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1、第5章 计算机控制系统特性分析计算机控制系统特性分析就是从给定的计算机控制系统数学模型出发，对计算机控制系统在稳定性、准确性、快速性三个方面的特性进行分析。通过分析，一是了解计算机控制系统在稳定性、准确性、快速性三个方面的技术性能，用以定量评价相应控制系统性能的优劣；更重要的是，建立计算机控制系统特性或性能指标与计算机控制系统数学模型的结构及其参数之间的定性和定量关系，用以指导计算机控制系统的设计。 本章主要内容有：计算机控制系统稳定性分析，稳态误差与动态响应分析。5.1计算机控制系统稳定性分析与模拟控制系统相同，计算机控制系统必须稳定，才有可能正常工作。稳定是计算机控制系统正常工作的必要条件
2、，因此，稳定性分析是计算机控制系统特性分析的一项最为重要的内容。5.1.1连续系统稳定性及稳定条件 离散系统稳定性和连续系统稳定性含义相同。对于线性时不变系统而言，无论是连续系统还是离散系统，系统稳定是指该系统在平衡状态下（其输出量为某一不随时间变化的常值或零），受到外部扰动作用而偏离其平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能够回到原来的平衡状态（这种意义下的稳定通常称为渐近稳定）。如果系统不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性所决定的，而与系统外部输入信号的有无和强弱无关。 线性时不变连续系统稳定的充要条件是：系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递函
3、数的所有极点都分布在S平面的左半平面，或者说，系统所有特征根具有负实部，设特征根，则。S平面的左半平面是系统特征根（或极点）分布的稳定域，S平面虚轴是稳定边界。若系统有一个或一个以上的特征根分布于S平面的右半平面，则系统就不稳定；若有特征根位于虚轴上，则系统为临界稳定，工程上也视为不稳定。5.1.2 S平面与Z平面的映射关系 在第3章中定义Z变换时，规定了和的关系为 （5.1）式中，和均为复变量，T是采样周期。设，则 （5.2）z的模及相角分别为，及 （5.3） 在实际计算机控制系统中采样频率远远大于系统中被采信号的最高频率，即（根据采样定理，），就是说，系统实际工作频率范围在主频区以内。因而
4、，我们在研究S平面和Z平面之间的关系时，主要讨论S平面主频区与Z平面之间的关系即可。因为，所以，S平面主频区对应的范围是。 参看图5.1，图中S平面主频区。 S平面虚轴上段，映射到Z平面半径为1的上半圆。 因为，则。z的模；相角。 S平面段， ，。因而，映射到Z平面上，z的模，z的相角。该段对应于Z平面上的段，实际上它是与负实轴重合（沿着负实轴由-1变到0），但为了表示清楚，将段同负实轴分开画出。 图5.1 S平面与Z平面之间的关系 S平面段，。因而，映射到Z平面上，z的模，z的相角。点、点重合，但相角改变了。 S平面段，。因而，映射到Z平面上，z的模，z的相角。该段对应于Z平面上的段。 S平
5、面段，s 沿负虚轴变化，。因而，映射到Z平面上，z的模，z的相角。对应于Z平面上的段，半径为1的下半圆。 若s的实部则z的模。 以上的分析表明：S平面左半面映射到Z平面单位圆内部；S平面右半平面映射到Z平面单位圆外部；S平面虚轴映射到Z平面单位圆上。由此我们可以得出离散系统的稳定条件。 离散系统的稳定条件 图5.2 S平面与Z平面的稳定区 如果离散系统脉冲传递函数的根，即特征方程的根都位于Z平面单位圆内部，则系统稳定；如果有一个根位于单位圆外部，则系统不稳定；如果有根位于单位圆上，则系统临界稳定。图5.2中阴影部分即为两平面的稳定区。5.1.3 计算机控制系统的稳定性 现在进一步论证关于离散系
