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1、第2章 计算机控制系统的信号特征数字计算机只能接受和处理二进制代码，这些二进制代码可以表示某一种物理量的大小或某个数值，称为数字信号。实际系统中的被控制量大都是一些在时间上连续的信号，一般称为模拟量或连续量。因此计算机控制系统也可以称为数字控制系统、离散控制系统或采样控制系统，而模拟控制系统也称为连续控制系统。本章首先介绍离散时间控制系统中信号类型，并从频域角度研究离散模拟信号的特性。2.1 信息变换原理2.1.1数字控制系统方框图及系统信息图2.1 计算机控制系统中前后的信息转换关系在DDC（Direct Digital Control）系统中，数字计算机主要起着控制器的作用。系统方框图及信
2、号形式如图2.1所示。 名词说明： 连续信号指在时间上是连续的，在幅值上也是连续的信号，在数学上可以用连续函数表示。 离散模拟信号指在时间上是离散的，而在幅值上表示连续量大小的信号。数字信号在时间上是离散的，而在幅值上也是离散（已经被量化）的信号。2.1.2 采样过程及理想采样信号的特征1、采样过程所谓采样，就是一种作用或过程，取某种东西的一小部分用于测试或分析。在计算机控制系统中，将连续信号转变成离散信号。采样过程如图2.2所示。连续信号通过采样开关后变成一组脉冲序列，“*”表示在时间上是离散的。脉冲宽度代表采样一个信号所需要的时间(即采样开始到结束 图2.2 采样过程的时间)，相邻两次采样
3、之间间隔时间T称为采样周期，通常比脉宽大得多。理想采样过程：当时 图2.3 理想采样过程有限宽度的脉冲序列可以近似看成理想脉冲序列，如图2.3所示。理采样间隔大小可以是随机的，也可以按规定规律变化。如图2.4所示。今后我们讨论的采样信号都是指均匀采样。若计算机控制系统中各点采样的采样周期都相同，称为单速率采样系统；若一个系统中有几种采样周期，则称为多速率采样系统。2、理想采样信号的特性 理想采样信号的时域数学描述图2.4 采样形式（a）均匀采样；（b）非均匀采样；（c）随机采样图2.3所示的理想采样信号可以看成是连续信号调制一组脉冲序列的幅度调制脉冲信号，如图2.5所示。其中，为单位脉冲周期函
4、数。 图2.5 脉冲幅度调制器 （2.1）由t=0时刻开始，则 （2.2）式（2.2）不仅描述了采样信号的基本特征，更重要的是给出了被采样的连续信号和采样信号在时域中的关系。由式（2.2）不难理解，理想采样信号可以看作连续信号对单位脉冲序列调制的结果，理想采样过程可以看作是脉冲调制过程，连续信号为调制信号，单位脉冲序列为载波信号，理想采样开关就是单位脉冲发生器，每隔时间T瞬时接通一次，就相当于产生一个单位脉冲。 理想采样信号的特性分析采样信号损失了连续信号采样时刻之间的变化信息；损失信息的多少与采样周期T和连续信号的变化速度快慢有关。l 采样信号能否完全反映连续信号的变化规律，或者说能否包含中
5、的全部信息?l 采样信号的信息损失和采样周期T有何关系?为此，下面就这两个问题对采样信号在频域中予以定量分析。对采样信号进行频域分析就是研究它的频谱特性。由式（2.1）可知，是一个周期为T的周期函数，所以它可以展开成指数型富氏（Fourier）级数，即 （2.3）式中：为采样角频率（简称采样频率）；为富氏系数。因为在时间内，仅在t=0处值等于1，其余均为零，并且=1所以， （2.4）因而得： （2.5）将（2.5）式代入（2.2）式，则有 （2.6）对上式的作拉氏变换，得 （2.7）令代入式（2.7），便得到采样信号的富氏变换 （2.8）上式就是采样信号的频率特性表达式，又称的频谱函数，而频谱
6、函数的模称为的振幅频谱，简称为频谱。因此，的频谱写成下式 图2.6 理想采样器输入输出信号频谱和（a）连续信号频谱 （b）、（c） 满足采样定理的离散信号频谱（d）不满足采样定理的离散信号频谱= （2.9）它给出了采样信号与连续信号在频域中的相互关系，从而找出信号和信号之间的内在信息关系。式（2.9）说明：采样信号的频谱是以采样频率为周期的频率的周期函数；在频率轴上是以采样频率为间隔的，与连续信号频谱（图2.6(a)所示）形状相似的无穷个分频谱，n=0,1, 2,之和组成的，如图2.6中（b）,（c）,（d）所示。式（2.9）中，的项正比于连续信号的频谱称为主频谱，为比例因子，也称为采样增益，
