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1、开放探究型问题一、选择题1、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知； 甲的路线为：ACB。乙的路线为：ADEFB，其中E为AB的中点。丙的路线为：AGHKB，其中H在AB上，且AHHB。 若符号表示直线前进，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，则三人行进路线长度的大小关系为（ ）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲乙丙 (C) 乙丙甲 (D )丙乙甲 ABCABDABGI50EF6070506070506070506070506070HK图(1)图(2)图(3)二、填空题1. （2012年江苏南通三模）一元二次方程有一
2、根为1，此方程可以是 （写出一个即可）.答案：x2-x=0等.2. （2012年江苏南通三模）小明、小亮各有一段长为40cm的铁丝，将将铁丝首尾相连围成一个长方形（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）答案：24（1）不一定 （2）略3、（盐城地区20112012学年度适应性训练）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是 （写出
3、一个值即可）答案如-1，0(不惟一，在-2b2内取值均可） (第18题图) 三、 解答题1、(2012年香坊区一模) (本题l0分) 已知：在ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB,连接AP，作APD=B交AB于点D。连接CD，交AP于点E (1)如图，当BAC=90时，则线段AD与BD的数量关系为 ： （2）如图，当BAC=60时，求证：AD=BD (3)在(2)的条件下，过点C作DCQ=60交PA的延长线于点Q(如图3)，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=。求线段AK的长zz*ste&2、（盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）（本题满分8分）如图8，ABC中，AB=A
4、C，若点D在AB上，点E在AC上，请你加上一个条件，使结论BE=CD成立，同时补全图形，并证明此结论。ABCDE图8解：附加的条件可以是：BD=CE，AD=AE，EBC=DCB，ABE=ACD，BE、CD分别为ABC，ACB的平分线中任选一个；利用ABEACD得证BE=CD3（盐城市第一初级中学20112012学年期中考试）（本题满分12分）问题情境已知矩形的面积为a（a为常数，a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为探索研究我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质 填写下表，画出函数的图象：x1234y观
5、察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数y=ax2bxc（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数(x0)的最小值解决问题用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案解 ，2， （2分）函数的图象如图 （5分）本题答案不唯一，下列解法供参考当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2 （7分）=当=0，即时，函数的最小值为2（10分）当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为 （12分）ABOC-11yx4、（海南省2012年中考数学科模拟）（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于
6、点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求AOC和BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点,使PAC的周长最小。若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。答案：解：（1）抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，点B的坐标为（3，0），可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3) 2分yABOC-11xPD又抛物线经过点C(0,-3)， -3=a（0+1）(0-3) a=1,所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，即y=x2-2x-3 4分（2）依题意，得OA=
7、1,OB=3,SAOCSBOC=OAOCOBOC=OAOB=13 8分（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。 9分解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。AC长为定值，要使PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。 11分设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 k=1。y=x-3 当x=1时，y=-2 .点P的坐标为（1，-2） 13分解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、
8、AC。设直线x=1交x轴于DAC长为定值，要使PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。 11分OCDP BDPBOC 。即 DP=2 12分点P的坐标为（1，-2） 13分 教%网5、(2012石家庄市42中二模)如图1，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形： （1）当把ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； （2）当把ADE绕点A旋转到图3的位置时
9、，AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）.答案：（1）CD=BE理由如下:ABC和ADE为等边三角形 AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60oBAE =BACEAC =60oEAC，DAC =DAEEAC =60oEAC， BAE=DAC， ABE ACDCD=BE（2）AMN是等边三角形理由如下：ABE ACD， ABE=ACDM、N分别是BE、CD的中点，BM=CN AB=AC，ABE=ACD， ABM ACNAM=AN，MAB=NACNAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60 AMN是等边三角形6(西城2012年初三一模)已知：如图1，矩
10、形ABCD中，AB6，BC8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设mABBCCDDA，探索m的取值范围（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m_（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；m的取值范围是_答案：（1）20；（2）如图所示(虚线可以不画)，20m28、7（2012年南岗初中升学调研）(本题l0分)已知：菱形ABCD中，BD为对角线，|P、Q两点分别在AB、BD上，且满
