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1、高等数学 (A)教学大纲 适用对象 理工类本科(学分：11 学时：198)一、课程的性质和任务高等数学是高等工科院校教学计划中一门重要的基础课，它是为培养四化建设人才服务的。 开设这门课，是要系统而全面地介绍数学(主要是微积分学)的基本原理、基本方法及其在几何、物理中的基本应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础；通过课程的各个数学环节的教学，培养学生的抽象概括问题的能力，逻辑推理能力、自学能力、想象能力，使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，从而自觉地运用数学这一有力工具为学习后继课程，为科学技术工作，为改造自然服务。二、课程的教学内容(一) 函数与极限函数的概念及表示
2、法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质，初等函数，数列极限与函数极限的定义以及它们的性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)。(二) 导数与微分导数与微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线及其方程，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算法则，复合函数、反函
3、数、隐函数以及参数方程所确定的函数的求导法则，高阶导数的概念及其求法，可导性与可微性的关系，一阶微分形式不变性，微分在近似计算中的应用。(三) 微分中值定理与导数的应用罗尔定理，拉格朗日中值定理柯西中值定理，泰勒定理，洛必达法则，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及应用，函数图形的描绘，弧微分，曲率的概念，方程的近似解。(四) 不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的两类换元积分法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数的有理式和简单无理函数等可以化为有理函数的函数的积分，积分表的使用。(五) 定积分定积分
4、的概念与性质，积分上限的函数及其导数，微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，无穷限的反常积分与无界函数的反常积分。(六) 定积分的应用定积分的元素法，定积分在几何上的应用(平面图形的面积，旋转体体积及平行截面面积为已知的立体体积，平面曲线的弧长)，定积分在物理学上的应用(变力沿直线所作的功，水压力，引力)。(七) 空间解析几何与向量代数空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程(球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程
5、、常用的二次曲面方程)及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离。(八) 多元函数微分学多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数求导法，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，方向导数和梯度的概念及其计算，多元函数值和条件极值的概念，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件，极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最
6、大值、最小值及其简单应用。(九) 重积分二重积分、三重积分的概念及其性质，二重积分(包括利用直角坐标和极坐标)和三重积分(包括利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标)的计算方法，二重积分和三重积分的几何、物理应用(体积、质量、曲面面积、质心、转动惯量、引力等)。(十) 曲线积分与曲面积分两类曲线积分的概念、性质及其计算，两类曲线积分的关系，格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积，两类曲面积分的概念、性质及其计算，两类曲面积分的关系，高斯公式，斯托克斯公式，散度、旋度的概念及其计算，曲线积分和曲面积分的几何、物理应用(弧长、曲面面积、质量、质心、转动惯量、引力和功等)。(十一)
7、 无穷级数常数项级数收敛和发散的概念，收敛级数的和与余项的概念，级数的基本性质，几何级数和P-级数的收敛性，正项级数审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛，条件收敛。函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数在其收敛域内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法。函数可展成泰勒级数的充要条件，一些基本初等函数的麦克劳林级数展开式，利用已知简单幂级数展开式求其它函数的展开式，利用幂级数在近似计算中的应用。函数的傅里叶系数和傅里叶级数，狄立克雷收敛定理，展成余弦级数和正弦级数，一般周期-l,l的傅里叶级数。(十二) 微分方程常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解，变量可分