6、统中脉冲传递函数在Z平面中的稳定区问题。设图5.3为某离散系统（或环节）的方5.3 离散控制系统框图，脉冲传递函数为 （5.4）式中，设，式（5.4）的分母写成因式相乘的形式 （5.5）设输入为单位脉冲函数，,即，因此 （5.6）式中是脉冲传递函数的极点。系统脉冲响应为（5.7）上式中第一项的Z反变换为。其余各项为 （5.8）式（5.8）的Z反变换为 （5.9）所以 （5.10） 系统脉冲响应分析：的第一项只是在时存在，是系统脉冲响应的初值。极点所对应脉冲响应为为常数，。可能是实数（可能是正实数，也可能是负实数）；也可能是复数。 1 若为实数 随着的变化，对于不同的，其脉冲响应也随之不同，参看
7、图5.4。 时，系统对应的输出分量是发散序列。图5.4中极点，其输出为，是发散序列；时，对应的输出分量是等幅不衰减序列，如图5.4中=1点； 图5.4 离散系统实数极点相应的脉冲响应时，对应的输出分量是单调衰减序列，如图5.4中；时，对应的输出分量是交替变号的衰减序列，如图5.4；时，对应的输出分量是交替变号的等幅序列，如图5.4；时，对应的输出分量是交替变号发散序列，如图5.4。 2 若极点中含有共轭复数对 若极点中含有共轭复数对时，则复数对极点所对应的系统脉冲响应为振荡序列。令共轭极点对为，一般我们将共轭极点对所对应的部分分式写成如下形式 （5.11）式中，的两个极点为 （5.12）所对应
8、的脉冲响应为下列组合 ，上式中的值可以由式（5.11）计算出。而的值由1开始算起，是由于式（5.11）的分式中，分母z的阶数比分子z的阶数大于1，时，。经化简、合并计算，得出 （5.13）式中，由式（5.13）中表达式中可以看出，式（5.11）共轭极点对所对应的脉冲响应为振荡形式，其幅值发散或收敛决定于的值：如果，则幅值发散；如果，则幅值收敛；若，则等幅振荡。的值确定的振荡频率；的值确定的初相位。根据式（5.13）绘制出Z平面上六种不同位置的复数极点所对应的脉冲响应，如图5.5所示。 由图5.5可以看出： 时，系统输出是发散振荡，如极点对所对应的脉冲响应；时，系统输出是衰减振荡，如极点对所对应
9、的脉冲响应；时，系统输出是等幅振荡，如极点对所对应的脉冲响应。 综上所述，可以看出线性离散系统的闭环极点的分布影响系统的过渡特性。当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。 当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快,系统的动态响应越快。反之，极点越接近单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。 图5.5 离散系统共轭极点对所对应的脉冲响应 另外，当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的，但过渡特性不好。因此，设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面上右半圆内。由以上分析可知
10、，计算机控制系统闭环极点不论实极点还是复极点（均在单位圆内）愈靠近Z平面原点（其模愈小），其暂态响应分量衰减就愈快。反之愈靠近单位圆，其暂态响应分量衰减愈缓慢。由此可以推想，对于有两个以上极点的高阶控制系统，如果系统有一对极点靠近单位圆，而其余极点和零点均靠近原点，那么这样的系统暂态响应就主要由这对靠近单位圆的极点的暂态响应分量所支配，其它极点的暂态响应分量因衰减相对很快，可忽略不计，通常称这对最靠近单位圆的极点为主导极点。这样的高阶系统就可以近似为二阶系统，它的暂态响应特性可由它的主导极点在Z平面的位置大致估计出来。5.2 计算机控制系统稳定性分析 由以上分析可知，离散系统稳定性判别归结为判
11、断系统特征方程的根，亦即系统的极点是否全部分布于Z平面单位圆内部，或单位圆外部是否有系统的极点。直接求解系统特征方程的根，虽然可以判别系统稳定性，但三阶以上的特征方程求解很麻烦。为此，人们通常都用间接的方法来判别系统的稳定性。下面给出几种间接判别离散系统稳定性的代数判据。5.2.1通过双线性变换进行稳定性分析 变换（又称双线性变换）。变换定义如下： （5.14）式中，T为采样周期。解出w为 （5.15）在Z平面上，单位圆为，代入上式（5.15），则有 （5.16）利用三角恒等式，上式也可以表示为 （5.17） 图5.6 Z平面与W平面的映射关系因而，由上式可以看出，Z平面的单位圆变成平面上的虚
