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1、三章电阻电路的一般分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+介绍图论的初步知识，介绍图论的初步知识，目的目的是研究电路的连接性质，是研究电路的连接性质，及用图的方法选择电路方程的独立变量。及用图的方法选择电路方程的独立变量。电路的图电路的图 G（支路和节点的集合支路和节点的集合）无向图无向图无向图无向图注：注：注：注：通常将元件的串联组合作为一条支路。通常将元件的串联组合作为一条支路。通常将元件的串联组
2、合作为一条支路。通常将元件的串联组合作为一条支路。3.1 电路的图（电路的图（Graph)Graph)要注意的知识点要注意的知识点移去一条支路并不意味着同时将它连接的节点也移去，允许有孤立节点存在。有向图：电路支路电流参考方向的指定图论的理论基础：KCL和KVL与支路的元件性质无关。3.2 KCLKCL和和KVLKVL的独立方程数的独立方程数1、KCL的独立方程数：的独立方程数：KCL方程方程：设流入为正结论：结论：对于具有对于具有n个节点的电路，在任意（个节点的电路，在任意（n-1）个节）个节点上可以得到（点上可以得到（n-1）个）个独立的独立的KCL方程方程，相应的（，相应的（n-1）个节
3、点成为）个节点成为独立节点独立节点。2、KVL的独立方程数的独立方程数几个概念：几个概念：路径：路径：从图从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。达另一节点所经过的支路构成路径。连通图：连通图：图图G的任意两节点间至的任意两节点间至少有一条路径时称为连通图，少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。非连通图至少存在两个分离部分。回路：回路：一条路径的起点和终点重一条路径的起点和终点重合，且经过的其他节点都相异，合，且经过的其他节点都相异，形成的闭合路径。形成的闭合路径。独立回路的确定：独立回路的确定：“树树”树
4、树树支数树支数bT=n-1连支数连支数bl=b-(n-1)T是连通图的一个子图，满足下列条件：是连通图的一个子图，满足下列条件：(1)连通连通(2)包含所有节点包含所有节点(3)不含回路不含回路树树(Tree)树支：属于树的支路树支：属于树的支路连支：属于连支：属于G而不属于而不属于T的支路的支路基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)12345612351236基本回路数基本回路数=连支数连支数=b-(n-1)KVL的独立方程数的独立方程数KVL的独立方程数的独立方程数=基本回路数基本回路数注：注：平面的网孔数也是独立回路数（如：以平面的网孔数也是独立回路数（如：以2、4、5为树）为树）3.
5、3 支路电流法支路电流法(branch current method)对于有对于有n个节点、个节点、b条支路的条支路的电路，要求解支路电流和电压，电路，要求解支路电流和电压，未知量共有未知量共有2b个。只要列出个。只要列出2b个个电路方程，便可以求解这电路方程，便可以求解这2b个变个变量。量。(2b构成构成:（n-1)KCL+(b-n+1)KVL+b个个VCR)举例说明：举例说明：R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234b=6 n=4独立方程数应为独立方程数应为2b=12个。个。支路电流法支路电流法：以各支路电流为以各支路电流为未知量未知量,根据元件的根据元件的C C及、
6、及、约束来建立约束来建立相互独立相互独立的方程组，解出各支路的方程组，解出各支路电流，再求其它电压和功率。电流，再求其它电压和功率。R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234(1)标定各支路电流、电压的参考方标定各支路电流、电压的参考方向向u1=R1i1，u2=R2i2，u3=R3i3，u4=R4i4，u5=R5i5，u6=uS+R6i6(1)(b=6，6个方程，关联参考方向个方程，关联参考方向)(2)对节点，根据对节点，根据KCL列独立方程列独立方程节点节点 1：i1+i2 i6=0(2)(3)选选定定图图示示的的3个个回回路路，由由KVL，列写独立方程。，列写独立方程。
7、(出为正，进为负出为正，进为负)u6节点节点 2：i2+i3+i4=0节点节点 3：i4 i5+i6=0回路回路1：u1+u2+u3=0回路回路2：u3+u4 u5=0回路回路3：u1+u5+u6=0(3)123 i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0KCLKVL*支路电压支路电压？R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS3123412综综合合式式(1)、(2)和和(3)，便便得得到到所所需需的的6+3+3=6=2b个个独独立立方方程
8、程。将将式式(1)的的6个个支支路路方方程程代代入入式式(3)，消消去去6个个支支路路电电压压，便得到关于支路电流的方程如下：便得到关于支路电流的方程如下：*支路电压支路电压？u6回路回路1：u1+u2+u3=0回路回路2：u3+u4 u5=0回路回路3：u1+u5+u6=0(3)支路法的一般步骤：支路法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定选定(n1)个节点，列写其个节点，列写其KCL方程；方程；(3)选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程；(元件特性代入元件特性代入)(4)求解上述方程，得到求解上述方
9、程，得到b个支路电流；个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。支路法的特点：支路法的特点：支支路路电电流流法法是是最最基基本本的的方方法法，在在方方程程数数目目不不多多的的情情况况下下可可以以使使用用。由由于于支支路路法法要要同同时时列列写写 KCL和和KVL方方程程，所所以以方方程程数数较较多多，且且规规律律性性不不强强(相相对对于于后后面面的的方法方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。例例1.节点节点a：I1I2+I3=0(1)n1=1个个KCL方程：方程：I1I3US1US2R1R2R3
