计算机控制系统电子教案单元设计 (3).doc

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1、第3章 z 变换要研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题。计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。表3.1列出了线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照表。表3.1 分析方法对照表线性连续控制系统线性离散控制系统微分方程差分方程拉氏变换Z变换传递函数脉冲传递函数状态方程离散状态方程 由以上说明可知，Z变换是分析离散系统的重要数学工具，而且具有许多类似于拉普拉斯变换性质的数学变换。与拉普拉斯变换的主要区别是，它并不对连续函数进行运算，而是对离散函数进行运算。因而本章内容是介绍Z变换的定义、性质以及Z反变换等。为下列章节学习奠定基础。3.1 Z变换定义3.1.1

2、 Z变换定义及表达式连续信号的拉普拉斯变换是复变量的代数函数。对计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换。连续信号通过采样周期为T的理想采样后的采样信号是一组加权理想脉冲序列，每个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，由（2.2）式可知 （3.1）因为的拉氏变换为 （3.2）所以式（3.1）的拉普拉斯变换式为 （3.3）从（3.3）式明显看出，是s的超越函数，因此，用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化，为此，引入另一复变量“z”,令 （3.4）代入（3.3）式，得 （3.5）（3.5）式是的单边Z变换。若（3.5）式中流动变量k从，则称为双边Z变换。由于控制系统中研究的信

3、号都是从研究时刻开始算起，所以使用的都是单边Z变换,这里简称为Z变换。表示的Z变换式符号有多种，如、 等等，但它们都表示同一个概念，都是指对脉冲序列函数的Z变换。（3.1）式、（3.3）式和（3.5）式在形式上完全相同，都是多项式之和，对应的加权系数相等，在时域中的、S域中的以及Z域中的均表示信号延迟一拍。在实际应用中，所遇到的采样信号的Z变换幂级数在收敛域内都对应有一个闭合形式，其表达式是一个“”的有理式 （3.6）若用同除分子和分母，可得“”的有理分式,即 （3.7）在讨论系统动态特性时,Z变换式写成因子形式更为有用，式（3.7）可以改写成 （3.8）其中；分别是的零点和极点。3.1.2

4、简单函数的Z变换 下面，我们将讨论几个简单函数的Z变换。值得注意的是，我们假设函数在时不连续,而时函数是连续的。在此情况下，我们设定，而不是间断点的平均值。1. 单位脉冲函数 表达式 求的Z变换。 因为 根据Z变换定义 （3.9） 2.单位阶跃函数 表达式 求的Z变换。 根据上面的假设，。再由Z变换的定义可知 （3.10）注意到如果，则级数收敛。在求Z变换时，变量Z是个假设算子，不必去确定使收敛时Z的范围，只要知道有这个范围存在就足够了。用这种方法求时间函数的Z变换，除了的极点外，在整个Z平面都是成立的。 注意： （3.11）常叫做单位阶跃序列。 3.单位斜坡函数 表达式 则 因而它的Z变换可

5、以求出 （3.12）4.指数序列表达式 式中为常数。根据Z变换定义，则有 （3.13） 5. 指数函数 表达式 因为 则 （3.14） 6. 正弦函数 表达式 注意指数函数的Z变换，而可以表示成下式 因而 (3.15）例3.1 求余弦函数的Z变换表达式 解：我们可以按照求正弦函数Z变换的方法来求余弦函数的Z变换。 例3.2 求阻尼正弦函数的Z变换表达式 解 例3.3 求 的Z变换 解 当被求函数变量是以给出时，求它的Z变换的一种方法是：先把利用拉普拉斯反变换求出，然后将离散化求出，再求其Z变换。另一种方法是将表示成部分分式，再利用Z变换表求其Z变换。其它的方法以后介绍。 现在我们利用第一种方法

6、，先求的拉氏反变换 因此 表3.2 Z变换表序号或1 123456789101112131415 16171819202122232425注：当时； 当时 图3.1 两个不同的时间函数和值得注意的是,如果函数的Z变换为，则的反变换就不一定必须等于。参看图3.1，单位阶跃函数与另一函数的Z变换有相同的表达式，显然。由此可见，Z变换式只与它的Z反变换之间有一一对应的关系,而与时间连续函数之间无一一对应关系。3.2 Z变换的重要性质和定理 和拉普拉斯变换一样，Z变换由其定义出发也可以导出一系列关于Z变换的性质和定理，这些性质和定理对扩大Z变换应用都有重要作用。下面将介绍一些Z变换基本性质和定理。在这