12、轴，见图5.6。平面上的稳定区就是左半平面。双线性变换就是通过式（5.14）将Z平面上离散系统的特征方程变换到平面上，再判定特征方程的根是否位于平面左半平面部分来确定系统是否稳定。 劳斯（Routh）稳定性判据 我们假设读者熟悉劳斯判据，应用步骤简单地总结如下： 若已知特征方程（5.18）则劳斯阵列为 阵列的前两行是由特征方程的系数得到的，其余行计算如下： 一旦阵列求出，劳斯判据为：对于特征方程来说，具有正实部根的个数等于阵列中第一列系数符号改变的次数。现在通过两个例子，说明劳斯判据的应用。 5.7 单位反馈离散系统例5.1 研究图5.7所示系统的稳定性。T=0.1sec,开环传递函数为 。解
13、 由Z变换表，我们可以得出 采用双线性变换即 特征方程为即 由上面的特征方程，列出劳斯阵列阵列的第一列中，系数全部大于零（即无符号改变）时 ，得出 ，得出 ，得出 由此可知，系统稳定。 例 5.2 我们仍研究图5.7所示系统，此时，采样周期T=1sec。 解 系统特征方程为即 特征方程劳斯阵列考查阵列的第一列，系数全大于零（即无符号改变）时，可以得出 得出 得出 得出 所以时系统稳定。由上面的分析可知，对于同一系统来说，采样周期T由0.1sec加大到1sec时，系统稳定时，其放大系数减小。值得提出的是，有些教科书中，双线性变换的定义采用，其分析方法同上。5.2.2 朱里（Jury）稳定性准则朱
14、里稳定性准则给出了系统特征根（极点）位于单位圆内（z1）的充分、必要条件。现在来讨论朱里稳定性准则。设离散系统的特征方程为 （5.19）式中。如果，则用（-1）乘，使变为正值。 根据式（5.19）方程的系数，列出朱里阵列注意到，当特征方程的阶数时，只需要1行；当时，只需要3行。前两行不需要计算，只是将的原系数先倒排，然后顺排。从第三行开始，第一项用2行2列的行列式进行计算，阵列中偶数行的元素就是前一行元素反过来的顺序，如此计算到第行各项为止。奇数行元素的定义为 ， ， ， ， （5.20）朱里稳定性准则：特征方程式（5.19）的根（极点）全部位于Z平面单位圆内的充分、必要条件是（）： （5.2
15、1） 对于一个稳定的系统，式（5.21）的条件必须全部满足，才是稳定的。若有一个条件不满足，则系统是不稳定的。 下面列出了一些常用的低阶系统根据朱里阵列得到的稳定条件。这些稳定条件用特征方程的系数表示。 一阶系统：稳定条件： （5.22） 二阶系统：稳定条件： （5.23） 三阶系统：稳定条件： （5.24） 下面仅就三阶系统的稳定条件进行讨论： :将代入三阶特征方程 则：因为为奇数，将代入三阶特征方程：由式（5.20）根据上式计算（），即计算（），即图5.7单位反馈离散系统例 5.3 我们仍研究图5.7所示系统，采样周期T=1sec时，试用朱里稳定性准则确定系统稳定时的范围。解 由图5.7可
16、以求出，系统特征方程为即二阶系统只有3项，因而不需要再计算其它的行，系数等于。根据前述二阶系统稳定条件 ，即，求得 ，即，求得 ，即，求得 因而，当时，系统是稳定的。时临界稳定。此时，特征方程为方程根为。因为，所以系统以的频率振荡。 例 5.4 设某离散闭环系统的特征方程为试用朱里稳定性准则，判定该系统是否稳定。 解 在上述条件下，朱里阵列为最后一行计算如下： 条件不满足，因为 条件满足，因为 即 满足。 不满足，因为 由以上分析可知，该系统是不稳定的。 该系统特征方程可进行因式分解其中有一根，清楚表明系统是不稳定的。 例 5.5 设某系统的特征方程为其中，采样周期，试确定出系统稳定时的范围。
