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1、精品文档 第 1 页迎下载4 页 专题 多面体的外接球问题 一、考点分析：有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的 知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，（二）球体的体积与表面积:（三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等（R）2.内切球球心到各面的距离相等（r）五、经典模型：（一）汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）例 1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为 4，体积为 16.其外接球的表面积是 例 2:直三棱柱 ABC A1B1C1的各个顶点都在同一个
2、球面上，若 BAC=20,贝吐匕球的表面积等于（）（二）对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（求外接球问题 为异面直线的对棱;而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程（一）球的性质 性质 1:用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心 性质 2:球心和截面圆心的连线垂直于截面.性质 3:球心到截面的距离 d与球的半径R及截面的半
3、径 r下面的关系：r 4 3 1、V球 3 R3 2、S球面4 R2 AB=CD,AD=BC,AC=B)D,第一步：画出一个长方体（补形），标出三组互 2 精品文档 第 3 2页迎下载4 页 第二步：设长方体的长宽高分别为 a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程，2,2 2 a b x.2 2 2 bey 2 2 2 a e z 例 3:三棱锥 A-BCD 中，AB二CD=2,AD二BC=3,AC二BD=4 则三棱锥 A-BCD 勺外接球的表面积为（）2 2R a2 b2 e2 x2 y2 z2 C（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）图2 解题方法：找三条两两垂直的
4、线段，直接利长方体对角线公式即可:2 2 2 2 2 R a2 b2 e2.a2 b2 e2 2 例题 4:（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，其外接球的表面积是（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 正方形，则该几何体外 接球的体积（四）垂面模型 题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（PA 平面 ABC)步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上，以 A 为小圆直径的 一个端点，作小圆的直径 AD,连接 PD,则 PD 必过球心 O 精品文档 第 3 3页迎下载4 页 第二Q 为 ABC 的外心，所以 OOi平面 ABC，计算出小圆 Oi的
5、半径 OQ r（r 利用正弦定理计算可得）第三步：利用勾股定 理即可：R2 r2 OOj 平面 ABC,底面 ABC 是边长为.3 的正三角形，SA=2.3,体积等于（）（五）折叠模型 题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠 第一步：先画出如图所示的图形，将 BCD 画在小圆上,找出 BCD 禾口 ABD 的外心 Hi和出 第二步：过 H1和 H2分别作平面 BC 闲平面 ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接 OEOC;第三步：解 OEH,算出 OH,在 RT OCH1中，勾股 定理即可：OH2+CH2二R2 例 7:棱形 ABC 的边长为 2,且 BAD 60,将棱形
6、ABC 沿对角线 BE 折叠，使得平面 A BD 平面 BCD,则三棱锥 A-BCD 的外接球的半径为（）变式：“平面 ABD 平面 BCD”改为“平面 ABD 与平面 BCD 所成角为 120 A-BCD 的外接球的半径为（）例 5:三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA 则该三棱锥的外接球体积等于（）第一步：确定球心 O 的位置，取 ABC 勺外心 O,则 P,O,O 三点共线;第二步：先计算出小圆 O 的半径,AO1 r,再算出棱锥的高 POi；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 OiO2 R2 2 h R r 2,解出 R 方法二:2R a a 为棱长，为侧棱与底面所成角 sin 例 6:
7、正三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 是边长为3 的正三角形，侧棱长为 2,则该三棱锥的外接球 C 题型二：三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上 C 精品文档 第 4 4欢迎下载4 页 六、课堂小结 1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解 2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢
8、？第一步：找底面多边形外接圆的圆心，计算出小圆的半径OiD r（r 利用正弦定理 计算可得）;1 第二步：过 0/乍 0。！底面，0 为球心且 0Q=2h（h 为椎体的高）第三步：利用勾股定理即可：5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？（1）找底面多边形外接圆的圆心 Q（顶点在底面的投影），计算出小圆 0!的半径 0Q r（r 利用 正弦定理计算可得）;（2）在高线上取一点作为球心 0;（3）利用勾股定理求出 半径即可 6、折叠问题（对称性）（1）找两底面多边形外接圆的圆心 002,计算出小圆的半径 r（2）在过小圆圆心 0,02作两面的垂线，两高线交点为 球心 0；（3）利用勾股定理求出 半径即可 七、课后作业 1、正四棱锥 S ABCD 的底面边长和棱长都未.2,点 S,A,B,C,D 都在同一个球面上，则该球的体积是（）2、在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC=、3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为60 八、教学反思，则该三棱锥外接球的体积为（）可得）A D C