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1、东方概率第二章习题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望所以离散型随机变量所以离散型随机变量X 的分布列为的分布列为.7 解解（1）令）令X=k表示表示“每次取出后每次取出后再放回再放回，直到，直到 取到正品为止所需抽取的次数取到正品为止所需抽取的次数”，（2）令）令X=k表示表示“每次取出后每次取出后不放回不放回，直到，直到 9 解解 由分布函数由分布函数F(x)的右连续性可得，的右连续性可得，取到正品为止所需抽取的次数取到正品为止所需抽取的次数”，(
2、2)不可以不可以.因为因为(3)可以可以.因为因为,可以定义可以定义10 解解(1)不可以不可以.因为因为 11 解解(1)是是.(2)不是不是.因为因为F(x)在点在点 x=1不连续不连续.密度函数为密度函数为12 解解分布函数分布函数 13 证明证明 由于密度函数由于密度函数 f(x)关于关于x=对称对称,则则练习练习2-3 3 解解 每一台仪器能出厂每一台仪器能出厂(用用A表示表示)有两种情况：有两种情况：直接出厂，直接出厂，经调试后出厂，经调试后出厂，则每一台仪器能出厂的则每一台仪器能出厂的 概率为概率为（1）n台能出厂的仪器数台能出厂的仪器数 X 服从二项分布，服从二项分布，4 解解
3、 分析：分析：由于由于X=k为为r 次成功之前失败的次数，次成功之前失败的次数，则最后一次试验的结果一定是成功则最后一次试验的结果一定是成功.失败发生在前失败发生在前 r+k-1 次试验中，次试验中，或者说在前或者说在前r+k-1 次试验中次试验中成功的成功的 所以所以X 的分布列为的分布列为（2）n台仪器能全部出厂的概率为台仪器能全部出厂的概率为（3）至少有两台仪器不能出厂的概率为）至少有两台仪器不能出厂的概率为（4）不能出厂的仪器数的期望和方差为）不能出厂的仪器数的期望和方差为 次数为次数为r-1 次次.所以所以X 的分布列为的分布列为 下面求下面求X 的数学期望和方差的数学期望和方差 假
4、设假设从第从第i-1次次成功成功出现后出现后到第到第i 次次成功出现成功出现之间之间出现失败的次数为出现失败的次数为Xi则则 而而 Xi 的分布列为的分布列为是参数为是参数为p 的几何分布的分布列，的几何分布的分布列，习题习题5 解解 令令“X=k”表示表示在两次调整之间生产的合格品数在两次调整之间生产的合格品数，则则X的分布列为的分布列为 又因为又因为Xi 之间相互独立之间相互独立设设X 服从参数为服从参数为p 的几何分布，即的几何分布，即解解参数为参数为p的几何分布的方差的几何分布的方差解：解：记记 q=1-p设设X 的分布列为的分布列为练习练习2-4每个人等车的时间每个人等车的时间X 不
5、超过不超过2分钟的概率为分钟的概率为1 解解 3个人中等车时间不超过个人中等车时间不超过2分钟的分钟的人数人数服从二项分布服从二项分布 2分钟的概率为分钟的概率为b(3,p(X2).所以所以3人中至少有人中至少有2人等车时间不超过人等车时间不超过 2 解解 4 若非负连续型随机变量若非负连续型随机变量X 服从参数为服从参数为 的指数的指数分布，则对于任意正实数分布，则对于任意正实数r 和和s,有有 解解 5 解解 设系统的寿命为随机变量设系统的寿命为随机变量Y，至少有两个元件的寿命超过至少有两个元件的寿命超过1000h.而一个元件的寿命超过而一个元件的寿命超过1000h的概率为的概率为 则则Y
6、 1000h等价于等价于3个元件的寿命超过个元件的寿命超过1000h的的个数服从二项分布个数服从二项分布，所以，系统的寿命超过所以，系统的寿命超过1000h的概率为的概率为 7 设测量误差设测量误差XN(0,100)，求在，求在100次独立重次独立重复测量中至少有复测量中至少有3次测量次测量误差的绝对值误差的绝对值大于大于19.6 的的概率概率.解解 由由XN(0,100)，得得设在设在100次独立测量中次独立测量中,测量误差的绝对值大于测量误差的绝对值大于19.6的次数为的次数为Y,则则Yb(100,0.05).由由 ,所以所以 8 解解 令令A表示表示“电子元件损坏电子元件损坏”，则，则
7、因为该正态分布密度函数关于因为该正态分布密度函数关于x=220对称，所以对称，所以（2）该电子元件损坏时，电源电压在）该电子元件损坏时，电源电压在200240V 的概率的概率练习练习2-52 证明证明则则Y 的分布函数为的分布函数为 由于由于X 是区间是区间a,b上的均匀分布，则上的均匀分布，则 所以所以Y 的密度函数为的密度函数为 3 证明证明则则Y 的分布函数为的分布函数为 由于由于X 是区间是区间-1,1上的均匀分布，则上的均匀分布，则 所以所以Y 的密度函数为的密度函数为 当当y0时，时，Y 的分布函数显然为的分布函数显然为 当当y 0时，时，6 解解 先求先求Y 的分布函数的分布函数