10、ba+I2US1=130V,US2=117V,R1=1,R2=0.6,R3=24.求各支路电流及电压源求各支路电流及电压源各自发出的功率。各自发出的功率。解解(2)b(n1)=2个个KVL方程：方程：R2I2+R3I3=US2 U=USR1I1R2I2=US1US20.6I2+24I3=117I10.6I2=130117=1312(3)联立求解联立求解I1I2+I3=00.6I2+24I3=117I10.6I2=130117=13解之得解之得I1=10 AI3=5 AI2=5 A(4)功率分析功率分析PU S1发发=US1I1=130 10=1300 WPU S2发发=US2I2=130(10
11、)=585 W验证功率守恒：验证功率守恒：PR 1吸吸=R1I12=100 WPR 2吸吸=R2I22=15 WPR 3吸吸=R3I32=600 WP发发=715 WP吸吸=715 WP发发=P吸吸123例例2.列写如图电路的支路电流方程列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路含理想电流源支路)。b=5,n=3KCL方程：方程：-i1-i2+i3=0 (1)-i3+i4-i5=0 (2)R1 i1-R2i2 =uS (3)R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)-R4 i4+u=0 (5)i5=iS (6)KVL方程：方程：*理理想想电电流流源源的的处处理理：由由于于i5=iS，所所以
12、以在在选选择择独独立立回回路路时时，可不选含此支路的回路。可不选含此支路的回路。对对此此例例，可可不不选选回回路路3，即即去去掉掉方方程程(5)，而而只只列列(1)(4)及及(6)。+ui1i3uSiSR1R2R3ba+i2i5i4cR4解解解解列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23方程列写分两步：方程列写分两步：(1)先先将将受受控控源源看看作作独独立立源源列方程；列方程；(2)将将控控制制量量用用未未知知量量表表示示，并并代代入入(1)中中所所列列的的方方程程，消
13、去中间变量。消去中间变量。KCL方程：方程：-i1-i2+i3+i4=0 (1)-i3-i4+i5-i4=0 (2)例例3.1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23KVL方程：方程：R1i1-R2i2=uS (3)R2i2+R3i3+R5i5=0 (4)R3i3-R4i4=u2 (5)R5i5=u (6)补充方程：补充方程：i6=i1 (7)u2=R2i2 (8)另一方法：去掉方程另一方法：去掉方程(6)。3.4 网孔电流法网孔电流法(mesh current method)定义：定义：以网孔电流为未知量进行分析。仅适用于平面电路。以网孔电流为未知
14、量进行分析。仅适用于平面电路。I1I3US1US2R1R2R3ba+I212假想电流假想电流Im1和和Im2沿网孔方沿网孔方向流动，称为网孔电流。向流动，称为网孔电流。支路电流是网孔电流的代支路电流是网孔电流的代数和，自动满足数和，自动满足KCL。所。所以只需列出以只需列出KVL独立方程。独立方程。R2I2+R3I3=US2R1I1R2I2=US1US2-R2Im1+(R2+R3)Im2=US2(R1+R2)Im1R2Im2=US1US2几个概念：自阻、互阻（大小及方向）几个概念：自阻、互阻（大小及方向）3.5 回路电流法回路电流法(loop current method)基本思想：基本思想：
15、为为减减少少未未知知量量(方方程程)的的个个数数，可可以以假假想想每每个个回回路路中中有有一一个个回回路路电电流流。若若回回路路电电流流已已求求得得，则则各各支支路路电电流流可可用用回回路路电电流流线线性性组组合合表表示示。这样即可求得电路的解。这样即可求得电路的解。（平面、非平面）（平面、非平面）回回路路电电流流是是在在独独立立回回路路中中闭闭合合的的，对对每每个个相相关关节节点点均均流流进进一一次次，流流出出一一次次，所所以以KCL自自动动满满足足。若若以以回回路路电电流流为为未未知量列方程来求解电路，只需对知量列方程来求解电路，只需对独立独立回路列写回路列写KVL方程。方程。i1i3uS
16、1uS2R1R2R3ba+i2il1il2b=3，n=2。独独立立回回路路为为l=b-(n-1)=2。选选图图示示的的两两个个独独立立回回路路，回回路路电电流流分分别别为为il1、il2。支支路路电电流流i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。回路电流法回路电流法：以回路电流为未知量列写电路以回路电流为未知量列写电路KVL方程分方程分析电路的方法。析电路的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2可可见见，回回路路电电流流法法的的独独立立方方程程数数为为b-(n-1)。与与支支路路电流法相比，电流法相比，方程数可减少方程数可减少n-1个个。回路回路1：R1 il1+
17、R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回路回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0整理得，整理得，(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2电压与回路绕行方向一致时取电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取；否则取“-”。R11=R1+R2 回路回路1的自阻。等于回路的自阻。等于回路1中所有电阻之和。中所有电阻之和。令令R22=R2+R3 回路回路2的自阻。等于回路的自阻。等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。自阻总为正。自阻总为正。R12=R21=R2 回路回路1、回路、回路2之间的互阻。之间的互阻。当两个回路电流流过相
18、关支路方向相同时，互阻取当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互阻取正号；否则为负号。正号；否则为负号。ul1=uS1-uS2 回路回路1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2=uS2 回路回路2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当当电电压压源源电电压压方方向向与与该该回回路路方方向向一一致致时时，取取负负号号；反之取反之取正正号。号。R11il1+R12il2=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：一般情况，对于具有一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有个回路的电路，有其中其中Rjk:互阻