17、 解 将代入特征方程，得该特征方程为二阶方程，且。因此，根据朱里稳定性准则 ，条件满足，且与无关。 ，求出 ，由此求出因此，时系统稳定。5.2.3 采样周期对闭环系统稳定性的影响 在反馈控制系统中，采样周期T对系统稳定性起着重要的作用。5.8 离散控制系统例5.6 判断图5.8所示系统在采样周期T=1sec和T=4sec时的稳定性。解 为了判断这个系统在采样周期为T=1sec和T=4sec时的稳定性，必须求出该反馈系统的闭环脉冲传递函数，求出其特征方程，就可判断系统的稳定性。因为 （5.25）系统开环脉冲传递函数为 （5.26）系统闭环脉冲传递函数是 （5.27）其特征方程即1. T=1sec
18、 时，系统特征方程为 （5.28）特征方程为二阶方程，。根据朱里稳定性准则： 由朱里稳定性准则可以得出结论，采样周期T=1sec时，该系统稳定。2. 采样周期为T=4sec时，其特征方程为 （5.29）特征方程系数。 根据朱里稳定性准则： ，满足条件。 ，不满足条件。 ，满足条件。结论,其中不满足条件，系统就不稳定。 直接解特征方程（5.29）,得出两个根为其中绝对值大于1，即位于单位圆外，所以系统不稳定。 从这个例子可以看出，一个原来稳定的离散反馈系统，当加大采样周期时，如超过一定程度，系统就会不稳定。5.3 计算机控制系统动态过程 控制系统暂态响应正是反映了系统快速性和动态品质的优劣。计算
19、机控制系统的暂态响应通常也是指系统对单位阶跃参考输入时的输出响应的动态过程。图5.9所示响应曲线就是控制系统常见的阻尼振荡形式的暂态响应。图5.9 计算机控制系统的典型暂态响应图5.9(a)为连续系统输出，5.9(b)为离散系统输出，计算机控制系统的被控对象大多是连续环节，其实际输出为连续信号，但是被控对象被离散化以后，整个控制系统就化为离散系统，当在Z域分析时，所考虑的只是采样点的输出值。 表征计算机控制系统动态响应特性的主要参数是系统单位阶跃响应的调整时间（也称建立时间），最大超调量和峰值时间。其中调整时间反映控制系统的快速性，最大超调量和峰值时间反映系统阻尼特性和相对稳定性。参数、的定义
20、和连续系统相同。计算机控制系统暂态响应过程也是由系统本身结构和参数所决定的，与系统闭环极点在Z平面上的分布有关。5.3.1闭环离散系统的暂态响应 现在我们来研究图5.10所示闭环离散系统。系统中广义对象传递函数为 （5.30）图5.10 闭环离散系统其中，为零阶保持器的传递函数，控制器为比例放大器，放大系数=1。采样周期T=1sec。分析该系统对于单位阶跃输入时，其输出的脉冲序列。 广义对象脉冲传递函数为 （5.31）则系统闭环脉冲传递函数为 （5.32）其中。 对于单位阶跃输入因此，系统输出响应 （5.33）闭环系统输出脉冲序列 。在求的Z反变换时，可以采用第3章中所讲述的各种求Z反变换的方
21、法。 如将展成部分分式， 令，采用MATLAB命令将进行部分分式分解N=0.368 0.264;D=1 -2 1.632 -0.632;r,p,k=residue(N,D)r = 1.0000 -0.5000 + 0.1069i -0.5000 - 0.1069ip = 1.0000 0.5000 + 0.6181i 0.5000 - 0.6181ik = 上述MATLAB命令解释如下： N、D分别为式的分子、分母系数向量，r为将分解成部分分式时三个分式的分子，而p为三个分式的极点。因此 （5.34） （5.35）由式（5.35）可以求出的反变换。在求时，表达式（5.35）右边的第一项所对应Z
22、反变换为（）；第二项的Z反变换参阅式（5.11），对比式（5.35），。注意到表达式（5.35）右边的第二项分式中分子存在一个Z因子，因此所对应的Z反变换，其的值应当由开始。参阅式（5.13），得出 （5.36）其中 所以 （5.37）输出表示在图5.11。输出的值趋于1，这可以由终值定理来证明 图5.11 离散系统输出序列上面我们讲述了求解闭环离散系统的暂态响应时所采用的方法，即先求出系统输出表达式，然后求的反变换，则。在求的反变换时，采用了将表示成为部分分式的形式，分别求出其对应的反变换，然后相加。这种方法可以得出系统输出的数学表达函数。 图5.12 系统仿真框图如果我们只想求出系统输出的
