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1、线性代数课件第一章行列式第1页，本讲稿共64页第一章 行列式 行列式的定义行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则主要内容：行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开第2页，本讲稿共64页111 1 行列式定义行列式定义用消元法解二元一次方程组：一、二阶和三阶行列式 分母为的系数交叉相乘相减：第3页，本讲稿共64页定义二阶行列式：主对角线元素图示记忆法例第4页，本讲稿共64页用消元法解三元线性方程组：可得的分母为(若不为零）：定义三阶行列式：图示记忆法第5页，本讲稿共64页例 解例 计算三阶行列式的例子：第6页，本讲稿共64页对于数码对于数码 is 和和
2、it：逆序数逆序数：一个排列中逆序的个数，：一个排列中逆序的个数，例例 求求 132、436512 的逆序数的逆序数解解逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，n 阶阶（级级）排列排列：由：由n个不同的数码个不同的数码1,2,n组成的有序数组组成的有序数组132 是奇排列，是奇排列，436512 是偶排列。是偶排列。但但 312是偶排列，是偶排列，634512、436521是奇排列。是奇排列。（二）排列与逆序数大前小后叫逆序(反序)记为：为奇数的称为为奇数的称为奇排列奇排列。可见：可见：交换任何两个元素（交换任何两个元素（对换对换）改变了排列的奇偶性！）改变了排列的奇偶性！第
3、7页，本讲稿共64页再分析P.5的表1-1排列1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1逆 序无322121，3131，32 32，31，21逆 序 数011223奇偶性偶偶偶奇奇奇 一个对换改变排列的奇偶性；一个对换改变排列的奇偶性；3!个排列中，奇、偶排列各占一半。个排列中，奇、偶排列各占一半。第8页，本讲稿共64页定理1 对换改变排列的奇偶性。证（1）设元素）设元素 i,j 相邻：相邻：若若 ij,则新排列则新排列减少减少一个逆序。一个逆序。改变了奇偶性改变了奇偶性（2）设元素）设元素 i,j 不相邻：不相邻：共作了共作了2s+1次相邻对换，次相邻对换，由（由（1）知，
4、排列改变了奇偶性。）知，排列改变了奇偶性。第9页，本讲稿共64页定理2 n 个数码构成 n!个n 级排列，奇偶排列各占一半（n!/2 个）。证设有设有p p 个个奇奇排列，排列，q q 个个偶偶排列，排列，p 个个奇奇排列排列p 个个偶偶排列排列q 个个偶偶排列排列q 个个奇奇排列排列第10页，本讲稿共64页（三）n 阶行列式定义2 阶：3 阶：n 阶：1 阶：第11页，本讲稿共64页几种特殊行列式：例 解 由定义，只有左下三角形行列式第12页，本讲稿共64页右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：特别：对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)OO第13页，本讲稿共64
5、页例第14页，本讲稿共64页的一般项还可记为或（定理1.3）(P.10)列标按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示(证明略）：第15页，本讲稿共64页例下列元素之积是否为四阶行列式的项？否否，因为第二行有两个元素；，因为第二行有两个元素；是是，因为四个元素取自不同行不同列，因为四个元素取自不同行不同列，例例 解解第16页，本讲稿共64页 1.2 行列式的性质行列式的性质复习：第17页，本讲稿共64页定义：的转置行列式行变列，列变行例第18页，本讲稿共64页证D的一般项的一般项：它的元素在中位于不同的行不同的列，因而在的转置中位于不同的列不同的行所以这n个元素的乘积在的转置中应为性质1所以由此性
6、质也知：行具有的性质列也同样具有第19页，本讲稿共64页性质2交换行列式的两行（列）,行列式反号。证D的一般项的一般项：交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，即行标排列中，i和s作了对换，改变了排列的奇偶性，改变了排列的奇偶性，故反号故反号。第20页，本讲稿共64页推论：n 阶行列式某两行（列）对应元素全相等，则行列式等于零。证第21页，本讲稿共64页性质3证记左边的行列式为记左边的行列式为D1,有有注：注：该性质对列也成立。该性质对列也成立。第22页，本讲稿共64页推论：n 阶行列式某两行（列）对应元成比例，则行列式等于零。证提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，提出比例系数
