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1、专题07等差数列的性质及应用【基本知识】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*),d(nm)(2)等距性:若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq特别地,若mn2p(m,n,pN*),则有aman2ap(3)单调性:d0an为递增数列,若d0an为递减数列d0an为常数列;(4)若an是等差数列,公差为d,则等距离取出若干项也构成一个等差数列,即ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列(5)若an,bn(项数相同)是等差数列,则panqbn也是等差数列(6)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列也为等差数列,d (nm)(7)等差
2、数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列,公差为nd(8)若项数为2n,则S偶S奇nd,;(9)若项数为2n1(n2),则S偶(n1)an,S奇nan,S奇S偶an,(10)两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为考点一性质(1)的应用【基本题型】例1 (1)在等差数列an中,已知a310,a820,则公差d等于()A3B6C4D3答案B解析由等差数列的性质得所以d6(2)在等差数列an(nN*)中,若a1a2a4,a83,则a20的值是_答案15解析数列an是等差数列,a1a5a2a4,又a1a2a4,a50,d1,故a20a515d15(3)已知a
3、n为等差数列,a158,a6020,则a75_答案24解析利用anam(nm)d)设数列 an的公差为d,则a60a15(6015)d845d,所以d,所以a75a60(7560)d201524(4)已知bn为等差数列,若b32,b1012,则b8_答案3 004解析方法一bn为等差数列,可设其公差为d,则d2,bnb3(n3)d2n8b82888方法二由d,得b85b325(2)8(5)已知an为等差数列,且a100304,a300904,则a1 000_答案3 004解析因为an为等差数列,则d,解得a1 0003 004(6)已知等差数列an的前n项和为Sn,a33,a55,则S7的值是
4、()A30B29C28D27答案C解析由题意,设等差数列的公差为d,则d1,故a4a3d4,所以S77428故选C考点二性质(2)的应用【基本题型】例2 (1)在等差数列an中,若a3a4a53,a88,则a12的值是()A15B30C31D9答案A解析由a3a4a53及等差数列的性质,3a43,则a41又a4a122a8,得1a1228a1216115(2)在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8_答案180解析由等差数列的性质,得a3a4a5a6a75a5450,a590,a2a82a5180(3)等差数列an中,若a2,a2 020为方程x210x160的两根,则a1a
5、1 011a2 021等于()A10B15C20D40答案B解析a2,a2 020为方程x210x160的两根,a2a2 02010,由等差数列的性质得2a1 01110,即a1 0115,a1a1 011a2 0213a1 01115(4)数列an满足3anan1且a2a4a69,则log6(a5a7a9)的值是()A2BC2D答案B解析答案C解析由3anan1,得an1an3所以an是公差为3的等差数列又a2a4a69,且a2a62a4,所以3a49,则a43,所以a7a43d33312,故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362(5)在等差数列an中,若a2a2a8a6a
6、1016,则a4a6_答案4解析在等差数列an中,a2a2a8a6a1016,aa2(a6a10)a6a1016,(a2a6)(a2a10)16,2a42a616,a4a64(6)等差数列an,bn满足对任意nN*都有,则_答案1解析由等差数列的性质可得b3b9b4b82b6,a7a52a6,所以1例3 (1)等差数列an的前n项和为Sn,若a4,a10是方程x28x10的两根,则S13()A58B54C56D52答案D解析a4,a10是方程x28x10的两根,a4a108,a1a138,S1352(2)等差数列an中,a1a4a739,a3a6a927,则数列an的前9项和S9等于()A99
7、B66C144D297答案A解析由等差数列的性质可得a1a72a4,a3a92a6,又a1a4a739,a3a6a927,3a439,3a627,解得a413,a69,a4a622,数列an的前9项和S999(3)设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn324(n6),则数列an的项数为_答案18解析由题意知a1a2a636,anan1an2an5180,得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216,a1an36,又Sn324,18n324,n18(4)在等差数列an中,S10100,S10010,则S110_答案解析方法一设数列an的公
8、差为d,首项为a1,则解得所以S110110a1d110方法二因为S100S1090,所以a11a1002,所以S110110(5)已知函数yf(x1)的图象关于y轴对称,且函数f(x)在(1,)上单调,若数列an是公差不为0的等差数列,且f(a4)f(a18),则an的前21项和为()A0B C21 D42答案C解析函数yf(x1)的图象关于y轴对称,平移可得yf(x)的图象关于直线x1对称,且函数f(x)在(1,)上单调,由数列an是公差不为0的等差数列,且f(a4)f(a18),可得a4a182,所以a1a21a4a182,可得数列an的前21项和S2121故选C(6)等差数列an的各项
