《高等数学》教学大纲.doc

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1、高等数学高等数学教学大纲教学大纲适用专业：理工科类各专业 学制年限：四年 总学时：72+88 学 分：4.5+5.5 制定者：向中义 审 核 人： 一、说明 1.1.课程的性质、地位和任务：课程的性质、地位和任务：本课程是理工类本科非数学专业的重要基础课，本课程与后继课程密切相关。课程基础性、理论性强，与后继课程的联系密切，对于培养学生能力，提高学生素质具有重要作用。通过本课程的学习，要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生综

2、合运用所学知识去分析解决实际问题的意识和能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。2. 课程教学基本要求：课程教学基本要求：了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。为了满足新世纪科技人才对数学素质的要求,针对目前高等院校(特别是一般本科院校)的教学实际,本门课程的教学内容的安排及要求需注意以下几点:1）、 重视微积分产生的历史背景知识介绍。微分、积分的引入都有较深刻的历史背景，在教学中应

3、重视相关历史背景知识的介绍。2）、 重视相关知识的整合。在一元函数微积分部分，将不定积分与定积分整合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分。3）、 注重基本概念的实际背景和概念的形成过程。微分、积分的形成都有较强的实际背景，教学中应充分暴露其形成过程，每一个概念的引入应遵循实例抽象概念的形成过程。4）、 强调微积分中重要数学思想方法的突出作用。在讲解数学内容的同时，力求突出解决在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在微分中强调局部线性化思想；在泰勒公式中强调逼近思想；在极值问题中强调最优化思想；在导数中强调导数的实质变

4、化率等。5）、 重数学建模思想、方法的渗透。通过应用实例介绍数学建模过程，从而引入数学概念；力争开设数学实验，培养学生用数学知识解决实际问题的意识与能力。6）、选择适当的教学定位高等教育已从精英教育转到大众化教育，针对学校的教学实际，教学内容的选择应适当（特别是在例题及习题方面）适当淡化微积分概念的抽象性，弱化定理的证明。3. 教法特点：教法特点：以讲授、讲解为主,可以根据教学内容选择教学方法,适用使用多媒体辅助教学,除讲解教材上的例题外,可适当补充同济大学高等数学(第六版)上的例题。 4. . 先修课程：先修课程：无。 5. . 课程学时分配：课程学时分配： 章次课程教学内容总学时理论（习题

5、）课时实验（上机）课时 第一章函数与极限2020第二章导数与微分1010第三章微分中值定理与导 数的应用1616第四章不定积分1010第五章定积分88第六章定积分的应用88第七章微分方程1616第八章空间解析几何与向 量代数1616第九章多元函数微分法及 应用1616第十章重积分1010第十一章曲线积分与曲面积 分1414第十二章无穷级数16166. 考核方式：考核方式：采取平时考核与期末考试相结合的考核方式。平时考核包括作业、提问、上课发言等方面的考核及数学的开放式题型（如写一篇小论文用于解决某个应用问题）的考核，平时成绩占 30%，期末考试成绩占 70%。考试要严格要求，实行考教分离，同

6、一教学计划的班级，期末考试要统一命题，统一评分，统一流水阅卷。 二理论教学内容与学时安排： 第一章 函数与极限（20 学时） 1. 理解函数、复合函数及分段函数的概念； 2. 理解极限、左极限与右极限的概念； 3. 理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法；会用等价无穷小求极限； 4. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ； 5. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了 解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理和介值定理） ； 6. 掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则；掌握利用两个重要极 限求极限的方法，会利用极限存在的

7、两个准则求极限； 7.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性、反函数及隐函数的概念； 8. 了解极限存在与左、右极限之间的关系；会建立简单应用问题中的函数关系式；会 判别函数间断点的类型；会应用闭区间上连续函数的性质。第二章 导数与微分（10 学时） 1. 理解导数和微分的概念；理解导数与微分的关系；理解导数的几何意义；理解函数 的可导性与连续性之间的关系； 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式； 了解导数的物理意义； 3. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；了解微分在近似计算中的应用； 了解高阶导数的概念； 4. 会求平面曲线的切线方程和

