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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 上海海事高校2022-2022学年第 2 学期争论生数值分析课程考试试卷B 答案）同学姓名：学号： 专业：一填空题 每小格 3 分共 33 分）1.以线性迭代求解 Ax=b 时,迭代收敛的充要条件是迭代矩阵2.已知,是以整数点 0,1,2, n为节点的 Lagrange插值3.基函数,就：= x ,5 设就差商0 4.对于求解非线性方程,Newton 法的迭代公式是5.Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有n_次,当n 为偶数时,求积公式代数精度至少具有n_+1_次,且 16. QR 法是运算 非奇特矩阵的 全部特点值和特点向量
2、的运算方法 7求解常微分方程初值问题的 Euler 二步法公式为, 它是 2 阶方法；1 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二用基函数构造法,求一个次数不高于4 次的 Hermite插值多项式,使它满意：,；7 分）解： 解：；插值余项：,三 假设已知矩阵 A 的某个特点值 的近似值,即有,；试分析用什么方法可以修正特点值 的近似值,并得到相应于特征值 的特点向量；6 分）解：设,故 是B的按模最小特点值；由反幂法可得：,作,即 得,就对充分大的, 即为特点值 对应的特点向量）且：四 设 有 方 程 组 Ax
3、=b , 其 中 A 为 对 称 正 定 矩 阵 , 迭 代 公 式试证明：当时,迭代序列收敛； 其中是 A 的最大特点值）6 分）证明：,特点值为可以得,故迭代矩阵如,就2 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 时,成立,所以迭代收敛；五设,其中 A 是, 当取何范畴值时 A 为正定；又取何范畴值时, Jacobi 迭代为 证：是收敛的； 0, ,得, 得；如2D-A 也正定,就 Jacobi迭代收敛,所以六给定求积公式试打算 A、B 和 C使其具有尽可能高的代数精度,并指出所达到的代数精度的次数 =1 时左,
4、右=A+B+C 当fx=x 时左,右=x时左,右=x时的左,右,左右左中,右系数取左 右,当fx=x时综上,当求积公式求积,时得到求积公式,其代数精度取到最高,此时代数精度为七. 求 在-1,1 上的正确二次靠近多项式；已知；5 分）解因所以求解初值问题八证明用单步法,可以给出精确解 ； 7 分）解： 因：又由 taylor 绽开得：由此：,故当 时,该法可得精确解；九试用 关于互异节点 和 的插值多项式 和 构造出关于节点 的不超过 n-1 次的多项式 ；7分）解：由于,且都为不超过 n-2次的多项式,故,所以为不超 n-1次多项式有 得到所以4 / 6 名师归纳总结 - - - - - -
5、 -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 十证明：左矩形求积公式；设,试以此构造复合求积公式,并说明该复合求积公式是收敛的 ； 8分）解：由于：；故： =又：分划 a,b 得：,k=1,2, n得复合公式：所以：=其中：, 且有：十 一 对 于 初 值 问 题,如 函 数在 区 域,Kutta满 足在条 件 , 试 说 明 二 阶 Runge-方法条件下是收敛的；并用该方法求解初值问题,争论肯定稳固性对步长的限制；8 分）5 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由于：所以：Runge-Kutta 方法是收敛的；, 其中由收敛定理得：二阶另：由,得；6 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页