7、其余n0的各项称为旁频谱，它们的形状均与相似，仅相差一个比例因子，在频率轴上同相隔。由图2.6可以看出，如果连续信号的频谱是有限带宽的，即存在上限频率，当时，如图2.6（a）所示；采样频率（或），那么相应的采样信号的频谱如图2.6（b）、（c）所示，相邻分频谱互不重叠，采样信号的频谱在频段内就包含了连续信号频谱的全部频率成分。 可以设想，如果用一个理想低通滤波器(其频率特性为门形，在频段内，其幅值为常数1，如图2.6（b）、（c）所示)滤掉频段以外的所有的旁频谱的频率成分，那么，就可以得到连续信号的完整频谱，如图2.6（b）、（c）中矩形方框所示。这就意味着，在上述条件下，采样信号通过理想低通
8、滤波器就能够完全精确地恢复原有连续信号。由此可以判断，当上述条件满足时，采样信号就包含了连续信号的全部信息，或者说信号能够反映信号的全部变化规律。由图2.6可以看出,如果上述条件不满足，即采样频率），那么相应的采样信号频谱如图2.6(d)所示，相邻分频谱之间就出现部分重叠（称为“混叠”现象），在这种情况下，采样信号频谱中就不会包含连续信号频谱的全部频率成分，而仅包含 在频段内的频谱成分。而在和频段内，由于主频谱和旁频谱重叠，使得在这两个频段内的频率成分畸变。因而在此情况下，无论如何都无法从中获得连续信号的完整频谱。这就意味着无法由信号精确恢复原有连续信号。所以在这种情况下，采样信号就不会包含连
9、续信号变化的全部信息，只能近似地大体上反映的变化状况。由经过低通滤波所恢复的连续信号的波形与原有连续信号相比将会有明显失真。当采样频率取得越小于2，的频谱中的主频谱与旁频谱之间的重叠范围就越宽，相应采样信号的信息就越多，由恢复的连续信号的失真就越严重。通常称这种现象为“混叠效应”。 工程上为了避免出现“混叠效应”，通常取采样频率远大于2，使得的频谱中的主频谱与旁频谱在频率轴上拉开较大的距离，如图2.6（b）所示，拉开的距离越大，产生“混叠效应”的可能性就越小。如果被采样的连续信号中含有高频干扰信号，为了防止“混叠效应”出现，造成有用的低频信号失真，工程上常采用前置高频滤波器先对连续信号进行滤波
10、，滤除或衰减中的高频干扰成分，然后进行采样。2.1.3 采样定理1、香农（Shannon）采样定理如果对一个具有有限频谱的连续信号进行连续采样，当采样频率满足下式关系，即 （2.10）则采样信号能无失真地复现原来的连续信号。上式中，连续信号的最高频率；采样频率。2、采样周期T的选择采样周期T的大小对系统的影响。结合工程经验来进行折中选取采样周期T。常用方法有如下几种: 直接按照工程经验选取表2.1工业过程对象采样周期的选取参考表监控物理量采样周期（sec）备注流量15优先选用2s压力110优先选用6s液面510温度1020成分1030 按照开环系统频率特性截止频率选取 图2.7 控制系统的频率
11、特性（a）预期开环频率特性；（b）预期闭环频率特性对于电机控制系统，尤其是快速随动系统，采样周期T的选取较为严格，应该认真仔细考虑，常根据控制系统的动态品质指标来选取。假如控制系统预期开环频率特性如图2.7（a）所示，则闭环系统预期频率特性如图2.7（b）所示。在一般情况下，闭环系统的线性连续部分的频率特性都具有低频滤波器的性质。当控制系统的输入信号频率高于谐振频率时，将会很快地衰减。反馈理论指出，很接近它的开环频率特性的截止频率，超过的分量都被系统连续部分的低通滤波特性大大地衰减掉了。根据经验，模拟校正环节的功能用数字计算机来实现时，选择的采样频率为 （2.11）按上式可以得出系统的采样周期