9、均不为零,其前n项和为Sn若aan2an,则S2n1_答案4n2解析因为an为等差数列,所以an2an2an1,又aan2an,所以a2an1因为数列an的各项均不为零,所以an12,所以S2n14n2(7)在数列an中,2an1anan2,且an0若an1aan10(n2),且S2n138,则n()A38B20C10D9答案C解析在数列an中,因为2an1anan2,所以an2an1an1an,所以数列an为等差数列由an1aan10(n2),得2ana0,又an0,解得an2又S2n138,即(2n1)an38,即(2n1)238,解得n10(8)设正项数列an的前n项和为Sn,且4Sn(
10、1an)2(nN*),则a5a6a7a8()A24B48C64D72答案B解析当n1时,由S1a1,得a11,当n2时,得4an(1an)2(1an1)2,aa2an2an10,(anan1)(anan12)0an0,anan12,an是等差数列,an2n1,a5a6a7a82(a6a7)48【对点精练】1在等差数列an中,a4a515,a712,则a2等于()A3B3CD1答案A解析由数列的性质,得a4a5a2a7,所以a2151232已知等差数列an满足a1a2a3a1010,则有()Aa1a1010Ba1a101S6S4下列四个命题正确的是()A数列Sn中的最大项为S10B数列an的公差
11、d0DS11S6S4,所以a60且a5a60,所以数列Sn中的最大项为S5,A错误;数列an的公差d0,C正确;S1111a60,D正确故选BCD15等差数列an的前n项和为Sn,若a44,S13104,则a10()A10B12C16D2015答案解析法二:因为S13104,a44,所以a1012,故选B法三:因为S13104,所以a78,又a4,a7,a10成等差数列,a44,所以a1012,故选B16已知等差数列an中,a11,前10项和等于前5项和,若ama60,则m()A10B9C8D216答案A解析记数列an的前n项和为Sn,由题意S10S5,所以S10S5a6a7a8a9a100,
12、又a6a10a7a92a8,于是a80,又ama60,所以m628,解得m1017已知Sn是数列an的前n项和,且Sn1Snan3,a4a523,则S8()A72B88C92D9817答案C解析由Sn1Snan3得an1an3,数列an是公差为3的等差数列,则S892故选C考点三性质(6)的应用【基本题型】例4 (1)已知Sn是等差数列an的前n项和,若a12020,6,则S2022_答案2022解析等差数列的性质可得也为等差数列,设其公差为d则6d6,d1故2021d202020211,S2022120222022(2)等差数列an中,已知Sn是其前n项和,a19,2,则an_,S10_答案
13、2n110解析设等差数列an的公差为d,2,dd2,d2,a19,an92(n1)2n11,S1010(9)20(3)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m()A3B4C5D6答案C解析解法一:由题意,知Sm0,a1am(SmSm1)2,am2,a12又am1Sm1Sm3,公差dam1am1,3am1a1md2m,m5解法二:数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列也为等差数列,即0,解得m5经检验为原方程的解故选C(4)已知Sn是等差数列an的前n项和,且S10100,S10010,则S110的值为_答案110解析由也是等差数列,构造新的等差数列b110,b10
14、,则d(b10b1),所以b11b10d1,所以S110110【对点精练】1已知Sn是等差数列an的前n项和,若a12,2,则_1答案2 018解析Sn是等差数列an的前n项和,是等差数列,设其公差为d2,2d2,d1a12,22(n1)1n32 0182在等差数列an中,a11,其前n项和为Sn,若2,则S10等于()A10B100C110D1202答案B解析an是等差数列,a11,也是等差数列且首项为1又2,的公差是1,1(101)110,S101003设Sn是等差数列an的前n项和,若Sn33,S2n44,则S6n的值为_3答案132解析由题意知,d,解得S6n1324已知等差数列an的
15、前n项和为Sn,a211,8,则Sn取最大值时的n为()A6B7C8D94答案B解析设数列an是公差为d的等差数列,则是公差为的等差数列因为8,故可得88,解得d2;则a1a2d13,则Snn214n(n7)249,故当n7时,Sn取得最大值考点四性质(7)的应用【基本题型】例5 (1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9等于()A63B45C36D27答案B解析由an是等差数列,得S3,S6S3,S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6),得到S9S62S63S345,故选B(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_答案
16、60解析S10,S20S10,S30S20成等差数列,2(S20S10)S10S30S20,4010S3030,S3060(3)设等差数列an的前n项和为Sn,且S312,S945,则S12_答案114解析因为an是等差数列,所以S3,S6S3,S9S6,S12S9成等差数列,所以2(S6S3)S3(S9S6),即2(S612)12(45S6),解得S63又2(S9S6)(S6S3)(S12S9),即2(453)(312)(S1245),解得S12114(4)已知Sn是等差数列an的前n项和,且S10100,S10010,则S110_答案110解析S10,S20S10,S30S20,S100S