8、离的方程，齐次方程，一阶线性方程，伯努利(Bernoulli)方程，全微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的结构，二阶及高于二阶的常系数齐次和非齐次线性微分方程，微分方程的幂级数解法，用微分方程解简单的几何和物理问题。三、课程的教学要求(一) 函数与极限1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。2 理解反函数、复合函数的概念，熟悉基本初等函数性质及其图形。3 理解数列极限与函数极限(包括左极限与右极限)的概念，熟悉数列极限与函数极限的性质(如极限唯一性、收敛数列的有界性、函数极限的局部有界性等)。4 理解无穷小、无穷大的概念，熟悉无穷小与无穷大之间
9、的关系。5 掌握极限运算法则，能熟练运用它们求极限。6 熟悉极限存在的两个准则，掌握两个重要极限，能熟练运用两个重要极限求极限。7 理解无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。8 理解函数连续性(含左连续与右连续)及间断点的概念，会判别函数的连续性与间断点的类型。9 熟悉连续函数的运算法则及初等函数的连续性，掌握运用函数的连续性求极限。10 熟悉闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、零点定理、介值定理)及其应用。(二) 导数与微分1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的
10、可导性与连续性之间的关系。2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4 会求分段函数的一阶、二阶导数。5 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反馈函数的导数。6 了解微分在近似计算中的应用。(三) 微分中值定理与导数的应用1 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。2 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。3 掌握用导数判断函数的单调性、函数图形的凹凸性和拐点。4 理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法
11、，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。5 能熟练描绘函数的图形。6 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。7 了解求方程近拟解的方法。(四) 不定积分1 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质。2 掌握不定积分的基本公式，掌握两类换元积分法与分部积分法。3 会求较简单的有理函数及可化为有理函数的函数的积分。4 了解积分表的使用。(五) 定积分1 理解定积分的概念，了解按定义计算定积分，了解定积分存在定理的内容。2 掌握定积分的性质。3 掌握积分上限的函数及其导数，掌握微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式。4 熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。5 了解两类反常积分的定义及其计
12、算。(六) 定积分的应用1 掌握定积分元素法。2 掌握定积分在几何上的应用(计算平面图形的面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体体积及平面曲线的弧长)。3 了解定积分在物理学上的应用(计算变力沿直线所作的功、水压力及引力)。(七) 空间解析几何与向量代数1 理解空间直角坐标系，熟悉两点间距离公式，理解向量的概念及其表示法。2 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，熟悉两个向量垂直、平行的条件。3 掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4 理解曲面方程的概念，熟悉常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴
13、的柱面方程。5 了解空间曲线的参数方程和一般方程。6 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。7 掌握平面方程和直线方程及其求法，熟悉平面与平面、直线与直线、平面与直线的相互关系(平行、垂直、相交、重合等)。(八) 多元函数微分学1 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式不变性。4 掌握多元复合函数偏导数的求法。5 掌握隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。6 熟悉曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念
14、，会求它们的方程。7 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。8 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。(九) 重积分1 理解二重积分及三重积分的概念。2 熟悉二重积分的几何意义及二、三重积分的性质。3 掌握二重积分及三重积分计算方法，掌握交换积分次序，熟练利用直角坐标和极坐标计算二重积分；并能熟练利用直角坐标、柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分。4 熟悉重积分的几何、物理应用(体积、质量、曲面面积、质心、物体引力、转动惯