7、里，我们设定的Z变换存在，且对于时=0。1. 乘以常数如果的Z变换为，则 （3.16）式中是一个常数。 证明 由Z变换定义2. 线性性质 由Z变换的定义可知，Z变换是线性变换，即，、为任意常数如果则它的Z变换为 （3.17） 证明 根据Z变换定义 3. 实位移定理若 时，且，则 （3.18） （3.19）式中为零或正整数。 证明 先证明（3.18）式。 （3.20）令,代入式（3.20），则有 因为时，因而我们可以将求和的下限由=-改为=0。则因此，Z变换式乘以，相当于时间函数延迟。 现在来证明式（3.19）。 该性质表明，超前拍（一个采样周期T称为一拍）信号的Z变换不是简单地将的Z变换乘以拍

8、超前因子，还必须减去，这是因为的第一个采样值为，即时的采样值，而的采样值为。只有当的前拍采样值均为零时，才和延迟拍信号的Z变换有相似的表达式，即。 例3.4 求图3.2所示函数的Z变换。解 图3.2所示函数为由式（3.18）可知 图3.2 延迟4个采样周期的单位阶跃函数例3.5 求的Z变换。解 例3.6 设式中，时。求的Z变换。解 首先注意到 因此， 上式两边取Z变换得 则 4.复位移定理 如果的Z变换为，则的Z变换为 （3.21）证明 因此，只要用代替中的就可以得出的Z变换。例3.7 求的Z变换。 解 设 则，所以根据复位移定理 5初值定理 如果的Z变换为，且存在，则或的初值可由下式求出：

9、（3.22） 证明 根据Z变换定义当时，除第一项外，其余各项都变为零，所以（3.22）式成立。 例3.8 如果的Z变换为，求的初值。 解 利用初值定理 参考例3.3，注意到相应于的Z变换，因而，这和初值定理得到的结果相同。 6.终值定理 如果的Z变换为，而在Z平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点，则 （3.23）证明 根据Z变换定义 因此 当时，上式两边取极限，则有因为时，所以，上式为 初值定理和终值定理，可以直接由Z变换式获得相应的采样时间序列的初值和终值。这两个定理在作系统分析时经常用到。 例3.9 已知，用终值定理求的值。 解 我们注意到，本题中的是的Z变换。将代入中，则有 计算结

10、果与用终值定理求出的是一样的。 7.复域微分定理 如果的Z变换为，在Z平面上收敛于一定区域。则 （3.24） 证明 由Z变换定义， 上式两边对Z微分，得 再对上式两边同乘以，变得 该定理表明，在时间域信号与相乘，对应于Z域中的Z变换对Z的微分运算。 同样，上面方程两边再对Z求微分，则有 上面方程两边同乘以 则有 即 这里算子表示运用两次。同理可有 （3.25） 例3.10 用微分定理求单位斜坡函数 的Z变换。 解 因为 所以， 8复域积分定理 若,且极限存在，则 （3.26） 证明 令，则根据Z变换定义，有 上式两边对Z微分，得上式两边作积分，有 即 由初值定理可知 因此该定理表明，在时域中，

11、与相除，对应在Z域中Z变换的积分运算。 例3.11 已知，用复域积分定理求的Z变换。 解 设 则 因为 所以 本题只是说明利用复积分定理可以求出的Z变换。 9.时域离散卷积定理 两个时间序列（或采样信号）和，相应的Z变换分别为和，当时，=0，的卷积记为*，其定义为 （3.27）或 （3.28）则 （3.29） 证明 令 则 因而因为 当时，所以 本节中，我们讨论了Z变换的重要性质及定理。为了方便起见，把这些性质及定理总结列表3.3。表3.3 Z变换的重要性质及定理序号或或123或4567891011121314151617181920213.3 Z反变换 与Z变换相反，Z反变换是将Z域函数变换

12、为时间序列或采样信号。如前所述，Z变换仅仅是描述采样时刻的特性，所以Z反变换直接求得的只是时间序列信号。当事先已知对应的采样周期T时，就可以按照已知的采样周期T确定所求得的时间序列，即。 的Z反变换记为 （3.30）式中表示Z反变换符号。求Z反变换的方法很多，常用的基本方法有下列三种：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分法。 在使用这些方法时，和通常的情况一样，我们设定当时，或等于零。3.3.1幂级数展开法由Z变换的定义式（3.5）可知观察上式，只要用某种方法将要作Z反变换的展成幂级数形式，即可获得对应的时间序列。 若是以或的有理分式形式，即 （3.31）时，可以直接将分子除以分母把展开成的

13、幂级数。 下面举例说明怎样使用这种方法。 例3.12 已知 求解 首先将写成多项式之比 ，分母去除分子： 把这个式子同Z变换定义式比较，我们可以得到 由上面的例子可以看到，在求反变换时，并不知道采样周期T的数值，因而反变换求出的是序列，而不是或序列。若给定对应的采样周期T，则对应的采样信号为 编程计算：由式（3.31）所表示的有理分式，可以展开成幂级数时，可以用下面导出的迭代算式直接计算幂级数各项系数。令 （3.32）其中幂级数各项系数是待定的。于是上式中，按照等式两边的同次项系数相等，可得 （3.33）由上面方程组可导出待定系数的迭代式 (3.34)按照（3.34）编制计算机程序，由计算机计

