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1、多元函数及偏导数多元函数及偏导数第1页，本讲稿共18页在物理学中，常用牛顿的表示方法：在物理学中，常用牛顿的表示方法：例如例如一元函数一元函数 的的微分微分复合函数复合函数 的导数的导数 例如，例如，第2页，本讲稿共18页1、多元函数、多元函数理想气体理想气体（常数）（常数）或或长方体的体积长方体的体积 静止静止液体的液体的压压强强液体液体流流动动时时，几个实例：几个实例：矩形的面积矩形的面积 第3页，本讲稿共18页例如，例如，或或因变量因变量自变量自变量第4页，本讲稿共18页二元函数二元函数举举例例-流体中的机械波（流体中的机械波（波函数波函数），），x、t-自自变变量量，、-因因变变量量。
2、多元函多元函数数例如：例如：流体，流体，也可用流体也可用流体质质点的位移表示点的位移表示为为可以用可以用压压强强的的涨涨落表示落表示为为第5页，本讲稿共18页 二元函数的极限二元函数的极限 若当点若当点以任意方式无限接近点以任意方式无限接近点时时，对应对应的函数的函数值值无限接近于某一常数无限接近于某一常数A共同点共同点：与与之之间间的距离的距离l2、偏导数偏导数第6页，本讲稿共18页等温等温变化变化等压等压变化变化理想气体理想气体 偏导数偏导数第7页，本讲稿共18页定义定义 设函数设函数 在在 的某一邻域内的某一邻域内有定义，当有定义，当 固定在点固定在点 ，而，而 在在 点处有增点处有增量
3、量 时，相应地函数时，相应地函数z有增量（偏增量）有增量（偏增量）如果如果存在，存在，则称此极限为函数则称此极限为函数 在点在点 处处对对x的偏导数的偏导数 第8页，本讲稿共18页类似地，类似地，对对y的偏导数的偏导数 结论：结论：求多元函数对某一自变量的偏导数，并不需要用新的求多元函数对某一自变量的偏导数，并不需要用新的方法，只需要把其他自变量看作常数，应用一元函数的求导方法，只需要把其他自变量看作常数，应用一元函数的求导法则即可。法则即可。例如例如注意：注意：偏导数的记号是一个整体记号。偏导数的记号是一个整体记号。第9页，本讲稿共18页解解：例例1、已知已知 ，求求 ，第10页，本讲稿共1
4、8页如果两个自变量同时有增量如果两个自变量同时有增量 x和和 y，-全增量全增量 3 全微分全微分x偏增量偏增量 类似地，类似地，y偏增量偏增量 第11页，本讲稿共18页举例：举例：xyxyxyxy x yxy第12页，本讲稿共18页 定义：定义：第13页，本讲稿共18页对于三元函数对于三元函数第14页，本讲稿共18页4 多元复合函数的导数多元复合函数的导数一元一元复合函数复合函数 假假设设是是变变量量x，y的的多元复合函数多元复合函数 例如，例如，液体压强液体压强水流速度水流速度多元多元复合函数复合函数流流动时动时静止静止第15页，本讲稿共18页定义定义 设函数设函数 在点在点 有偏有偏导数，而函数导数，而函数 在对应点（在对应点（u,）处有连续）处有连续偏导数，则复合函数偏导数，则复合函数 在点在点 处的处的偏导数偏导数 存在，有存在，有 第16页，本讲稿共18页全导数全导数 若函数若函数 ，而，而 ，则复合函数则复合函数 只是自变量只是自变量x的一元的一元函数，这时函数，这时z z 对对x 的的导数导数 称为称为全导数全导数。第17页，本讲稿共18页例如：例如：第18页，本讲稿共18页