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1、多面体欧拉公式的发现第1页，本讲稿共12页一些定义：一些定义：若干个平面多边形围成的几何体叫多面体若干个平面多边形围成的几何体叫多面体 。围成多面体的各个多边形叫多面体的面围成多面体的各个多边形叫多面体的面 (Face)。两个面的公共边叫多面体的棱两个面的公共边叫多面体的棱 (Edge)。若干个面的公共顶点叫多面体的顶点若干个面的公共顶点叫多面体的顶点 (Vertex)。多面体的面数多面体的面数F 4，棱数，棱数E 6，顶点数，顶点数V 4。一个多面体至少有一个多面体至少有 个面，个面，条棱，条棱，个顶点个顶点464回顾知识回顾知识第2页，本讲稿共12页问题一：问题一：问题二：问题二：我们知道
2、正多边形有无限多种，前面我们学习过，正我们知道正多边形有无限多种，前面我们学习过，正多面体只有多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。这是为什么呢？正十二面体、正二十面体。这是为什么呢？小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了体，他连续拼了N次次,仍然没有合理地拼出此多面体仍然没有合理地拼出此多面体.你能帮助他设计出来吗？你能帮助他设计出来吗？多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关系呢？多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关系呢？瑞士数学家欧拉早在瑞士数学家欧拉早在17
3、50年就研究过这个问题，并得出自年就研究过这个问题，并得出自己的结论，下面我们就沿着欧拉的足迹来探索这个关系。己的结论，下面我们就沿着欧拉的足迹来探索这个关系。第3页，本讲稿共12页1、观察下面有、观察下面有5个多面体，分别数出它们的顶点数个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数面数F和和棱数棱数E，并填出下表；，并填出下表；图形编号图形编号顶点数顶点数V 面数面数 F 棱数棱数 E(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)468126898159916观察表中填出的各组观察表中填出的各组数据中，数据中，V、F和和E 之之间有什么规律吗？间有什么规律吗？4612VFE+_+_=
4、2第4页，本讲稿共12页图形编号图形编号顶点数顶点数V 面数面数F棱数棱数E(1)(2)(3)5581212247812观察表中数据，这些图形的观察表中数据，这些图形的V、F和和E 符合前面所找出的规律吗？符合前面所找出的规律吗？出现这些区别的原因是什么？出现这些区别的原因是什么？下面有下面有3个多面体，分别数出它们的个多面体，分别数出它们的顶点数顶点数V、面数、面数F和棱数和棱数E。第5页，本讲稿共12页比较前面问题比较前面问题1 1和问题和问题2 2中的图形，中的图形，如果这些多面体的表面都如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们内部充气，那么其中是用橡皮薄膜制作的，并且可
5、以向它们内部充气，那么其中哪些多面体能够连续哪些多面体能够连续(不破裂不破裂)变形，最后其表面可变为一个变形，最后其表面可变为一个球面？球面？第6页，本讲稿共12页定义：表面经过连续变形能变为一个球面的多面体定义：表面经过连续变形能变为一个球面的多面体 叫做简单多面体叫做简单多面体问题问题1 1：我们所熟悉的棱柱、棱锥、正多面体等一切凸：我们所熟悉的棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体是简单多面体吗？多面体是简单多面体吗？问题问题2：五种正多面体是简单多面体吗？：五种正多面体是简单多面体吗？图形图形顶点数顶点数V V面数面数F F棱数棱数E E正十二面体正十二面体正二十面体正二十面体202012
6、123030121220203030问题问题3 3：五种正多面体都满足：五种正多面体都满足V+F-2=EV+F-2=E吗？吗？问题问题4 4：简单多面体都满足：简单多面体都满足V+V+F-2=EF-2=E吗？吗？第7页，本讲稿共12页猜想：简单多面体的顶点数猜想：简单多面体的顶点数V、面数、面数F、棱数、棱数E之间存在之间存在规律：规律：V+FE=2。欧拉欧拉（公元（公元1707-1783年）年）出生在瑞出生在瑞士的巴塞尔（士的巴塞尔（Basel）城，）城，13岁就进巴塞岁就进巴塞尔大学读书，他从尔大学读书，他从19岁开始发表论文，岁开始发表论文，直到直到76岁，共写下了岁，共写下了886本书
7、籍和论文，本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年他是科学史上最多产忙碌了四十七年他是科学史上最多产的数学家。的数学家。这是由欧拉在1750年发现的，故称为欧拉公式。欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支拓朴学。第8页，本讲稿共12页 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗过度的工上完
8、成论文，也不顾孩子在旁边喧哗过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这时他才作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这时他才28岁不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失岁不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和明仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。心算进行研究，直到逝世。欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的我们学习的 以欧拉名字命名的数学公式、
9、定理等在数学书籍中随处可见以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,欧拉还创设了许多数学符号，例如欧拉还创设了许多数学符号，例如，i i，e e，sinsin和和coscos，tantan，xx，f(x)f(x)等他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学等他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。方面取得了辉煌的成就。17351735年，欧拉解决了天文学中计算慧年，欧拉解决了天文学中计算慧星轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得星轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了到解决，而欧拉却用自己发明的方
10、法，三天便完成了第9页，本讲稿共12页基础知识形成性练习基础知识形成性练习下列说法中正确的是下列说法中正确的是（1）只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（2）所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（3）所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（4）所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。A（1）（）（2）B（1）（）（4）C（2）（）（3）D（3）（）（4）第10页，本讲稿共12页小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了体，他连续拼了N次次,仍然没有合理地拼出此多面体仍然没有合理地拼出此多面体.现在你能帮助他
11、设计出来吗？现在你能帮助他设计出来吗？解：解：设足球中形状为五边形和六边形的面各有设足球中形状为五边形和六边形的面各有x个个和和y个，个，棱数棱数E=90，面数面数F=x+y,根据欧拉公式，得：根据欧拉公式，得：另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示由以上两方程可解出由以上两方程可解出答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的 面分别有面分别有12个和个和20个。个。一个顶点有三条棱，一个顶点有三条棱，一条棱有两个顶点，一条棱有两个顶点，得得V=60V=60=90=90第11页，本讲稿共12页练习与测试练习与测试一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数V和和面数面数F有有F=V-2的关系。的关系。答案：由各面都是四边形知，凸多面体的棱数由欧拉公式得即F=V-2第12页，本讲稿共12页