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1、多面体欧拉公式的发现多面体欧拉公式的发现4930949309一些定义：一些定义：若干个平面多边形围成的几何体叫多面体若干个平面多边形围成的几何体叫多面体 。围成多面体的各个多边形叫多面体的面围成多面体的各个多边形叫多面体的面 (Face)。两个面的公共边叫多面体的棱两个面的公共边叫多面体的棱 (Edge)。若干个面的公共顶点叫多面体的顶点若干个面的公共顶点叫多面体的顶点 (Vertex)。多面体的面数多面体的面数F 4，棱数，棱数E 6，顶点数，顶点数V 4。 一个多面体至少有一个多面体至少有 个面，个面， 条棱，条棱， 个顶点个顶点464回顾知识回顾知识 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可
2、欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗过在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这时他才时他才28岁不料没有多久，左眼视力衰退，岁不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，最后完全失明仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽
3、强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的道德，永远是值得我们学习的 以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, , 欧拉还创设了许多数学符号，例如欧拉还创设了许多数学符号，例如，i i，e e，sinsin和和coscos，tantan，x x，f(x) f(x) 等他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学等他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。方面取得了辉煌的成就。17351735年，欧拉解决了天文学中计算慧年，欧拉解决了天文学中计算慧星
4、轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得星轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了基础知识形成性练习基础知识形成性练习下列说法中正确的是下列说法中正确的是（1）只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（2）所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（3）所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（4）所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。A （1）（）（2） B（1）（）（4） C（2）（）（3） D（3）（）（4）小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球
5、的多面根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了体，他连续拼了N次次,仍然没有合理地拼出此多面体仍然没有合理地拼出此多面体.现在你能帮助他设计出来吗？现在你能帮助他设计出来吗？解：解：设足球中形状为五边形和六边形的面各设足球中形状为五边形和六边形的面各有有x个和个和y个，个，棱数棱数E=90，面数面数F=x+y,根据欧拉公式，得：根据欧拉公式，得： 29060 yx另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示 yx6521 由以上两方程可解出由以上两方程可解出20,12 yx答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的 面分别有面分别有12个和个和20个。个。一个顶点有三条棱，一个顶点有三条棱， 一条棱有两个顶点，一条棱有两个顶点，9023 V得得V=60V=60=90=90练习与测试练习与测试一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数V和和面数面数F有有F=V-2的关系。的关系。答案：由各面都是四边形知，凸多面体的棱数FFE224 由欧拉公式2 EFV得22 FFV即F=V-2