7、后，行列式有两行（列）对应相等，由前面的推论知行列式为零。由前面的推论知行列式为零。第23页，本讲稿共64页性质4 注：注：该性质该性质对列也成立对列也成立。证左边行列式的一般项为：左边行列式的一般项为：可推广到可推广到 m 个数的情形。个数的情形。第24页，本讲稿共64页性质5（保值变换）证成比例第25页，本讲稿共64页例 计算行列式思路：用保值变换化成三角形行列式第26页，本讲稿共64页将过程记在行列式符号的右边，用将过程记在行列式符号的右边，用“箭头箭头”表示。表示。解第27页，本讲稿共64页为对称行列式例为反对称行列式例是反对称行列式不是反对称行列式两个重要概念第28页，本讲稿共64页
8、例 证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有 第29页，本讲稿共64页用性质计算行列式=9第30页，本讲稿共64页一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。第31页，本讲稿共64页关于范德蒙行列式注意以下三点第32页，本讲稿共64页1.形式形式:按升幂排列按升幂排列,幂指数成等差数列幂指数成等差数列.2.结果结果:可为正可为负可为零可为正可为负可为零.3.共共n(n-1)/2项的乘积项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？你会用范德蒙行列式
9、的结果做题吗？第33页，本讲稿共64页例：第34页，本讲稿共64页范德蒙行列式范德蒙行列式有几种变形有几种变形?第35页，本讲稿共64页主要内容：主要内容：1.1.代数余子式代数余子式2.2.展开定理展开定理1.3第36页，本讲稿共64页余子式n-1阶行列式Aij=(-1)i+j Mijaij 的 代数余子式（一）按某一行（列）展开第37页，本讲稿共64页定理4 按行展开按列展开即：D 等于第 i 行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。第38页，本讲稿共64页证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）第39页，本讲稿共64页第40页，本讲稿共64页(3)四阶行列式按第三行展开的结果
10、n阶行列式按第i行展开：第41页，本讲稿共64页例2 计算行列式解 按第三列展开其中：第42页，本讲稿共64页所以第43页，本讲稿共64页解2按第二行展开按第一列展开第44页，本讲稿共64页例 讨论当为何值时解第45页，本讲稿共64页所以，当第46页，本讲稿共64页例4 求证第47页，本讲稿共64页证按第1列展开第48页，本讲稿共64页n-1阶第49页，本讲稿共64页第50页，本讲稿共64页第51页，本讲稿共64页第52页，本讲稿共64页即：第 i 行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。定理5 证0=i 行s 行第53页，本讲稿共64页综合定理4，定理5对于行：对于列：第54页，本讲稿
11、共64页克莱姆（克莱姆（CramerCramer）法则）法则1.4第55页，本讲稿共64页其解：记系数行列式第56页，本讲稿共64页讨论 n 个方程、n 个未知量的线性方程组的解一、非齐次线性方程组系数行列式：第57页，本讲稿共64页用常数项列替换 D 的第 j 列，其余列不变。记6911第58页，本讲稿共64页定理5（克莱姆法则）对于方程组（1），若有唯一解，且第59页，本讲稿共64页证明思路：1 验证验证满足各方程（存在性）；2 （1）的）的 解定能表成形式解定能表成形式（唯一性）。所用结果：证1 将将 Dj 按第按第 j 列展开列展开代入第1个方程的左端将4第60页，本讲稿共64页左（证
12、b1)()D按第1行展开00满足第1个方程第61页，本讲稿共64页类似验证第类似验证第2，n个方程也满足。个方程也满足。是方程组（1）的解。2 由由1知，（知，（1）有解，）有解，a11x1+a12x2a1nxn+=b1a21x1+a22x2a2nxn+=b2an1x1+an2x2annxn+=bn用D的第j列元素的代数余子式乘两边AnjA2jA1jA1j这证明了（1）有解。A1jA1jA2jA2jA2jAnjAnjAnj对应相加整理第62页，本讲稿共64页由定理4和定理5证毕例第63页，本讲稿共64页二、齐次线性方程组齐次线性方程组一定有解（零解 xj=0)，现在讨论在什么条件下有非零解。定理6证2 由由1可得。可得。例 定理7第64页，本讲稿共64页