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1、专题1.2 数列题组一、数列的求和与通项1-1、（2021年全国新高考卷数学试题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【解析】（1）由题设可得又， 故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.1-2、（2021山东威海市高三期末）已知等差数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.【解析】（1）设数列公差为，利用等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式即可求解. （2）根据分组求和法可得，再利用等比数列的前项和公式即可求解.【详解】解:设公差为，依题意得解得 所以.，.1-3、（2021河北张家
2、口市高三期末）数列是等比数列，前n项和为，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）时，化简可得，利用等比数列的通项，计算即可求得；（2）由利用错位相减法计算即可求得.【详解】解：（1）由当时，两式相减，得.是等比数列，又（2），得两式相减，得.1-4、（2021山东德州市高三期末）在，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答设等差数列的前项和为，_，数列为等比数列，求数列的前项和【解析】选，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据已知条件建立有关、的方程组，求出这两个量，并求出的值，可得出数列、的通项公式，进而利用错位相减法可求得；选，设等比数列的公比为，利用求出数列的通项公式，并
3、求出，可求得数列的通项公式，再利用错位相减法可求得；选，设等比数列的公比为，利用累乘法可求出数列的通项公式，并求出，可求得数列的通项公式，再利用错位相减法可求得.【详解】选，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件可得，解得，上式下式可得，因此，；选，当时，；当时，.也满足，所以，对任意的，.，上式下式可得，因此，；选，且，由累乘法可得.，上式下式可得，因此，.1-5、（2021山东青岛市高三期末）在，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行
4、计分.【解析】（1）若选，先求出，由可得，两式相减可得，从而得出答案; 若选，由可得，两式相减可得，由累乘法可得答案.(2)由（1）可得，则，于是，由错位相减法可求和得出答案.【详解】（1）选时，当时，因为，所以，由，可得，得，整理得，所以因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选时，因为所以当时，得：，即中，令，得，适合上式所以当时，又，所以对任意，（2）因为即所以，于是，得所以1-6、（2021江苏常州市高三期末）已知等差数列和等比数列满足，.（1）求和的通项公式；（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的
5、公比为 ，由条件可得，解出可得答案.（2）分析的前项中含有的项数为7时，由得出不可能，则的前项中含有的前项且含有的前项，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 由，所以所以，所以，（2）当的前项中含有的前项时，令此时至多有项(不符)当的前项中含有的前项时，令则的前项中含有的前项且含有的前项所以1-7、（2021江苏徐州市高三期末）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和【详解】解：（1）由题意，.由，得，-，得，
6、所以又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为.（2）由题意，所以， ， -，得从而.1-8、（2021山东泰安市高三三模）在成等比数列，是和的等差中项，的前项和是这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解已知数列为公差大于的等差数列，且前项和为，若_，数列为等比数列，且（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）分别选条件，选条件，选条件根据等差数列和等比数列基本量的运算，直接求解即可；（2）等差等比数列乘积的数列可以利用错位相减法求数列和.【详解】（1）设的公差为选条件： ，或，所以 ， 选条件：，即解得：， ， 选条件：的前项和是，即解得： ，设的公比为， （2
7、） 1-9、（2021山东济南市高三二模）已知等差数列的前项和为，且满足，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）根据题意列方程求出首项与公差即可求解；（2）根据裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差，因为，所以，解得，所以（2），所以题组二、等差数列与等比数列的证明或判断2-1、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【解析】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可
8、得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.2-2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【解析】数列是等差数列，设公差为，当时，当时，满足，的通项公式为，是等差数列.2-3、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【解析】【分析】选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以.选作条件证明：因
9、为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.2-4、（2021山东高三其他模拟）已知数列中，前项和为，且满足.（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求的前项和.【解析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等差数列，从而求得，利用求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得的前项和.【详解】（1）因为所以，即，所以，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以 ，所以 .得又，满足上式，所以（2）由（1）知，.所以.2