11、足PCQ=ABD，(1)如图l，当BAD=时，证明：DQ+BP=CD；(2)如图2，当BAD=时，则 DQ+BP= CD (3)如图3，在(2)的条件下，延长CQ交AD边点E，交BA延长线于M，作DCE的平分AD边于F若CQ：PM =5：7，EF=，求线段BP的长，8、（2012年浙江金华四模）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：BCA图甲（1）如图甲，已知ABC中C=90，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三分割
12、为四个都与它自己相似的小三角形我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）依次规则操作下去n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn若DEF的面积为1000，当n为何值时，3Sn1时，请写出一个反映Sn1,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）解：（1） 正确画出分割线CD （如图，过点C作CDAB，垂足为D，CD即是满足要求的 分割线，若画成直线不扣分） 理由： B = B，CDB=ACB=90BCD ACB （2） DEF
13、 经N阶分割所得的小三角形的个数为 S = 当 n =3时,S3 = 15.62 当 n = 4时， S4 = 3.91 当 n= 4时,3 S4 4 S2 = S S，S = 4 S, S= 4 S 9、（2012年中考数学新编及改编题试卷）用一条直线可将等腰梯形分成两部分，用这两部分能拼成一个新的图形。请你在原等腰梯形上画出直线，并对这条直线进行必要的说明，然后在框内画出要求的新图形（1）将等腰梯形分割后拼成矩形 （2）将等腰梯形分割后拼成平行四边形（非矩形）（3）将等腰梯形分割后拼成三角形答案：（1）将等腰梯形分割后拼成矩形（2）将等腰梯形分割后拼成平行四边形（非矩形）（3）将等腰梯形分
14、割后拼成三角形答案不唯一10、（2012年北京市顺义区一诊考试）问题背景（1）如图1，ABC中，DEBC分别交AB，AC于D，E两点，过点D作DFAC交BC于点F请按图示数据填空：四边形DFCE的面积 ，DBF的面积 ，ADE的面积 探究发现（2）在（1）中，若，D与BC间的距离为直接写出 （用含S、的代数式表示）拓展迁移（3）如图2，DEFG的四个顶点在ABC的三边上，若ADG、DBE、GFC的面积分别为4、8、1，试利用（2）中的结论求DEFG的面积，直接写出结果解：（1）四边形DFCE的面积 6 ，DBF的面积 6 ，ADE的面积 （2） （用含S、的代数式表示）中#国教育出&版*网（3
15、）DEFG的面积为12 11、(2012年北京市延庆县一诊考试)如图1，已知：已知：等边ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），图1求证：BD+DC AD下面的证法供你参考：把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，则有,DC=EBAD=AE,是等边三角形AD=DE在中，BD+EB DE即：BD+DCAD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D是等腰直角三角形ABC边上的点（点D不与B、C重合），图3求证：BD+DCAD图212（1）证明：把绕点A瞬时针旋转得到，连接ED，-1分则有,DC=EBAD=AE,是等腰直角三角形 DE=AD -2分在中，BD+EB
16、 DE即：BD+DCAD - 3分（2）BD+DCAD -4分（3）猜想1：BD+DC2AD证明：把绕点A顺时针旋转，得到则有, DC=EB，ACD=ABE -5分BAC+BDC=180 ABD+ACD=180 ABD+ABE=180 即：E、B、D三点共线-6分AD=AE, 在中AE+ADDE 即BD+DC2AD -7分或者猜想2： -7分13如图1、P是锐角ABC所在平面上一点如果APB=BPC=CPA=120，则点P就叫做ABC费马点（1）、当ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 。（2）、若点P是ABC的费马点ABC=，PA=2，PC=3，则PB的值为 。（3）、如
17、图2，在锐角ABC外侧作等边ACB连接BB （图1）求证：BB过ABC的费马点P。 答案：(1) （3分）(2) （6分）（3）证明：在BB上取点P，使BPC=1200连接AP，再在PB上截取PE=PC，连结CE.BPC=1200，EPC=600，三角形PCE为正三角形。PC=CE，PCE=600，CEB=1200三角形ACB为正三角形，AC=BC, ACB=600PCA+ACE=ACE+ECB=600，PCA=ECB，APC=BCE=1200，PA=EB，APB=APC=BPC=1200，P为三角形ABC的费马点。BB过三角形ABC的费马点P. （10分）14、(本小题10分) 阅读下列材料
18、： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形中，现有一动点按下列方式在矩形内运动：它从点出发，沿着与边夹角为的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点碰到边，沿着与边夹角为的方向作直线运动，当点碰到边，再沿着与边夹角为的方向作直线运动，如图1所示问点第一次与点重合前与边相碰几次，点第一次与点重合时所经过的路径的总长是多少 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形沿直线折叠，得到矩形由轴对称的知识，发现，请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）点第一次与点重合前与边相碰_次；点从点出发到第一次与点重合时所经过路径的总长是
19、_cm；（2）进一步探究：改变矩形中的长，且满足动点从点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形相邻的两边上若点第一次与点重合前与边相碰7次，则的值为_试画示意图说明。15、（2012年江西南昌十五校联考） (1)观察发现 如题27(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P 再如题27(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则
20、这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 题27(a)图 题27(b)图 (2)实践运用 如题27(c)图，已知O的直径CD为4，弧AD所对圆心角的度数为60，点B是弧AD的中点，请你在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值 题27(c)图 题27(d)图 (3)拓展延伸 如题27(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 答案：解：（1）；2分（2）如上图 3分作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接AE交CD与一点P，则AP+BP最短。连接OA、OB、OE，AOD=60，B是弧AD的中点，AOB=DOB=30，B关于CD的对称点E，DOE=DOB=30，AOE=90，又OA=OE=2，OAE为等腰直角三角形，AE=.6分 （3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，如下图8分