的最大切应力面上的最大切应力面上的
37、最大切应力面上的最大切应力.ydxBzybO（c c）腹板最小切应力：）腹板最小切应力：）腹板最小切应力：）腹板最小切应力：（d d）因腹板宽度）因腹板宽度）因腹板宽度）因腹板宽度b b远小于远小于远小于远小于B B本讲稿第三十四页，共五十四页35zy maxmax minmin maxmaxo（e e）翼缘上有平行于）翼缘上有平行于）翼缘上有平行于）翼缘上有平行于F Fs s的切应力分量，也有平行于翼缘宽的切应力分量，也有平行于翼缘宽的切应力分量，也有平行于翼缘宽的切应力分量，也有平行于翼缘宽度的切应力分量，较为复杂，与腹板切应力比较是次要的，度的切应力分量，较为复杂，与腹板切应力比较是次要
38、的，度的切应力分量，较为复杂，与腹板切应力比较是次要的，度的切应力分量，较为复杂，与腹板切应力比较是次要的，因此剪应力强度计算时一般不予考虑。因此剪应力强度计算时一般不予考虑。因此剪应力强度计算时一般不予考虑。因此剪应力强度计算时一般不予考虑。（f f）工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的）工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的）工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的）工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的正应力都很大，因此翼缘承担了截面上的大部分弯矩。正应力都很大，因此翼缘承担了截面上的大部分弯矩。正应力都很大，因此翼缘承担了截面上的大部分弯矩。正应
39、力都很大，因此翼缘承担了截面上的大部分弯矩。本讲稿第三十五页，共五十四页36ydzO假设：假设：假设：假设：（a a）沿宽度）沿宽度）沿宽度）沿宽度k k-kk上各点处的切应力上各点处的切应力上各点处的切应力上各点处的切应力 均汇交于均汇交于均汇交于均汇交于O O 点；点；点；点；（b b）各点处切应力沿）各点处切应力沿）各点处切应力沿）各点处切应力沿y y方向的分量沿方向的分量沿方向的分量沿方向的分量沿 宽度相等宽度相等宽度相等宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周
40、相切.3.3.圆截面梁圆截面梁圆截面梁圆截面梁*本讲稿第三十六页，共五十四页37最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上ydzO式中式中式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积为圆截面的面积为圆截面的面积.4.4.4.4.圆环形截面梁圆环形截面梁圆环形截面梁圆环形截面梁*图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为环壁厚度为环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为环的平均半径为环的平均半径为环的平均半径为r r0 0，由于由于由于由于 r r0 0 故可假设故可假设故可假设故可假设
41、（a a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b b）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切.zyr0本讲稿第三十七页，共五十四页38式中式中式中式中 A A=2=2 r r0 0 为环形截面的面积为环形截面的面积为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为zyr0 maxmax本讲稿第
42、三十八页，共五十四页39二、弯曲切应力的强度条件二、弯曲切应力的强度条件二、弯曲切应力的强度条件二、弯曲切应力的强度条件三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况（1 1 1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，MM 较小，而较小，而较小，而较小，而F FS S较大时较大时较大时较大时,要校核切应力；要校核切应力；要校核切应力；要校核切应力；（2 2 2 2）铆接或焊接的组合截面、腹板较薄（腹板的厚度与高度比小于型钢）铆接或焊接的组合截面、腹板较薄（腹板的厚度与高度比小于型钢）铆
43、接或焊接的组合截面、腹板较薄（腹板的厚度与高度比小于型钢）铆接或焊接的组合截面、腹板较薄（腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值），要校核切应力；的相应比值），要校核切应力；的相应比值），要校核切应力；的相应比值），要校核切应力；（3 3 3 3）各向异性材料各向异性材料各向异性材料各向异性材料(如木材如木材如木材如木材)的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力要校核切应力要校核切应力.本讲稿第三十九页，共五十四页40F例题例题例题例题4 4 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示.起重量起重量起重
44、量起重量(包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重)F F=30 kN.=30 kN.跨长跨长跨长跨长l l=5 =5 m.m.吊车大梁吊车大梁吊车大梁吊车大梁ABAB由由由由20a20a工字钢制成工字钢制成工字钢制成工字钢制成.其许其许其许其许用弯曲正应力用弯曲正应力用弯曲正应力用弯曲正应力 =170MPa,=170MPa,许用弯曲切许用弯曲切许用弯曲切许用弯曲切应力应力应力应力 =100MPa=100MPa，试校核梁的强度，试校核梁的强度，试校核梁的强度，试校核梁的强度.+37.5 kNm5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁，力解：此吊车梁可简化为简支梁，力解：此
45、吊车梁可简化为简支梁，力解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F F 在梁在梁在梁在梁中间位置时有最大正应力中间位置时有最大正应力中间位置时有最大正应力中间位置时有最大正应力 .（a a）正应力强度校核）正应力强度校核）正应力强度校核）正应力强度校核由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得20a20a工字钢的工字钢的工字钢的工字钢的所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为本讲稿第四十页，共五十四页41+FSmax5mABFC（b b）切应力强度校核）切应力强度校核）切应力强度校核）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载
46、在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载F F在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座A A处处处处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中，查型钢表中，查型钢表中，查型钢表中，20a20a号工字钢，有号工字钢，有号工字钢，有号工字钢，有b b=7mm=7mm据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度据此校核梁的切应力强度据此校
47、核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.=100MPa=100MPa本讲稿第四十一页，共五十四页42例题例题例题例题5 5 简支梁简支梁简支梁简支梁ABAB如图所示如图所示如图所示如图所示.l l2m2m，a a0.2m.0.2m.梁上的载荷为梁上的载荷为梁上的载荷为梁上的载荷为q q为为为为10kN/m10kN/m，F F200kN.200kN.材料的许用应力为材料的许用应力为材料的许用应力为材料的许用应力为 =160MPa=160MPa，
48、100MPa100MPa，试选择，试选择，试选择，试选择工字钢型号工字钢型号工字钢型号工字钢型号.解：（解：（解：（解：（1 1）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8 kNm41.8 kNm45 kNm（2 2）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表，选用查型钢表，选用查型钢表，选用查型钢表，选用22a22a工字钢，其工字钢，其工字钢，其工字钢，其WWz z309cm309cm3 3F FR RA AF FR RB
49、B本讲稿第四十二页，共五十四页43（3 3）校核梁的切应力）校核梁的切应力）校核梁的切应力）校核梁的切应力 腹板厚度腹板厚度腹板厚度腹板厚度 b b=0.75cm=0.75cm，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为210kN210kN查表得查表得查表得查表得22a22a工字钢工字钢工字钢工字钢:maxmax超过超过超过超过 很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面.现以现以现以现以25b25b工字钢进行试算工字钢进行试算工字钢进行试算工字钢进行试算查表得查表得查表得查表得b b=1
50、cm=1cm所以应选用型号为所以应选用型号为所以应选用型号为所以应选用型号为25b25b的工字钢的工字钢的工字钢的工字钢.本讲稿第四十三页，共五十四页44例题例题例题例题6 6 图中所示吊车大梁，现因移动荷载图中所示吊车大梁，现因移动荷载图中所示吊车大梁，现因移动荷载图中所示吊车大梁，现因移动荷载F F增加达到增加达到增加达到增加达到50kN50kN，故在，故在，故在，故在 20a20a号工号工号工号工字钢梁的中段用两块横截面为字钢梁的中段用两块横截面为字钢梁的中段用两块横截面为字钢梁的中段用两块横截面为120mm120mm 10mm10mm、长度为长度为长度为长度为 2.2m2.2m的钢板加