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1、上海海事大学2011-2012学年第 2 学期研究生 数值分析 课程考试试卷B（答案）学生姓名： 学号： 专业：一 填空题（每小格3分共33分）1. 以线性迭代求解Ax=b时，迭代收敛的充要条件是迭代矩阵 2. 已知，是以整数点0,1,2,n为节点的Lagrange插值基函数，则：= x ， 3. 设则差商 5 04. 对于求解非线性方程，Newton法的迭代公式是5. Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有n_次，当n为偶数时，求积公式代数精度至少具有n_+1_次, 且16. QR法是计算 非奇异矩阵的 所有 特征值和特征向量的计算方法7求解常微分方程初值问题 的Euler二
2、步法公式为， 它是2 阶方法。二 用基函数构造法，求一个次数不高于4次的Hermite插值多项式，使它满足：，。（7分）解：解：； 插值余项：， ，三 假设已知矩阵A的某个特征值的近似值，即有，。试分析用什么方法可以修正特征值的近似值，并得到相应于特征值的特征向量。 （6分） 解：设，故是B的按模最小特征值。由反幂法可得： ，作，即得，则对充分大的，（即为特征值对应的特征向量）且：四 设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式试证明：当时，迭代序列收敛。（其中是A的最大特征值）（6分）证明：可以得 迭代矩阵，特征值为如，则，故时，成立，所以迭代收敛。五设，其中A是， 当取何范围值时A为
3、正定。又取何范围值时，Jacobi迭代为是收敛的。（6分）证：因为A正定，所以各阶顺序主子式0, ,得。如2D-A也正定，则Jacobi迭代收敛，所以, 得六给定求积公式 试决定A、B和C使其具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的代数精度的次数 （7分）解当f(x)=1 时左，右=A+B+C 当f(x)=x 时左，右=（A+C）当f(x)=x时左，右=（A+C）要使求积公式至少具有次代数精度，其充分必要条件是，满足如下方程组：解得，代入得当f(x)=x时的左，右，左右当f(x)=x时左，右左右综上，当求积公式中求积系数取，时得到求积公式，其代数精度取到最高，此时代数精度为七. 求 在-1,1
4、上的最佳二次逼近多项式。已知 。（5分）解 因所以八 证明用单步法 求解初值问题， 可以给出准确解 。 （7分） 解： 因： 又由taylor展开得：由此：，故当时，该法可得准确解。九试用关于互异节点和的插值多项式和构造出关于节点的不超过n-1次的多项式。（7分）解：因为，且都为不超过n-2次的多项式，故，所以为不超n-1次多项式有得到所以十 证明：左矩形求积公式 。设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（8分）解：因为：； 故： =又：分划a,b得：，k=1,2,n得复合公式：所以：=其中：， 且有：十一 对于初值问题， 若函数在区域，满足 条件，试说明二阶Runge-Kutta方法 在条件下是收敛的。 并用该方法求解初值问题 ， 讨论绝对稳定性对步长的限制。 （8分）解：因为： 所以： ， 其中 由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。另： 由 ， 得。