10、-5、（2021山东滨州市高三二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，.（1）求证；数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若表示不超过的最大整数，如，求证：.【解析】(1)用替换给定关系式中，求出的关系，由此求出，进而求得；(2)对进行适当放大为，再利用裂项相消法求其前n项和，再确定这个和所在区间即可得解.【详解】（1）因为，所以当时，即，而，有，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；，则，当时，又满足上式，所以的通项公式为；（2），当时，故，当时，所以对任意的，都有，又，所以.所以.题组三、数列中的证明3-1、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足
11、已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：【解析】因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.3-2、（2021山东泰安市高三一模）在，是的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且 .（1）求；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由.【解析】（1）设等差数列an的公差为d，根据所选条件求出数列an的首项和公差，进一步求出an的通项公式；（2）求得，运用数列的裂项相消求和求得，将与作差，通分化简可得大小【详解】设
12、等差数列的公差为，则，.方案一：选条件由，解得，.又方案二：选条件由解得，同方案一方案三：选条件由解得，同方案一3-3、（2021湖北高三期末）已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）记，是数列前项的和，求证：.【解析】（1）根据递推公式，得到，再由等比数列的概念，即可证明结论成立；（2）由（1）求出，根据裂项相消的方法求出，即可证明结论成立.【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，则，所以，因此得证.结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.3-4、（2
13、021江苏泰州市高三期末）已知数列的前n项和为，各项均为正数的等比数列的前n项和为，_，且.在；这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求证：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【解析】（1）根据，利用数列通项和前n项和关系求得，选，由求解；若选，则，由求解；若选，由求解.（2）根据，利用错位相减法求和.【详解】（1）当时，当时，时也成立，若选，设的公比为q，则.若选，则，,，则.若选，则，则，,，.（2）.，得，所以，3-5、（2020河北邯郸市高三期末）已知数列的前项和，数列满足，且.（1）求证数列为等比数列，
14、并求数列的通项公式；（2）设，求证：.【解析】（1）先证明，可得数列为等比数列，求出即可求数列的通项公式；（2）先求出，结合（1）可得，再利用错位相减法可得结论.【详解】（1）因为所以，所以数列为首项，公比为3的等比数列，所以，所以. （2）因为数列的前项和，所以，当时，时，也适合，综上，设，.3-6、（2021山东潍坊市高三三模）已知正项等比数列，其中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令第一列第二列第三列第一行第二行第三行（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：【解析】（1）由表格数据可确定，由此可得等比数列公比，由等比数列通项公式可得；由对数运算可得；（2）由（1）可
15、得，采用裂项相消法可求得，由可推导证得结论.【详解】（1）由题意得：，等比数列的公比，又，.（2）由（1）知：，.题组四、数列中的含参问题4-1、（2021山东泰安市高三其他模拟）已知等比数列的前n项和为（1）求的公比q；（2）对于，不等式恒成立，求实数t的最大值【解析】（1）由已知建立关系即可求出公比；（2）化简可得不等式等价于，利用的单调性可求出最小值，即可得出.【详解】解：（1）由，得，整理得，所以，因为，所以，由题意得，所以（2）由（1）得，所以，所以，所以，令当时，；当时，；当时，递增，所以所以，故实数的最大值为4-2、（2021山东菏泽市高三期末）已知数列的前项和是.（1）求数列的
16、通项公式；（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数【解析】（1）利用可得答案；（2）求出利用裂项相消可得答案.【详解】（1），当时，符合上式，所以（2），令，解得，所以最小正整数为1011.4-3、（2021江苏南通市高三期末）已知数列的前项和为，首项，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数，使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）根据以及等比数列的通项公式可求得结果；（2）利用错位相减法求出，分别对和讨论等式是否成立可得答案.【详解】（1）由,知时，,得，在式中令，对任意，均有，为等比数列，（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以，令，当和时，等式显然不成立；当时，方程化为，左边为偶数，右边等于505为奇数，等式也不成立，故不存在正整数，使得成立.4-4、（2021湖北黄冈市黄冈中学高三三模）已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.【解析】（1）由得：，即，即有数列是常数数列；（2）由（1）知：即，当为偶数时，显然无解；当为奇数时，令，解得：，结合为奇数得：的最小值为所以的最小值为学科网（北京）股份有限公司