8、法线方程；会用导数描述一些物理量； 5. 会求函数的微分；会求简单函数的 n 阶导数； 6. 会求分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、 二阶导数，会求反函数的导数。第三章 中值定理与导数的应用（16 学时） 1. 理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用； 2. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；了解柯西中值定理；会用罗尔定理、拉格 朗日中值定理和泰勒定理； 3. 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形； 4. 了解曲率和曲率半径的概念；会计

9、算曲率和曲率半径。 第四章 不定积分（10 学时） 1. 理解原函数、不定积分的概念；掌握不定积分性质；掌握不定积分的基本公式； 2. 掌握换元积分法与分部积分法； 3. 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。第五章 定积分（8 学时） 1. 理解定积分的概念；理解变上限定积分定义的函数及其求导公式； 2. 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握牛顿莱布尼茨公式； 3掌握定积分的换元积分法与分部积分法； 4. 了解广义积分的概念并会计算广义积分。第六章 定积分的应用（8 学时） 1. 掌握定积分的元素法；掌握用定积分表达和计算一些几何量与平面图形的面积、平 面曲线的弧长、旋转体的体

10、积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积； 2. 了解定积分表达和计算物理量变力作功、引力、压力及函数的平均值等。 第七章 常微分方程（16 学时） 1. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；掌握变量可分离的方程及一阶线性方 程的解法； 2. 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；了解微分方程的幂级数 解法； 3. 会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降价法解下列方程：，和了；)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy 4. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微 分方程； 5. 会求自由项为多项式

11、、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶 常系数非齐次线性微分方程的特解和通解； 6. 会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组；会用微分方 程（或方程组）解决一些简单的应用问题第八章 空间解析几何与向量代数（16 学时） 1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示； 2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，掌握单位向量、方向数 与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法； 3. 理解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解平面曲线的参数方 程和一般方程； 4. 了解两个向量垂直、平行的条件；掌握平面方

12、程和直线方程及其求法；会利用平面、 直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题； 5. 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；会求空间曲线 在坐标面上的投影曲线的方程。第九章 多元函数微分法及其应用（16 学时）1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义； 2. 理解多元函数偏导数和全微分的概念；掌握多元复合函数偏导数的求法； 3. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；掌握方向导数与梯度的计算方法； 4. 理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件； 5. 了解二元函数的偏导数和全微分的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质； 6.

13、了解全微分存在的必要条件和充分条件；了解全微分形式的不变性，了解全微分在 近似计算中的应用； 7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念；了解二元函数极值存在的 充分条件； 8. 会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；会求曲线的切 线和法平面及曲面的切平面和法线的方程； 9. 会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大 值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。第十章 重积分（10 学时） 1. 理解二重积分、三重积分的概念； 2. 掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；了解重积分的性质，了解二重积分、三重积分的概念，了解二重

14、积分的中值定理； 3. 会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 。第十一章 曲线积分与曲面积分（14 学时） 1. 理解两类曲线积分的概念；掌握计算两类曲线积分的方法；了解两类曲线积分的性 质及两类曲线积分的关系； 2. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件；掌握计算两类曲面积分的 方法； 3. 了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系； 4. 了解高斯公式、斯托克斯公式；会用高斯公式计算曲面积分； 5. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、 曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等） ；会计算散度与旋度。第十二章

15、 无穷级数（16 学时）1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；2. 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与级数的收敛与发散的条p件；3. 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法；掌握交错级数的莱布尼茨定理；4. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；掌握，xexsinxcos和的麦克劳林展开式；)1ln(x)1 (x5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；7. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；了解幂级数在近似计算上的简单应用；8. 会用

16、根值审敛法；会求一些幂级数在收敛区间内的和函数；会将一些简单函数间接展开成幂级数；9. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理；会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余,ll,0l弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。 三三. 实验教学内容与要求实验教学内容与要求:无四四. 教材与参考书：教材与参考书：1. 推荐教材：高等数学 （第六版） （上、下册）同济大学数学系 编，高等教育出版社。2. 参考书:1 高等数学 高等数学习题集 ， 教学参考书同济大学数学教研室；2 数学分析上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社；3 高等数学例题与习题 同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社。 4 微积分上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社。 5 高等数学辞典钱吉林 等主编，华中师范大学出版社。 6 高等数学释疑解难 ，工程数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社。