23、暂态过渡过程的初始阶段数据，而不必求出其数学表达式，则可采用MATLAB中的Simulink工具箱对系统进行仿真，求出系统输出响应。以上面所分析的系统为例，其仿真系统如图5.12所示。图5.12仿真图中，离散传递函数，采样周期T=1sec。系统仿真输出与图5.11所示曲线是一样的。5.3.2 修正Z变换修正Z变换有些教科书中称为延迟Z变换或广义Z变换。由第三章所讲的Z变换定义可知，连续信号的Z变换与之对应的是的按给定采样周T采样的序列，所以只能反映连续信号在各个采样时刻的变化情况，而不能反映在采样时刻之间的任何变化信息。如果需要Z变换能够反映在采样时刻之间的变化情况，可以人为地使连续信号延迟（
24、1）后再作Z变换，如图5.13(a)所示。图5.13 信号右移修正Z变换这样，延迟后的连续信号的Z变换就与采样序列相对应，采样序列与的关系如图5.13(b)所示。由图可知，的各序列值正是在采样信号的各采样时刻之间的数值。当由变化，相应的Z变换就能反映连续信号在的各采样时刻之间任一时刻的变化情况。通常称信号延迟T后的（1）的Z变换（将作为参变数）为信号的修正Z变换。修正Z变换并非新的概念，与前面第3章讲的一般Z变换一样，修正Z变换在计算机控制系统分析中也是很有用的，可以用来计算计算机控制系统连续输出在采样时刻之间的任意时刻的数值，也可以用来处理被控对象带有非采样周期整数倍的延迟以及非同步采样和多
25、速率采样的计算机控制系统的有关分析问题。 1. 修正Z变换定义 修正Z变换常用符号作为变换算子符，用表示变换后的表示式。连续信号的修正Z变换定义为 （5.38）考虑到（） （5.39）令，则（5.40）于是可利用（5.40）式，将的修正Z变换表示成为 （5.41）式中，为修正Z变换的参变数。式（5.41）即为修正Z变换的定义式。 对于用表示的连续函数，其修正Z变换为 （5.42）的参变数有两种极端情况 （即），则 （5.43）这表示，时，则相当于延迟一个采样周期。 （即），则 （5.44）如果，则 （5.45）这意味着，当，且时，修正Z变换蜕变为一般Z变换。2. 几种典型函数的修正Z变换 单位
26、阶跃函数 （5.46）根据式（5.41）修正Z变换的定义 （5.47）注意到，单位阶跃函数的修正Z变换与参数无关。 单位斜坡函数 （5.48） 根据修正Z变换定义 （5.49） 指数函数 （5.50） 同样，根据修正Z变换定义 （5.51） 常用函数的修正Z变换在表5.1中列出，已备查阅。表5.1 常用函数修正Z变换表序 号1234567891011综上所述，对于常用函数修正Z变换可以查表得到结果。但为了加深理解，如果已知连续信号的传递函数为，可以根据修正Z变换定义逐步推演求出，其步骤如下： 由传递函数求出单位脉冲响应； 根据拉氏变换的平移定理，由和，可求得； 根据修正Z变换定义，求出修正Z变
27、换。 注意到，的Z反变换为或，当等于零时，因此，在求修正Z反变换时，得出序列函数，应从大于等于1算起（）。5.3.3 含有滞后环节的计算机控制系统的输出响应一般计算机控制系统都具有滞后特性。一是被控对象，特别是工业被控对象，大多都具有滞后特性；二是计算机执行控制程序和计算所需要的时间（即程序滞后）以及A/D转换时间等，都可以等效为滞后环节。对于含有滞后环节的计算机控制系统，也可以应用修正Z变换在Z域进行分析，计算它的输出响应。现在来分析图5.14具有滞后环节的计算机控制系统。已知为控制器的脉冲传递函 图5.14 具有滞后环节的计算机控制系统数，广义对象传递函数为，采样周期为。 因为为广义被控对
28、象，其中不含滞后因子，设滞后时间整数，则系统连续部分的脉冲传递函数为令，由修正Z变换定义，可知代入上式，得系统连续部分脉冲传递函数为由图5.14系统结构，得系统闭环脉冲传递函数为系统闭环特征方程为利用闭环特征方程可以分析闭环系统的稳定性。 由闭环脉冲传递函数可知，闭环系统输出的脉冲传递函数为对作Z反变换，便得到系统输出的相应序列。 例5.7 对于图5.14所示系统，设，,sec,。求该系统脉冲传递函数。解 系统中含有滞后环节，滞后时间，则 因此因为广义对象传递函数为则相应的脉冲传递函数为 因为sec，所以系统开环脉冲传递函数为系统闭环脉冲传递函数为 。5.3.4 利用修正Z变换求采样点之间的信
