多面体欧拉公式的发现(1).pdf

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1、【课【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1 1）【教学目标】【教学目标】1、能通过观察具体简单多面体的V、E、F 从中寻找规律.2、能通过进一步观察验证所得的规律.3、能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4、能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.【教学重点】【教学重点】欧拉公式的发现.【教学难点】【教学难点】从中体会和学习数学大师研究数学的方法.【教学过程】【教学过程】一、一、复习引入复习引入欧拉是瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及 18 世纪所有的数学分支。比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（

2、x）表示函数，e 表示自然对数的底，a、b、c 表示ABC 的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。其中欧拉公式的一个特殊公式 ei+1=0,将数学上的 5 个常数 0、1、i、e、联在一起；再如就是多面体的欧拉定理VE+F=2，V、E、F 分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，这就是我们今天要学习的欧拉定理。二、二、讲解新课讲解新课（一）简单多面体1简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、

3、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。（二）五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体发现：它们的顶点数V、面数F及棱数E有共同的关系式：V F E 2上述关系式对简单多面体都成立顶点数V4862012面数F4681220棱数E612123030欧拉定理：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系式：V F E 2证明 1：以四面体ABCD为例来说明：将它的一个面BCD去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1F1 F 1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。对平面图形，我

4、们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD。所以F1 E、V的值都不变，因此V F1 E的值也不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点。例如去掉CA，就减少一个顶点C同理，去掉DA就减少一个顶点D，最后剩下AB（如图）。在此过程中V E的值不变，但这时面数F1是0，所以V F1 E的值也不变由于最后只剩下AB，所以V F1 E 2011，最后加上去掉的一个面，就得到V F E 2证明 2：E1A1B1EABC(10)ED1E1A1B1D1C1CC1DADB如图：将多面体的底面ABCDE 剪掉

5、，伸展成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中 ABCDE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。设左图中共有F 个面，分别是n1,n2,L,nF边形，顶点数为V，棱数为E,则n1n2L nF 2E.左图中，所有面的内角总和为(n1 2)180(n2 2)180 (nF 2)180(n1 n2 nF 2F)180(2E 2F)180(E F)360右图中，所有面的内角总和为V上360（V下2）180（V下2）180(剪掉的底面内角和)（V上V上2）360 (V02)3600(E F)360(V 2)360整理得V F E 2.欧拉示性数：欧拉示性数：在欧拉公式中令f(p)V F E，f

6、(p)叫欧拉示性数说明：（1）简单多面体的欧拉示性数f(p)2（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f(p)0例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体f(p)161632 0三、三、例题讲解例题讲解【例【例1 1】一个n面体共有 8 条棱，5 个顶点，求n。解：V F E 2，F E 2V 5，n 5【例【例2 2】一个正n面体共有 8 个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n。解：V 8，E 8312，2F E 2V 6，n 6四、四、课堂练习课堂练习1.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=96+59=2，V+FE=2在四棱锥中：V=5，F=5，E=85+58=

7、2，V+FE=22.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数 F 有 F=2V4 的关系.解：V+FE=2又E=3F3F，V+F=0，F=2V422【备注】欧拉（欧拉（Euler LonhardEuler Lonhard，1707170717831783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家 在 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士的巴塞尔，1783年 9 月 18 日于俄国的彼得堡去逝 欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育 13岁时入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16 岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一伯努利的特别指

8、导，专心 研究数学，直至 18 岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于 19 岁时（1726 年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。1727 年，在丹尼尔伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作 并在 1731 年接替丹尼尔第一伯努利，成为物理学教授。在俄国的 14 年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧拉还应俄国政府 的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735 年，他因工作过度以致右眼失明在 1741 年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职 他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚 体运动

9、、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着 与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其它数学领域均有开创性的发现。1766 年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡 在 1771 年，一场重病使他的左眼亦完全失明 但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作 他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻。欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域 此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，无穷小分析引论（1748），微分学原理（1755），以及

10、积分学原理（1768-1770）都成为数学中的经典著作。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生 与发展奠定了基础欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目 他计算出 函数在偶数点的值 他证明了 a2k 是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对 调和 级数亦 有所研 究，并相 当精 确的计 算出欧 拉常数 的值,其值 近似为0.577286060651209.在 18 世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学当中，在常微分方程方面，他 完整地解决了 n 阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次

11、方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程 方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法欧拉所写的方程的积分法研究更是 偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式 在 1766 年，他出版了 关于曲面上曲线的研究，这是欧拉对微分几何最重要 的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑 他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示 z 对 x，y 的偏导数，这些符号至今仍通用 此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率

12、公式。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了 G 函数和 B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积 分等等在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即 a+bi 的形式 欧拉还给出了费马小定 理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分 支 欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了 函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积 而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题。欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家 从 19 岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生 等周问题是欧拉多年

13、来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759 年 10 月 2 日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉。1783 年 9 月 18 日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭 那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下欧拉就这样“停止了生命和计算”。历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题 他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律。欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o，几何占18，物理和力学占 28，天文占 11，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占 3 1748 年在瑞士洛桑出版的他的无穷小分析引论，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。