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1、线性代数课件第一章 行列式第1页，本讲稿共49页 线性代数是我校国际商学院各个专业，教线性代数是我校国际商学院各个专业，教育技术系、行政管理、市场营销、财务管理、会计育技术系、行政管理、市场营销、财务管理、会计学等专业，在二年级上学期开设的一门学年公共必学等专业，在二年级上学期开设的一门学年公共必修课。修课。2学分、学期课。学分、学期课。该课程的主要内容有：行列式、矩阵、线性该课程的主要内容有：行列式、矩阵、线性方程组、向量的线性相关、相似矩阵及二次型。方程组、向量的线性相关、相似矩阵及二次型。第2页，本讲稿共49页课课 本本工程数学工程数学-线性代数线性代数（第五版）（第五版）第3页，本讲稿
2、共49页参参 考考 书书第4页，本讲稿共49页基基 本本 要要 求求上课学生较多，请绝对保持安静，自觉遵守纪律，上课学生较多，请绝对保持安静，自觉遵守纪律，珍惜大家宝贵的时间。珍惜大家宝贵的时间。将抽查作业与考勤，这些是平时成绩的主要依据。将抽查作业与考勤，这些是平时成绩的主要依据。作业答在作业答在纸上纸上.第5页，本讲稿共49页线性线性代数代数用矩阵解用矩阵解方程组方程组用方程组解用方程组解矩阵矩阵判断解的判断解的存在性存在性用有限个解用有限个解表示所有解表示所有解行列式行列式矩阵及其运算矩阵及其运算解方程组解方程组向量的线性相关性向量的线性相关性1-4章相似相似矩阵矩阵及二及二次型次型第5
3、章求特征值，特征向量求特征值，特征向量对角化，化简实二次型对角化，化简实二次型第1章第2章第3章第4章第6页，本讲稿共49页 线性代数比其他大学数学课程具有更大线性代数比其他大学数学课程具有更大的潜在价值的潜在价值.应用一、石油勘探应用一、石油勘探 当船只勘查海底石油储当船只勘查海底石油储量时，船上的计算机每天量时，船上的计算机每天都要计算数千个线性方程都要计算数千个线性方程组组.方程组的震动数据从气方程组的震动数据从气枪发射所产生的水下冲击枪发射所产生的水下冲击波中获取波中获取.冲击波经海底岩冲击波经海底岩石反射，被连接在尾船数石反射，被连接在尾船数英里外的地震探波仪接受英里外的地震探波仪接
4、受并测量并测量.第7页，本讲稿共49页 当今，很多重要的管理决策建立在含有上百当今，很多重要的管理决策建立在含有上百个变量的线性规划模型上个变量的线性规划模型上.例如，营养食谱问题、例如，营养食谱问题、列车最优调度问题、排课表问题等等列车最优调度问题、排课表问题等等.应用二、线性规划应用二、线性规划第8页，本讲稿共49页 应用三、电网应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含工程师利用仿真软件设计电路以及包含百万晶体管的微芯片百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性这类软件离不开线性代数方法和线性代数方程代数方法和线性代数方程.第9页，本讲稿共49页 应用四、经济学和工程学中的线性模型应用
5、四、经济学和工程学中的线性模型 列昂惕夫列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，美籍俄裔著名经济学家，1906年年8月日月日生于俄国彼得堡，生于俄国彼得堡，1925年毕业于列宁格勒大学经年毕业于列宁格勒大学经济系。济系。1928年获德国柏林大学哲学博士学位。年获德国柏林大学哲学博士学位。1949年夏末，哈佛大学的瓦年夏末，哈佛大学的瓦.列昂惕夫教授小心列昂惕夫教授小心翼翼的将最后一张穿孔卡片插入学校的翼翼的将最后一张穿孔卡片插入学校的Mark计算机计算机.这些这些卡片存储着美国劳工统计署历时两年紧张工作所得的卡片存储着美国劳工统计署历时两年紧张工作所得的250000多条数据多条数据.列昂惕夫把美国的经
6、济系统分成列昂惕夫把美国的经济系统分成500个个“部门部门”，如：煤炭工业、汽车工业、通讯业等如：煤炭工业、汽车工业、通讯业等.针对每个部门给出了针对每个部门给出了一个线性方程，描述该部门如何向其他部门分配产出一个线性方程，描述该部门如何向其他部门分配产出.第10页，本讲稿共49页但是，当时但是，当时Mark还不能处理还不能处理500个未知量、个未知量、500个个方程组的方程组方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成所以他把这个问题提炼成42个未知个未知量、量、42个方程的方程组个方程的方程组.最后，经过最后，经过56小时的持续运转，小时的持续运转，Mark终于求出了一个解终于求出了一个解.列昂
7、惕夫开启了通往经济学数学模列昂惕夫开启了通往经济学数学模型一个新时代的大门，并于型一个新时代的大门，并于1973年荣获年荣获诺贝尔奖诺贝尔奖.从那时起，其他领域的研究从那时起，其他领域的研究者也开始使用计算机分析数学模型者也开始使用计算机分析数学模型.常用的数学软件有常用的数学软件有Matlab、Maple、Mathematica、SAS、Mathcad.第11页，本讲稿共49页 线性代数重在掌握基本定义、基本性质、线性代数重在掌握基本定义、基本性质、基本运算，解线性方程组是核心基本运算，解线性方程组是核心.第12页，本讲稿共49页解方程组解方程组行列式行列式唯一解矩阵及初等变换矩阵及初等变换