29、息图5.15 计算机控制系统输出端加一虚拟滞后环节 我们知道，计算机控制系统的被控对象绝大多数是连续环节，其实际输出是连续信号。系统分析时，采用Z变换方法只能得到系统输出在采样点上的序列值或。利用修正Z变换可以用来求取系统在非采样时刻的输出响应，即能够求出计算机控制系统连续输出响应。具体方法是，在系统的输出端加一虚拟滞后环节，如图5.15所示，再利用修正Z变换和Z反变换的方法获得系统非采样点之间的输出。对于图5.15所示系统，系统输出为连续信号，加一虚拟滞后环节后，系统输出信号为，时间域为，则它的Z变换为的修正Z变换。由图5.15可知， （5.52） （5.53） （5.54）式（5.54）两
30、边取“*”，得 （5.55）将式（5.55）代入式（5.53）得 （5.56）由上式解出 （5.57）将式（5.57）代入式（5.52）得 （5.58）系统加一滞后环节后的输出 （5.59）式（5.59）的修正Z变换为 ， （5.60）对进行Z反变换，求得输出序列，令由0变到1，就可以获得系统在采样点与之间的任何时刻的连续输出值，由此便可以了解到系统连续输出响应的变化细节。例 5.8 在图5.14所示系统中，设控制器，采样周期sec。若系统输入为单位阶跃函数，试计算该系统在采样点之间的连续输出响应。解 连续被控对象的修正Z变换为由修正Z变换表5.1可以查出，注意到，得 连续被控对象的Z变换为
31、系统输入为单位阶跃函数，则，由式（5.60）得系统输出修正Z变换为 用反演积分法求的Z反变换，有两个极点，求出它们相应的留数因此， 整理上式，得（5.61）由上式可以计算出图5.16离散系统连续输出响应以上各段输出均为的函数，当由0变到1时，便得系统连续输出响应，如图5.16所示。图5.16采用MATLAB程序绘出，程序如下： for k=1:6 for i=1:200m(i)=i/200;c(100*(k-1)+i)=0.6-0.949*(1.58*exp(-m(i)-0.948)*(-0.58)(k-1);t(100*(k-1)+i)=k-1+m(i);endendplot(t,c)程序说
32、明：由1到6，因为采样周期T=1sec，所以时间范围为=6sec。在按照式（5.61）计算系统输出时，参变数由变化时，其增量的取值为1/200（sec）,当然的取值还可以更小。 5.4 计算机控制系统的稳态误差分析稳态误差是衡量计算机控制系统准确性的一项重要性能指标。在工程实际中，通常都是希望系统的稳态误差越小越好，稳态误差愈小，表明系统控制的稳态精度就越高。所以稳态误差是计算机控制系统分析和设计时必须考虑的主要内容之一。对于特定形式的参考输入，控制系统的稳态误差就由系统本身结构及参数来确定。在连续控制系统中，是用系统的误差系数来定量表示系统对常见典型参考输入的复现能力，并将其作为控制系统的稳
33、态准确性的一种定量指标。5.4.1 计算机控制系统的稳态误差与稳态误差系数 设计算机反馈控制系统如图5.17所示，系统闭环稳定。图中，为控制器脉冲传递函数；令为广义对象图5.17计算机反馈控制系统脉冲传递函数；为系统开环脉冲传递函数。系统中误差为 （5.62）上式两边取“*”，则有由此得出， 即 （5.63）通常称为系统闭环误差脉冲传递函数。 （5.64） 现在我们来考察系统采样时刻稳态误差，采样时刻误差为，根据终值定理可知，稳态误差为 （5.65）将式（5.63）代入式（5.65），则有 （5.66）由式（5.66）可以看出，系统稳态误差不仅与系统的结构，如系统开环脉冲传递函数有关，而且与系