19、互阻+:流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同-:流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0:无关无关R11il1+R12il1+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+Rll ill=uSllRkk:自阻自阻(为正为正)，k=1,2,l(绕行方向取参考方向绕行方向取参考方向)。回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1)选定选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向；(2)对对l个个独独立立回回路路，以以回回路路电电流流为为未未知知量量，列列写其写其KVL方
20、程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(5)其它分析。其它分析。(4)求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)；网网孔孔电电流流法法：对对平平面面电电路路，若若以以网网孔孔为为独独立立回回路路，此此时时回回路路电电流流也也称称为为网网孔孔电电流流，对对应应的的分分析方法即为网孔电流法。析方法即为网孔电流法。例例1.用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。解：解：(1)设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2)列列 KVL 方程方程(R1+R2)Ia -R2Ib =US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib -R3Ic=US2
21、-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4互阻为负互阻为负(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：求各支路电流：I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic(5)校核：校核：选一新回路。选一新回路。IaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4 将将VCVSVCVS看作独立源建立方程；看作独立源建立方程；找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。校核校核:4Ia-3Ib=26Ib-3Ia-Ic=-3U23Ic-Ib=3U2 4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10Ib+3Ic=
22、0U2=3(Ib-Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A1 I1+2I3+2I5=2.01(UR 降降=E升升 )例例2.用回路法求用回路法求含有受控电压源含有受控电压源电路的各支路电流。电路的各支路电流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc解解：将将代入代入，得，得各支路电流为：各支路电流为：I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.解得解得例例3.列写列写含有理想电流源含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。支路的电路的回路电流方程。方法方法1：
23、引入电流源电压为变量，增加回路电流和引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。电流源电流的关系方程。(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2-R4I2+(R3+R4)I3=-UiIS=I1-I3I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路属于一个回路,该回路电流即该回路电流即 IS。I1=IS-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=U
24、S1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I33.6 节点电压法节点电压法(node voltage method)回回路路电电流流法法自自动动满满足足 KCL。能能否否象象回回路路电电流流法法一一样样，假假定定一一组组变变量量，使使之之自自动动满满足足 KVL，从从而而就就不不必必列列写写KVL方程，减少联立方程的个数？方程，减少联立方程的个数？KVL恰恰说说明明了了电电位位的的单单值值性性。如如果果选选节节点点电电压压为为未未知知量量，则则KVL自自动动满满足足，就就无无需需列列写写KVL 方方程程。当当以以节节点点电电压压为为未未知知量量列列电电路路方方程程、求求出
25、出节节点点电电压压后后，便便可可方方便便地地得得到各支路电压、电流。到各支路电压、电流。基本思想基本思想(思考思考)：任任意意选选择择参参考考点点：其其它它节节点点与与参参考考点点的的电电压压差差即即是是节点电压节点电压(位位)，方向为从独立节点指向参考节点。，方向为从独立节点指向参考节点。(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足自动满足uA-uBuAuB节点电压法节点电压法：以节点电压为未知量列写以节点电压为未知量列写KCL电路方程分电路方程分析电路的方法。析电路的方法。可可见见，节节点点电电压压法法的的独独立立方方程程数数为为(n-1)个个。与与支支路路电流法相比，电流法相比，方程数可