8、无穷多解或无解向量的线性相关向量的线性相关解的结构相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型综合应用第13页，本讲稿共49页第一章第一章 行列式行列式第14页，本讲稿共49页行列式的历史行列式的历史 行列式是由一些数值排列行列式是由一些数值排列成的方阵经计算得到的一个数成的方阵经计算得到的一个数.早在早在1683年和年和1693年年,日本日本数学家关孝和和德国数学家莱数学家关孝和和德国数学家莱 布尼兹就分别布尼兹就分别独立地提出了行列式的概念独立地提出了行列式的概念.之之后很长一段时间内后很长一段时间内,行列式主行列式主要要应用于讨论线性方程组应用于讨论线性方程组.约约160年后，行列式发展成为矩阵的年
9、后，行列式发展成为矩阵的一个独立的理论分支一个独立的理论分支.第15页，本讲稿共49页第16页，本讲稿共49页用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入第17页，本讲稿共49页方程组的解为方程组的解为由方程组的系数确定由方程组的系数确定.第18页，本讲稿共49页第二列第一行主对角线副对角线对角线法则对角线法则:第19页，本讲稿共49页对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式第20页，本讲稿共49页将下式称为二元线性方程组的公式解将下式称为二元线性方程组的公式解:第21页，本讲稿共49页例例1 1解解第22页，本讲稿共49页练练 习习解解第23
10、页，本讲稿共49页对一阶行列式规定如下：对一阶行列式规定如下：例如：例如：二、一阶行列式的补充规定二、一阶行列式的补充规定第24页，本讲稿共49页 对于三元线性方程组对于三元线性方程组三、三阶行列式三、三阶行列式三行三列（九个数）共同参与的一种运算三行三列（九个数）共同参与的一种运算.第25页，本讲稿共49页三阶行列式的计算三阶行列式的计算:1 1、沙路法、沙路法:三阶行列式有6项第26页，本讲稿共49页2 2、对角线方法、对角线方法:注意注意:对角线或平行对角线对角线或平行对角线上三元素的乘积冠以正号，上三元素的乘积冠以正号，副对角线或者平行副对角线副对角线或者平行副对角线上三元素的乘积冠以
11、负号上三元素的乘积冠以负号行标按照从小到大排列行标按照从小到大排列说明说明 三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为负三项为负.第27页，本讲稿共49页 3、对角线法则只适用于二、三阶行列式。还可以用展开法计算三阶行列式:第28页，本讲稿共49页例例2 解一：解一：按对角线法则，有按对角线法则，有第29页，本讲稿共49页例例2 解二：解二：利用展开法利用展开法第30页，本讲稿共49页例例3 3解解方程左端方程左端第31页，本讲稿共49页练练 习习第32页，本讲稿共49页答答 案
12、案 解：解：第33页，本讲稿共49页练练 习习解：解：第34页，本讲稿共49页四、三元线性方程组的公式解四、三元线性方程组的公式解的系数行列式的系数行列式则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:证明见第七节-克莱默法则第35页，本讲稿共49页例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式第36页，本讲稿共49页故方程组的解为故方程组的解为:第37页，本讲稿共49页练习练习解：解：方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为第38页，本讲稿共49页于是，方程组的解为于是，方程组的解为:第39页，本讲稿共49页作业：作业：3232页页 习题一习题一 1 1第
13、40页，本讲稿共49页第41页，本讲稿共49页一、全排列及其逆序数一、全排列及其逆序数 在一个排列 中，若数 ，则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，有中，有5个逆序个逆序 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同个不同的自然数，规定由小到大为的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序为逆序为54，51，21，31，32为求n阶行列阶行列式做准备式做准备第42页，本讲稿共49页定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排一个排列中所有逆序的总数称为此排列
14、的列的逆序数逆序数.例如例如1 6 3 5 2 4 8 7 中中逆序为逆序为逆序数为逆序数为887，54，64，52，32，62，65，63第43页，本讲稿共49页计算排列逆序数的方法：计算排列逆序数的方法：逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性从后向前数，个数求和例如例如5级排列级排列23154，该排列为奇排列。该排列为奇排列。第44页，本讲稿共49页例例1 1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性奇偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.第45页，本讲稿共49页解解当 时为偶排列；当 时为奇排列.第46页，本讲稿共49页练练 习习计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.第47页，本讲稿共49页当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列.解解答答 案案第48页，本讲稿共49页作业：作业：习题一习题一 2 2第49页，本讲稿共49页