14、算，则十分简便。3.3.2 部分分式法 查表法：Z变换的线性性质可以使我们能够应用部分分式法求出的Z反变换。这种方法可以求出脉冲序列函数的封闭形式，具体方法和求拉氏反变换的部分分式展开法相似。具体步骤如下： 先将写成如下Z有理式标准形式 （3.35）其中，系数和均为实常数。对的分母进行因式分解，即 其中称为的极点，它们是实数或共轭复数。1.若所有极点是两两互不相同的单极点由于的部分分式展开式为形式的诸项和，而指数函数的Z变换为，所以最好先求的部分分式，然后再乘以Z，就得到希望的形式。方法如下： （3.36）则 （3.37）式（3.36）中的系数，求法与拉氏变换展开部分分式时的求法相同。式（3.

15、37）中各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列，即 （3.38） 例 3.13 求 的反变换。 解 将除以Z，并展开为部分分式，得 上式两边乘以Z，得 由Z变换表可以直接查出 式中 为单位阶跃序列。所以 在这个例子中，如果将直接展成部分分式，则有 注意，在Z变换表中查不出的反变换。然而，利用位移定理可以发现 因此 又可以写成 这和前面得到的结果是一样的。 例3.14 求的反变换。 解 则 （3.39）所以的Z反变换为注意：式（3.39）表达式等号右边的第一项为常数-0.5,其反变换应为。2.含有重极点 如含有二重极点，其余极点互不相同。首先将展开成部分分式，即 （3.40） （3.41）

16、式（3.41）中的第一项查Z变换表可知，对应的反变换为。其余各项对应的时间序列均为指数序列。因而的Z反变换的时间序列一般表示为 (3.42) 例3.15 求的Z反变换。 解 对的分母进行因式分解 在处为二重极点，在处为单极点。首先将展开 其中上式中的系数 因而 所以 其中为单位阶跃序列，可以写成下列形式 下面举例说明含有三重以上简单极点时，求其Z反变换的方法。 例3.16 求的Z反变换。 解 首先将展开为部分分式，即 （3.43）其中系数 因而 所以的Z反变换为 3.含有共轭复数极点以上论述了只含有简单极点时求Z反变换的方法，下面举例说明含有共轭复数极点时求Z反变换的方法。 例3.17 求的反

17、变换。解 将表示成部分分式 方程式右边第二项的极点为共轭复数，因此该项的反变换为阻尼正弦或阻尼余弦。参考变换式 令 令 即 根据上述关系因此 因为 则 由这个式可以得出 当然，可能含有多重二次极点，读者可以参考有关资料，求其Z反变换。3.3.3 反演积分法（留数法） 反演积分法是求Z反变换的最基本方法，它可以求得对应的时间序列的表达式。由Z变换定义 上式两边同乘以，得两边作闭路积分，积分路线取以为圆心包围全部极点的圆C，即 根据复变函数中的Cauchy定理，上式右边的闭路积分，除之外，其余各项积分全为零（这是因为各项在积分线C内全解析，所有项在积分线C内原点处均有2阶以上重极点的缘故），所以有

18、 由复数广义积分可知， 因而 （3.44）式中，为第个极点，为的极点数，为留数符号，C为Z平面上以原点为圆心，半径充分大的圆。上式说明，等于的全部极点留数之和。在计算留数时，如果含有简单极点时，相应的留数为 （3.45）如果含有重极点，则该极点的留数为 （3.46）本书中，我们讨论的是单边Z变换，即时。例3.18 用留数法求的反变换。解 当时有两个简单极点和。由（3.44）可得其中 因此 例3.19 求的反变换 解 时，含有二重极点以及一个简单极点。因而 所以 需要指出，当的有理分式的分子中无公因子时，用反演积分（3.44）计算出的对应时间序列通项表示式，只适合的情况，而不能表示时刻序列值。的值应由初值定理确定或令再用（3.44）式来计算。这是因为，对于这样的，当时，（3.44）式中的被积函数为，它比时的被积函数多一个的极点。所以应和的通项分别计算。由初值定理可以推断，当的分母阶数和分子阶数相等时, 对应的初始序列值，应为一有界常数；当时，相应时间序列的前项均为零，即。现举例说明这种情况。例3.20 已知，用留数法求的反变换。解 由上式可以看出，当时，含有三个简单极点，。但是时，只有两个极点 ，。因此我们必须分别求以及。 求的值 因而 求时的 其中 因而 综合以上、计算结果 - 43 -