15、量等)。(十) 曲线积分与曲面积分1 理解对弧长的曲线积分的概念，对坐标的曲线积分的概念，对面积的曲面积分的概念，对坐标的曲面积分的概念。2 熟悉两类曲线积分的性质及两类曲面积分的性质。3 掌握对弧长的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法，格林公式，对面积的曲面积分的计算法，对坐标的曲面积分的计算法。4 掌握平面上曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积，高斯公式及其应用。5 熟悉曲线积分的几何、物理应用(弧长、质量、质心、变力作功等)，熟悉曲面积分的几何、物理应用(曲面面积、质量、质心、流量等)，熟悉线面积分存在的叙述。6 了解两类曲线积分的联系，两类曲面积分的联系，斯托克斯公式及
16、其应用。(十一) 无穷级数1 理解常数项级数收敛与发散的概念，绝对收敛与收敛的关系；幂级数的概念，幂级数的和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径和收敛区间的概念；傅里叶级数的概念。2 掌握级数的基本性质，几何级数和P-级数的敛散必，正项级数、交错级数的敛散性判别法。3 掌握幂级数收敛半径和收敛域、发散域的求法，幂级数的四则运算，幂级数的性质，利用幂级数的性质求其和函数；掌握一些基本初等函数的幂级数展开式，会用这些展开式求比较复杂幂级数的和函数。4 掌握傅里叶级数系数公式，傅里叶级数展开式，傅里叶级数收敛判别定理(狄立克雷定理)。5 了解条件收敛概念，绝对收敛级数的性质；了解函数的幂级数展开式的唯一
17、性，幂级数在近似计算中的应用，欧拉公式，三角级数与三角函数系的正交性，通过奇延拓和偶延拓展开成正弦和余弦级数。(十二) 微分方程1 理解微分方程的基本概念(方程的阶、解、通解、特解、初始条件等)，全微分方程概念，线性微分方程的解的结构。2 掌握可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程，伯努利微分方程，可降阶的高阶微分方程，全微分方程，二阶及高于二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法。3 了解微分方程在几何、物理问题中的应用，了解积分因子概念，了解利用变量替换求解微分方程的方法，了解微分方程的幂级数解法。四、课程的重点和难点(一)函数与极限重点函数概念，极限概念，连续性概念，极限的四
18、则运算法则，两个极限存在准则，两个重要极限，初等函数连续性的结论。难点反函数的概念，反三角函数的主值，复合函数的分解，极限的分析定义，分段函数连续性的判定，极限四则运算法则的运用，函数关系式的建立。(二) 导数与微分重点导数作为变化率的概念，微分作为函数增量的线性主部的概念，基本初等函数的求导公式，函数和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数求导法则。难点导数作为变化率的理解，复合函数求导法则的运用，一阶微分形式不变性的理解及应用，求隐函数和由参数方程所确定的函数的二阶导数。(三) 中值定理与导数的应用重点拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数的单调性、极值，曲线的凹凸性与拐点，最大值
19、最小值问题，函数图形的描绘。难点拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入，微分中值定理的应用，泰勒公式的应用，正确熟练地运用洛必达法则，最值的应用问题。(四) 不定积分重点不定积分概念，两类换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。难点不定积分概念，第一类换元法，分部积分法。(五) 定积分重点定积分定义，定积分换元法与分部积分法，牛顿莱布尼兹公式。难点定积分概念的理解，积分上限函数的概念及其导数，定积分换元法的运用，反常积分的计算。(六) 定积分的应用重点定积分的几何应用平面图形的面积，旋转体体积，平面曲线的弧长，定积分的物理应用变力作功，水压力等。难点定积分元素法。(七) 空间解析几何与向量代数重
20、点向量概念，向量坐标，向量的数量积与向量积，向量平行、垂直的条件，两向量的夹角，图形的方程与方程的图形的概念，直线和平面方程的建立，球面、柱面、旋转曲面、抛物面、双曲面及其方程。难点向量积的概念，空间曲线在坐标面上的投影。用截痕法研究二次曲面。(八) 多元函数微分法及其作用重点偏导数概念，全微分概念，多元复合函数的求导法则。难点二元函数极限的计算，多元复合函数的求导法则，隐函数求导法则的运用，条件极值的要领与拉格朗日乘数法的意义。(九) 重积分重点二、三重积分的计算。难点二、三重积分计算中坐标系的选择，积分次序的选择与定限(特别是利用柱面坐标及球面坐标计算三重积分)。(十) 曲线积分与曲面积分
21、重点曲线积分的概念与计算，曲面积的概念与计算。格林公式、高斯公式的应用，平面上曲线积分与积分路径无关的条件。难点曲线积分、曲面积分的计算及应用。(十一) 无穷级数重点级数收敛与发散的概念。正项级数的审敛法(尤其是比值判别法)，求幂级数的收敛半径与收敛区间，利用幂级数性质和已知的基本初等函数展式将初等函数展成幂级数间接展开法，狄利克雷收敛定理。难点级数的敛散性的判定。函数展成幂级数。函数展成傅立叶级数。(十二) 微分方程重点微分方程的解和初始条件，可分离变量的一阶微分方程的解法。一阶线性微分方程的解法，二阶常系数线性微分方程的解法。难点常数变易法，自由项为(x)=exn(x)cosx + m(x)sinx型的常系数线性方程特解的设立，微分方程的建立。可降阶微分方程的求解。五、课程的学时分配 略六、教材和主要参考书教材高等数学上、下册 同济大学编 (第五版)参考书高等数学上、下册 同济大学编 (第四版)高等教学 (同济四版) 考点精析与习题全解 黄光谷主编高等数学释疑解难 高等学校工科数学课程指导委员会本科组编高等数学学习指导书 华东六省工科数学系列教材编委会主编高等数学习题解集 福州大学数学系编