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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！高三微专题：外接球 一、由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是确定球心的位置 在 Rt用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径 r 可根据正弦定理求得）二、球体公式 1.球表面积S=42R 2.球体积公式V=334R 三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长（2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心（3）直径所对的球周角为90
2、（大圆的圆周角）（4）正三棱锥对棱互相垂直 四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型 O欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！例 1（2017 年新课标)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球 O 的表面积为（）答案：14 练习1（2016 新课标）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）答案：12 2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上 半径公式：222)(rRhR（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥
3、的高，r 可根据正弦定理rAa2sin（一边一对角)例 2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是_.【解析】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为 正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，在中，由勾股定理得所以，球的表面积.练习2正三棱锥ABCS 中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥ABCS 的直径为3460sin22R，外接球半径32R，或1)3(22 RR，32R，外接球体积
4、2733233834343RV 3.侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）(1)侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：222)2(hrR,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理rAa2sin（一边一对角)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！(2)直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处 公式公式：222)2(hrR,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r 可根据正弦定理rAa2sin（一边一对角)例 3.在四面体中，ABCSA平面
5、，,1,2,120ABACSABAC 则该四面体的外接球的表面积为（）11.A 7.B 310.C 340.D 解析：在ABC中，7120cos2222BCABABACBC，7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，310,)2(2222RSArR，340S，选D 练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。解析：32BC，4120sin322r，2r，5R，20S（2）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球面上，则该圆柱的体积为 。SABC111ABCABC12ABACAA120BAC欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联
6、网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！答案：43 4.侧面与底面垂直的锥体 例 4三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP外接球的半径为 .解析：3460sin22221rr，3221 rr，312HO，35343121222rHOR，315R；练 习4（1）已 知EAB所 在 的 平 面 与 矩 形ABCD所 在 的 平 面 互 相 垂 直，60,2,3AEBADEBEA，则多面体ABCDE 的外接球的表面积为 。16 解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为31r，11OO，231R；法二：231MO，21322D
7、Or，4413432R，2R，16S OHBACPO2O1OO2MDBACEO1欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（2）（2017 新课标）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为_ 答案：36（提示;直径所对的球周角为直角）5.补形法：将不规则几何体外接球问题转化为长方体或正方体模型，实现锥，柱转化 适合条件;（1）墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直
8、接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R 例5（2019 新课标）已知三棱锥PABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，CEF=90，则球O 的体积为 A68 B64 C62 D6 cab图 1CPABabc图 2PCBAabc图 3CBPAabc图 4PCO2BA欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（2）对棱相等模型（补形为长方体）条件：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）第一步：画出
9、一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,，xBCAD，yCDAB，zBDAC，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！列方程组，222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR，补充：abcabcabcVBCDA31461 第三步：根据墙角模型，22222222zyxcbaR，82222zyxR，8222zyxR，求出R 练习5.在三棱锥BCDA中，,4,3,2BDACBCADCDAB则三棱锥BCDA外接球的表面积为 。229 解析：设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长别为cba,，则922ba，宽高分422cb，1622 ac291649)(2222cba，291649)(2222cba，229222cba，22942R，229S