34、统输入的类型有关。下面我们以工程中常用的三种输入信号：单位阶跃信号；单位斜坡信号；加速度信号，对系统稳态误差加以研究。 1. 稳态位置误差常数 对于单位阶跃输入，则 （5.67）将上式代入式（5.66），可以求出系统对于单位阶跃输入时，系统稳态误差为定义稳态位置误差常数为 （5.68）则单位阶跃输入时，系统稳态误差为 （5.69）如果，则系统单位阶跃输入稳态误差为零，系统开环脉冲传递函数至少有一个的极点。2. 稳态速度误差常数 对于单位斜坡输入，则 （5.70）将上式代入（5.66），得定义稳态速度误差常数如下： （5.71）则系统对于单位斜坡输入时的稳态误差为 （5.72）如果，则系统单位斜
35、坡输入稳态误差为零，要求系统开环脉冲传递函数有的双极点。3. 稳态加速度误差常数对于加速度输入时，则 （5.73）将上式代入（5.66）式，得定义稳态加速度误差常数如下： （5.74）则稳态误差为 （5.75）如果，则系统加速度输入时稳态误差为零，要求系统开环脉冲传递函数有的三重极点。 由以上的分析表明，系统稳态常数、和可以定量表示系统分别对阶跃、速度以及加速度三种典型输入的稳态复现能力，它们的数值越大，控制系统对相应的典型输入的稳态复现能力就越强，相应的稳态误差就越小，反之亦然。由以上三常数定义可知，它们数值的大小与控制系统本身结构和参数有关。4. 控制系统的类型及误差常数将控制系统开环脉冲
36、传递函数写成如下形式： （5.76）式中，的分母中无因子，即中无积分环节。为系统中的积分环节的阶次，称为系统的类型数。计算机控制系统和连续系统一样，也是按照系统中包含的积分环节的阶次将系统分为若干类型。若系统开环脉冲传递函数中的=0，即系统中无积分环节，则系统为0型系统；中的=1，即系统中含有一阶积分环节，则系统为型系统；若中的=2，即系统中含有二阶积分环节，则系统为型系统，依此类推。下面分别考察0型、型、型系统的稳态误差系数以及它们分别对单位阶跃、单位速度、加速度三种典型参考输入的稳态误差。 0型系统按照控制系统稳态误差常数定义式（5.68）、（5.71）和（5.74）0型系统的稳态误差系数
37、分别为 （5.77）式中，为系统开环稳态增益，为一非零的有限值。由式（5.77），得出0型系统对三种典型参考输入的稳态误差分别为，对单位阶跃输入：对单位速度输入：对加速度输入： 由以上考察可知，0型系统不可能完全消除对阶跃输入的稳态误差，总有一定的稳态误差存在。0型系统对速度和加速度输入稳态误差均为无穷大，所以0型系统无法实现对速度和加速度输入信号的跟踪。 型系统按照控制系统稳态误差常数定义式（5.68）、（5.71）和（5.74），型系统的稳态误差系数分别为 （5.78） 型系统对三种典型参考输入的稳态误差分别为对单位阶跃输入：对单位速度输入：对加速度输入： 由以上分析可知，型系统对参考输入
38、的稳态复现能力比0型系统强，对阶跃输入具有极强的稳态复现能力，能够完全消除对阶跃输入的稳态误差；对速度输入也有一定的稳态复现能力，并且随着系统开环稳态增益的增大而增强，相应的稳态误差也随之而减小，但型系统不能完全消除对速度输入的稳态误差，型系统没有对加速度输入的稳态复现能力，其相应的稳态误差为无穷大，所以型系统不能实现对加速度输入信号的跟踪。 型系统同理，型系统的稳态误差系数为 （5.79）型系统对三种典型参考输入的稳态误差分别为对单位阶跃输入：对单位速度输入：对加速度输入：以上分析表明，型系统对参考输入的稳态复现能力比0型和型系统都强，它可以完全消除系统对阶跃输入和速度输入的稳态误差，对加速度输入也有一定的稳态复现能力，其相应稳态误差随着系统开环稳态增益的增大而减小，可以实现对加速度信号的跟踪，但不能完全消除对加速度输入的稳态误差。表5.2列出三种类型系统的稳态误差常数及稳态误差。表5.2 三种类型系统的稳态误差常数及稳态误差。系统类型0000000还应指出，由以上分析可知，控制系统对参考输入的稳态复现能力除了与系统开环稳态增益或有关外，还与系统中含有的积分环节阶次有关。积分环节阶次越高，系统的稳态复现能力就越强，这是因为积分环节的稳态增益为无穷大的缘故。由此看来，通过增加控制系统的积分环节阶次，可以增强系统的稳态复现能力，提高系