26、减少方程数可减少b-(n-1)个个。举例说明：举例说明：(2)列列KCL方程：方程：iR出出=iS入入i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3-i3-i4+i5=-iS3un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012(1)选选定定参参考考节节点点，标标明明其其余余n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性：代入支路特性：整理，得整理，得令令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为上式简记为G11un1+G12un2=iSn1G21un1+G22un2=iSn2标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程。其中其中G11=G1+G2+G3+G
27、4节节点点1的的自自导导，等等于于接接在在节节点点1上上所有支路的电导之和。所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节节点点2的的自自导导，等等于于接接在在节节点点2上上所所有有支路的电导之和。支路的电导之和。G12=G21=-(-(G3+G4)节节点点1与与节节点点2之之间间的的互互导导，等等于于接接在在节节点点1与与节节点点2之之间间的的所所有有支支路的电导之和，并冠以负号。路的电导之和，并冠以负号。iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=-iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。*自导总为
28、正，互导总为负。自导总为正，互导总为负。*电流源支路电导为零。电流源支路电导为零。*流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。由由节节点点电电压压方方程程求求得得各各节节点点电电压压后后即即可可求求得得个个支支路路电电压，各支路电流即可用节点电压表示：压，各支路电流即可用节点电压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-若电路中含电压源与若电路中含电压源与电阻串联的支路：电阻串联的支路：uS1整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得，得(G1+G2+G3+G4)u
29、n1-(G3+G4)un2=G1 uS1-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G3+G4+G5)un2=-iS3等效电流源等效电流源一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中其中Gii 自自导导，等等于于接接在在节节点点i上上所所有有支支路路的的电电导导之之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为。总为正正。iSni 流流入入节节点点i的的所所有有电电流流源源电电流流的的代代数数和和
30、(包包括括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij=Gji互互导导，等等于于接接在在节节点点i与与节节点点j之之间间的的所所支支路的电导之和，并冠以路的电导之和，并冠以负负号。号。节点法的一般步骤：节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定选定参考节点，标定n-1个独立节点；个独立节点；(2)对对n-1个个独独立立节节点点，以以节节点点电电压压为为未未知知量量，列写其列写其KCL方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1个节点电压；个节点电压；(5)其它分析。其它分析。(4)求各支路电流求各支路电流(用节点电压表示用节点电压表示)；(1)
31、先先把受控源当作独立源看列方程；把受控源当作独立源看列方程；(2)用节点电压表示控制量。用节点电压表示控制量。例例1.列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。uR2=un1iS1R1R3R2gmuR2+uR2_12解解：用节点法求各支路电流。用节点法求各支路电流。*可先进行电源变换。可先进行电源变换。例例2.(1)列节点电压方程：列节点电压方程：UA=21.8V，UB=-21.82VI1=(120-UA)/20k=4.91mAI2=(UA-UB)/10k=4.36mAI3=(UB+240)/40k=5.45mAI4=UA/40=0.546mAI5=UB/20=-1.
32、09mA(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB=0.006-0.1UA+(0.1+0.05+0.025)UB=-0.006(2)解方程，得：解方程，得：(3)各支路电流：各支路电流：20k 10k 40k 20k 40k+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5解：解：试列写下图试列写下图含理想电压源含理想电压源电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。方法方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系方法方法2：选择合适的参考点选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231(G1+G2)U1-G1U2+I=0
33、-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3-I=0U1-U3=USU1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0G3G1G4G5G2+_Us231I例例3.支路法、回路法和节点法的比较：支路法、回路法和节点法的比较：(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。较容易。(3)回回路路法法、节节点点法法易易于于编编程程。目目前前用用计计算算机机分分析析网网络络(电网，集成电路设计等电网，集成电路设计等)采用节点法较多。采用节点法较多。支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-(n-1)00n-1方程总数方程总数b-(n-1)n-1b-(n-1)b(1)方程数的比较方程数的比较