12、 （2.12） 按开环传递函数选取 （2.13）其对应的脉冲响应函数中的基本分量为，（）（）,其中，为时间常数，为阻尼振荡角频率，为阻尼振荡周期。由此可以近似了解系统动态过程中信号的最快变化速度或最高的频率分量，因而可以作为采样周期选取的依据。采样周期的最大值为 一般选取采样周期为 （2.14） 按照开环系统阶跃响应上升时间选取图2.8 系统典型阶跃响应（a）过阻尼系统；（b）欠阻尼系统设开环系统稳定，其单位阶跃响应为图2.8所示。两种典型情况:(a)为过阻尼系统;(b)为欠阻尼系统。对于过阻尼系统，取单位阶跃响应到达其稳态值的63.2 %的时间(相当于一阶系统的时间常数) ，如图2.8（a）
13、所示。对于欠阻尼系统，取单位阶跃响应第一次到达其稳态值的时间，如图2.8（b）所示。我们知道，阶跃响应的初始阶段反映了响应中的高频分量，所以按照选取采样周期T，就相当于按照响应中的高频分量的周期选取T，一般 （2.15）2.2采样信号的恢复与保持器数字计算机作为控制系统的信息处理装置，将信息处理的结果输出一般有两种方式，一种是直接数字输出，就是直接以数字形式输出。另一种情况是需要把数字信号转换成模拟信号输出。保持器的作用表现在两方面：一是由于采样信号仅在采样开关闭合时刻有输出，而在其余时刻输出为零，所以，在两次采样开关闭合的中间时刻，存在一个采样信号如何进行保持的问题，从数学上来讲，就是解决两
14、个采样点之间的插值问题；二是保持器还要完成一部分滤波器的作用。2.2.1理想滤波器如图2.9所示，理想低通滤波器的频率特性满足以下方程： 图2.9 理想滤波器的幅频特性 （2.16）满足式（2.16）关系的理想特性滤波器，在物理上无法实现。因此，必须找出在特性上与理想滤波器相近的实际滤波器，保持器就是这样一类实际滤波器。从保持器的特性来看，它是一种在时域内的外推装置，具有常值、线性、二次函数（抛物线）型外推规律的保持器。能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过去时刻的采样值实行外推，而不能按将来采样值来进行外推。例如，在相邻两个采样时刻和之间的信号，必须用在以前的，等采样时刻的数值来估计。数学
15、上两点之间的函数可以用下述幕级数展开式表示： （2.17）式中 （2.18） （2.19） （2.20）式（2.19）、式（2.20）的计算可用，来估计。一、二阶导数的一种简单估计式为 （2.21） （2.22）如此等等。从这些导数近似表达式中可见，导数阶次越高，所需的延迟脉冲的数目越多。延迟数目越多，估计精度就越高，但时间延迟对反馈系统的稳定性有严重影响。为此，目前常利用（2.17）式的第一项来重构信号，由于它是多项式中零阶项，所以通常称为零阶外推插值。又因为在区间内保持不变，故又称为零阶保持器（Zero Order Holder）,常用ZOH来表示。若利用（2.17）式前两项来估计,这种装
16、置通常称为一阶外推插值（或一阶保持），它在数字仿真时常会用到。2.2.2 零阶保持器零阶保持器时域方程为 （2.23）图2.11 零阶保持器的输入输出信号由上式可以看出，零阶保持器是按常数外推的，而且只依赖现时刻的序列值外推，当下一时刻到来时，就换成下一时刻的序列值继续外推。离散信号序列的每个值，k=0,1,2,经零阶保持器外推后都将持续保持一个采样周期T。对应的零阶保持器输出是一个方波，其幅值等于对应的序列值，宽度为一个采样周期T。离散信号通过零阶保持器外推后就恢复成阶梯形连续信号，如图2.11所示。图2.12 零阶保持器脉冲过渡函数保持器的另一个作用就是有一定的滤波作用。现在来研究零阶保持
17、器的频率特性，评价它的滤波特性 。首先求出零阶保持器的传递函数，若零阶保持器的输入为单位脉冲函数，其输出必在一个采样周期T内保持为常数1的方波信号，其脉冲过渡函数如图2.12所示。 （2.24）式中为单位阶跃函数。对式（2.24）求拉普拉斯氏变换，即 （2.25）其频率特性为 （2.26） 因为，所以（2.26）式又可改写为 （2.27）对应的幅频特性为 （2.28）图2.13 零阶保持器频率特性曲线 （a）幅频特性 （b）相频特性零阶保持器的幅频和相频特性曲线如图2.13所示。图2.13(a)为幅频特性，可以看出，在频率等于采样频率整数倍处，等于零，随着频率的增大幅值减小。在等于3/2，5/
