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1、自考线性代数教案第一章行列式现在学习的是第1页，共47页试题类型：单项选择题 2分10=20分 填空题 2分10=20分 计算题 9分6=54分 证明题 6分1=6分各部分内容试题分数的大致分布：第一章 行列式 13分左右 第二章 矩阵 26分左右 第三章 向量空间 21分左右 第四章 线性方程组 19分左右 第五章 特征值与特征向量 16分左右 第六章 实二次型 5分左右现在学习的是第2页，共47页昆山市科高人才技术培训中心昆山市科高人才技术培训中心WWW.KSCNZK.COM内部资料，仅供参考，严禁各种盈利性质的传播！现在学习的是第3页，共47页 预备知识一、连加号与连乘号1、连加号例如：
2、现在学习的是第4页，共47页2、双重连加号两个连加号可交换现在学习的是第5页，共47页3、连乘号这说明，公因数从连乘号中提出来后要乘n次。现在学习的是第6页，共47页二、充分必要条件现在学习的是第7页，共47页三、数学归纳法现在学习的是第8页，共47页第一章 行列式行列式行列式的定义行列式按行按列展开行列式的性质与计算克拉默法则二阶行列式与三阶行列式n 阶行列式行列式的性质行列式的计算知识结构现在学习的是第9页，共47页1.1 行列式的定义首先看一个线性方程组：如何求解？得到得到如何记忆呢？现在学习的是第10页，共47页一、二阶行列式与三阶行列式1、二阶行列式定义二阶行列式等于它的左上角到右下
3、角的两个元素的乘积减去从左下角到右上角的两个元素的乘积。前面方程的求解公式可以改写为现在学习的是第11页，共47页2、三阶行列式记忆方法：用对角线法来记忆三阶行列式中每一项前面的正、负号。现在学习的是第12页，共47页因此，当a=0且b=0时，上式为零.现在学习的是第13页，共47页二、二阶行列式与三阶行列式的关系先来观察三阶行列式的定义：说明要计算一个三阶行列式，可以拆成三个二阶行列式来计算，但是要注意在第二个二阶行列式前面的系数的前面必须取“”号！能否推广？这就涉及到余子式和代数余子式的问题了。现在学习的是第14页，共47页三、n阶行列式现在学习的是第15页，共47页四、余子式、代数余子式
4、现在学习的是第16页，共47页现在学习的是第17页，共47页前面的等式可改写为：可以推广为能否进一步推广呢？现在学习的是第18页，共47页1.2 行列式按行（列）展开 实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求它的值。或(1)(2)根据定理可知：凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。现在学习的是第19页，共47页例1：分别按第二行与第三列展开行列式解：按第二行展开按第三列展开现在学习的是第20页，共47页例2、求四阶行列式的值。解：行列式的第二列及第四行中均有两个元素为零，按第二列及第四行计算要简单一些。现在学习的是第21页，共47页特例：1、对角
5、行列式例如现在学习的是第22页，共47页2、上三角行列式3、下三角行列式现在学习的是第23页，共47页1.3 行列式的性质与计算一、行列式的性质行列式的转置：行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为如果则现在学习的是第24页，共47页性质1 行列式和它的转置行列式相等，即 根据性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的，凡是对“行”成立的性质，对“列”也是成立的；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是成立的。性质2现在学习的是第25页，共47页现在学习的是第26页，共47页例2说明：任意一个奇数阶反对称行列
6、式必为零。性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号，即对于如下两个行列式现在学习的是第27页，共47页推论 如果行列式中某两行（列）相同，则此行列式的值等于零。性质4 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。例如：性质5 行列式可以按行（列）拆开，即现在学习的是第28页，共47页例如：注意：利用性质5拆分行列式时，应当逐行逐列拆开。例如：现在学习的是第29页，共47页性质6利用性质6，可以将行列式简化，从而求出行列式的值。例：证明证：现在学习的是第30页，共47页定理1.3.1 根据行列式的展开定理和行列式的性质，有如下结论：现在学习的是第31页，共47页
7、二、行列式的计算基本方法1、利用行列式的性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。注意：转化的过程，必须是恒等变换。2、利用性质6使原行列式中的某一行或某一列产生很多个“0”，再按这一行或这一列展开，把行列式的阶数降低，再求值。事实上在计算行列式值时，两种方法结合起来使用，能使解题更加简单。现在学习的是第32页，共47页例1：计算行列式解：现在学习的是第33页，共47页例2 计算行列式解：现在学习的是第34页，共47页例3 计算行列式解：现在学习的是第35页，共47页例4 计算行列式解：现在学习的是第36页，共47页例5 计算n阶行列式（n1)解：将行列式按第一列展开现在学习的是第37页，共47页现在学习的是第38页，共47页现在学习的是第39页，共47页例8:范德蒙德行列式（要求掌握低阶的）现在学习的是第40页，共47页例9:计算行列式解：现在学习的是第41页，共47页现在学习的是第42页，共47页1.4 克拉默法则克拉默法则第一节中已知道，二元线性方程组现在学习的是第43页，共47页同样，对三元线性方程组现在学习的是第44页，共47页一般的，对n元线性方程组称为n元线性方程组的系数行列式。可以证明：现在学习的是第45页，共47页定理1.4.2（克拉默法则）现在学习的是第46页，共47页现在学习的是第47页，共47页