8、 当当y0时，时，当当y 0时，时，所以所以Y 的密度函数为的密度函数为 7 解解 先求先求Y 的分布函数的分布函数 当当y1时，时，当当y 1时，时，9 解解 先求先求Y 的分布函数的分布函数 当当y0时，时，当当y 0时，时，习习 题题 2 2 解解（1）令）令X=k表示表示“3次取球得到的最大编号次取球得到的最大编号”则则X的分布列为的分布列为（2）令）令Y=k 表示表示“一次任取一次任取3个球得到的最大编号个球得到的最大编号”则则Y 的分布列为的分布列为3 证明证明 设随机变量设随机变量X的密度函数为函数的密度函数为函数 f(x),（交换积分次序）（交换积分次序）5.有一大批产品，其验
9、收方案如下，先作一次检验，有一大批产品，其验收方案如下，先作一次检验，从中任意取从中任意取10件，经检验无次品则接受这批产品，次品数件，经检验无次品则接受这批产品，次品数 大于大于2，则拒收；否则作第二次检验，其做法是从中任取，则拒收；否则作第二次检验，其做法是从中任取5件，仅当件，仅当5 件无次品时接收这批产品，若产品的次品率为件无次品时接收这批产品，若产品的次品率为 10%，求，求（1）这批产品经第一次检验能接收的概率）这批产品经第一次检验能接收的概率.（2）需做第二次检验的概率）需做第二次检验的概率.（3）这批产品进入第二次检验后，能够被接收的概率）这批产品进入第二次检验后，能够被接收的
10、概率.（4）这批产品需进行第二次检验且能够被接收的概率）这批产品需进行第二次检验且能够被接收的概率.（5）这批产品能够被接收的概率）这批产品能够被接收的概率.解解 设设A 表示表示“这批产品经第一次检验能被接收这批产品经第一次检验能被接收”.B 表示表示“这批产品需第二次检验这批产品需第二次检验”.C 表示表示“这批产品进入第二次检验后，能被接收这批产品进入第二次检验后，能被接收”.E 这批产品能够被接收这批产品能够被接收.D 表示表示“这批产品需进行第二次检验且能够被接收这批产品需进行第二次检验且能够被接收”.6 解解（1）一个该型号的）一个该型号的旧旧电子管的寿命记为电子管的寿命记为X，求
11、求X 的密度函数；的密度函数；（2）一个系统由）一个系统由n个该型号的电子管个该型号的电子管并联并联组成，组成，求该系统的寿命求该系统的寿命X的密度函数的密度函数.由由 知该型号电子管寿命的知该型号电子管寿命的密度函数为密度函数为 所以所以 的密度函数为的密度函数为 分析分析 令令 表示第表示第i个该型号的电子管的寿命，个该型号的电子管的寿命，则该系统的寿命为则该系统的寿命为 先求该系统寿命的分布函数先求该系统寿命的分布函数（电子管相互独立）（电子管相互独立）两边对两边对 x 求导得求导得X的密度函数的密度函数（3）一个系统由）一个系统由n个该型号的电子管个该型号的电子管串联串联组成，组成，求
12、该系统的寿命求该系统的寿命Y 的密度函数的密度函数.则该系统的寿命为则该系统的寿命为 分析分析 令令 表示第表示第i个该型号的电子管的寿命，个该型号的电子管的寿命，两边对两边对 y求导得求导得Y 的密度函数的密度函数 9 甲袋中有甲袋中有2个白球，乙袋中有个白球，乙袋中有2个黑球，每次从个黑球，每次从 各袋中任取一球交换后放入另一袋中，共交换各袋中任取一球交换后放入另一袋中，共交换3次，次，用用X表示表示3次交换后甲袋中的白球数，次交换后甲袋中的白球数，求求X 的概率分布的概率分布.解解 显然，第一次交换后甲袋中的黑白球各显然，第一次交换后甲袋中的黑白球各1个，个，第二次交换后甲袋中的白球数有
13、三种情况：第二次交换后甲袋中的白球数有三种情况：（1）一个黑球，一个白球；）一个黑球，一个白球；（2）两个个黑球；）两个个黑球；（3）两个白球）两个白球.令令 Xi(i=1,2,3)分别表示分别表示(1),(2),(3)三种情况三种情况下下则则 X 的概率分布为的概率分布为 X 的可能取值为的可能取值为0,1,2,甲袋中的白球数甲袋中的白球数.10 某班车起点站上车乘客人数服从参数为某班车起点站上车乘客人数服从参数为 的的泊松分布泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为每位乘客在中途下车的概率为p(0 p 1)，且各乘客中途下车与否相互独立，以且各乘客中途下车与否相互独立，以Y 表示中途下表示中途下车的人数，车的人数，m 人下车的概率；人下车的概率；（3）平均中途有多少人下车？）平均中途有多少人下车？（2）Y 的分布；的分布；求（求（1）在发车时有）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有个乘客的条件下，中途有 解解 设设 X=k 表示表示“某班车起点站上车乘客人数某班车起点站上车乘客人数”则则（1）Y=i 表示表示“中途下车的人数中途下车的人数”，（2）Y 的分布的分布 Y 的可能取值为的可能取值为0,1,2,（3）平均中途有多少人下车？）平均中途有多少人下车？