18、2，出现不希望有的峰值。在=/2处，幅频特性最陡峭，的幅值等于0.637T，基本上表现为一阶低频滤波器特性。当然，零阶保持器的幅频特性不是常数，因此，系统中引入零阶保持器，必然会引起系统的频谱失真。 零阶保持器相频特性如下： （2.29）其中，或。 由式（2.29）可以看出，零阶保持器的相频特性由两部分组成，和或 。当频率由0，2，23，变化时，幅频特性中的值正、负交替变化，则相频特性有180的突变，相频特性曲线如图2.13(b)所示。因此，零阶保持器的相频特性在处不连续。零阶保持器的特性如下：零阶保持器确有低通滤波特性。在的低频段范围与理想低通滤波器特性相近，在的高频段，虽然呈现较大衰减特性
19、，但与理想低通滤波特性差别很大，显然不能完全滤除中全部高频分量。由式（2.29）可以看出，零阶保持器的相频特性存在较大的负相移，负相移与采样频率成反比（与采样周期T成正比），最大可达180。因此在计算机控制系统中引入零阶保持器将使整个控制系统增加负相移，使系统闭环稳定性下降，所以进行系统分析、设计时，必须予以考虑。在条件许可下，适当提高采样频率可以减小零阶保持器产生的负相移。2.2.3 一阶保持器一阶保持器的外推公式由（2.17）式的前两项组成，即 （2.30）式中 一阶保持器是基于现时刻和前一时刻的两个序列值，按照线性函数外推的。外推的线性函数斜率（即随时间变化速度）等于前一时刻到现在时刻之
20、间的序列值平均变化速度即。对于离散信号依次出现的序列值，一阶保持器输出的连续信号都是从现时刻出现的序列值出发，并按照前一时刻到现时刻之间的序列值平均变化速度，随着时间线性变化，直到下一时刻来到时，再改从下一时刻出现的序列值出发，并按照现在时刻到下一时刻之间的序列值平均变化速度，随时间线性变化，如此不断外推下去。这样，离散信号通过一阶保持器外推后恢复成锯齿状分段连续信号，如图2.14所示。图2.14 一阶保持器输入输出信号 由图2.14可以看出，一阶保持器输出的外推部分与两个采样值有关，其中一个是现在时刻的采样值，另一个是前一时刻的采样值。如果在外推规律中考虑更高阶的差分，就势必牵连前面多个采样
21、周期的采样值，所以，差分的阶数越高，涉及的采样值就越多，因而高阶保持器能在经过多个采样周期之后更逼真地复现原连续信号，但反应慢，相位滞后严重，这对信号系统的稳定性是非常不利的，故在闭环离散控制系统中一般不采用高阶保持器。 图2.15一阶保持器的单位脉冲响应现在我们来分析一阶保持器的频率特性，首先求一阶保持器的传递函数。参看图2.15(a),设一阶保持器的输入为单位脉冲函数，即则，由式（2.30）可知在间隔内，一阶保持器的外推公式为 （2.31）因为，因此单位脉冲响应为 （2.32）在间隔内，一阶保持器的外推公式为 （2.33）在此间隔的脉冲响应为 （2.34）因为都等于零，所以其它间隔内的响应
22、为零。参看图2.15（b）。图2.15(b)中的实线表示出一阶保持器的脉冲响应函数。单位脉冲响应函数可以分解为图2.15(c)所示的函数，与之和，即 （2.35）, （2.36）为单位阶跃函数。 （2.37) （2.38）上面三式的拉普拉斯氏变换分别为 = =由此可得，一阶保持器的传递函数为 （2.39） 一阶保持器的频率特性为 （2.40）因为 所以 （2.41）其幅频特性为 （2.42）相频特性为 （2.43）一阶保持器的幅频和相频特性曲线如图2.16所示。由图表明： 一阶保持器同样具有低通滤波特性。对于低频分量不仅没有衰减，反而有所增强； 而对高频分量有较大衰减，但衰减量均比零阶保持器的衰减量小。所以一阶保持器恢复的连续信号中含有较强的高频率分量； 一阶保持器相频特性只在很低频率范围内，相移小于零阶保持器产生的相移，而对于高频分量，其相移比零阶保持器产生的相移都大。 图2.16 一阶保持器的频率特性与零阶保持器相比，一阶保持器的频率特性在和段内有峰值，高频分量较零阶保持器更容易通过，因此输出纹波较大。另外在较高的频率部分相位滞后较严重，这对反馈系统是不利的，因为开环传递函数的高频特性通常影响着系统的稳定性。由于以上原因加之一阶保持器结构复杂，所以虽然一阶保持器对输入信号有较好的复现能力，但实际上较少采用。- 33 -