17、90,S110S100,成等差数列,设公差为d,该数列的前10项和为10100dS10010,解得d22,前11项和S11011100(22)110(5)若等差数列an的前m项的和Sm为20,前3m项的和S3m为90,则它的前2m项的和S2m为()A30B70C50D60答案C解析等差数列an中,Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列,2(S2mSm)SmS3mS2m,2(S2m20)2090S2m,S2m50【对点精练】1等差数列an中,S33,S69,则S12等于()A12B18C24D301答案D解析根据题意,得在等差数列an中,S3,S6S3,S9S6,S12S9,也成等差数列,又
18、由S33,S69,得S6S36,则S9S69,S12S912,则S12S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)36912302设Sn是等差数列an的前n项和,S1016,S100S9024,则S100_2答案200解析依题意,S10,S20S10,S30S20,S100S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d又S1016,S100S9024,因此S100S902416(101)d169d,解得d,因此S10010S10d10162003等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则数列an的前3m项的和S3m_3答案110解析方法一在等差数列中,Sm,S2mSm,S3mS2m成等差
19、数列,30,70,S3m100成等差数列27030(S3m100),S3m210方法二在等差数列中,成等差数列,即S3m3(S2mSm)3(10030)2104已知在等差数列an中,Sn为其前n项和,已知S39,a4a5a67,则S9S6_4答案5解析S3,S6S3,S9S6成等差数列,而S39,S6S3a4a5a67,S9S655已知等差数列an的前n项和为Sn,若,则等于()ABCD5答案C解析由等差数列的性质知S3,S6S3,S9S6,S12S9成等差数列,设S3k,S64k(k0),则S93S63S39k,S123S93S6S316k,所以考点五性质(10)的应用【基本题型】例6 (1
20、)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若,则等于()ABCD答案A 解析(2)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5答案D解析7,验证知,当n1,2,3,5,11时为整数(3)等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若,则_答案解析由则(4)等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有,则的值为_答案解析,【对点精练】1已知数列an,bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn和Tn,若,则等于()ABCD1答案B解析根据等差数列的性质和前n项和公式,有故选B2设Sn,Tn分别是等差数列an,
21、bn的前n项和,若a52b5,则_2答案2解析由a52b5,得2,所以23等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,若,则_3答案解析原式4设等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有,则的值为_4答案解析因为an,bn为等差数列,所以因为,所以考点六其他性质的应用【基本题型】例7 (1)设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5_答案35解析因为数列an,bn都是等差数列,所以数列anbn也构成等差数列,所以2(a3b3)(a1b1)(a5b5),所以2217a5b5,所以a5b535(2)已知数列an和bn都是等差数列,若a2b23,a
22、4b45,则a7b7等于()A7B8C9D10答案B解析设cnanbn,由等差数列的性质知,cn也是等差数列,设cn的公差为d,则d1,所以c7c43d5318,即a7b78故选B(3)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,则该数列的公差d为_答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d由已知条件,得解得又S偶S奇6d,所以d5(4)已知等差数列an的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为_答案10解析设项数为2n ,则由S偶S奇nd得,25152n解得n5,故
23、这个数列的项数为10(5)已知正项等差数列an的前n项和为Sn(nN*),若a5a7a0,则S11的值为()A11B12C20D22答案D解析结合等差数列的性质,可得a5a72a6a,又该数列为正项数列,可得a62,所以由S2n1(2n1)an1,可得S11S25111a622(6)已知数列an是首项为a,公差为1的等差数列,数列bn满足bn若对任意的nN*,都有bnb8成立,则实数a的取值范围是()A(8,7)B8,7)C(8,7D8,7答案A解析因为an是首项为a,公差为1的等差数列,所以anna1,因为bn1,又对任意的nN*都有bnb8成立,所以11,即对任意的nN*恒成立,因为数列an是公差为1的等差数列,所以an是单调递增的数列,所以即解得8a7第14页学科网(北京)股份有限公司