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1、第五章 留数定理留数定理是柯西积分理论的继续，可以说，它进一步展现了复变函数积分的细节内情，使我们对复积分有了更深刻的认识。5.1 孤立奇点若在点的某一去心邻域内解析，但在点不解析，则称为的孤立奇点。若是的一个奇点，且在点的无论多么小的邻域内总还有除点外的其它奇点，则称点为的非孤立奇点。例如，为的孤立奇点，为的非孤立奇点。去心邻域可看作内圆周缩为一点的环域。若为的一个孤立奇点，则总存在着正数，使得在点的去心邻域内可展成洛朗级数。这里的正数，显然最大可取为与的离最近的一个奇点间的距离。在孤立奇点去心邻域内的洛朗展开，有时也称为在孤立奇点的洛朗展开。1.孤立奇点的分类设为函数的有限孤立奇点，在去心
2、邻域内的洛朗展式为。前面已知，右边第二个级数称为在点的解析部分，其和函数在包括点的邻域内是解析的，故在点的奇异性质完全体现在的洛朗展式的负幂项部分，所以从出现奇异性来说，我们称为在点的主要部分。根据主要部分仅可能出现三种情况，将的有限孤立奇点作如下分类：定义5.1.1：设为的有限孤立奇点。（1）若在点的主要部分为零，则称为的可去奇点。（2）若在点的主要部分为有限多项，设为 ，则称为的阶极点。一阶极点也称为简单极点。（3）若在点的主要部分有无限多项，则称为的本性奇点。【注】：定义中的第（1）种情形为什么叫可去奇点？其由来是：因主要部分为零，函数在可去奇点去心邻域内的洛朗展式只有非负幂项的解析部分
3、，前面已知，这解析部分的和函数在包括点的邻域内解析，。于是在内，当我们适当补充或改变在点的定义，令之后，在邻域内就没有奇点了。这就是可去奇点名称中“可去”的由来。下面几个在洛朗展式基础上证明的定理，分别描述了解析函数在三类有限孤立奇点附近的性态，也给出了各类奇点的判别法。定理5.1.1：若为的孤立奇点，则下列两条中的每一条都是为阶极点的充要条件：（1）在点的主要部分为 ；（2）在点的某去心邻域内能表成，其中在点的邻域内解析，且；2.解析函数在有限孤立奇点的性质定理5.1.2：若为的孤立奇点，则下列三条中的每一条都是为可去奇点的特征（即每一条都是为可去奇点的充要条件）：（1）在点的主要部分为零；
4、（2）（有限复数）；（3）在点的某去心邻域内有界。定理5.1.3：的孤立奇点为极点。定理5.1.4：的孤立奇点为本性奇点不存在有限或无限的极限。3.解析函数的零点与极点的关系定义5.1.2：设函数在点的某邻域内解析。若，则称为解析函数的零点。若，但，则称为解析函数的阶零点。特别，当时，也称为的简单零点。若在邻域内解析，不恒为零，则为的阶零点时，在内的泰勒展式形式为 。右端提取公因式，并记，容易证明在邻域内解析，且。于是在邻域内有。反之，当在内解析，并能表成上述形式时，由泰勒定理中的关系式，立即可知为的阶零点。这样我们就证明了下述定理：定理5.1.5：不恒为零的解析函数以为阶零点在点的邻域内，
5、其中在邻域内解析，且。解析函数的零点与极点，有如下关系：定理5.1.6：若为的孤立奇点，则为阶极点的充要条件是为的可去奇点，将作为的解析点看待，为的阶零点。4.解析函数在无穷孤立奇点的性质定义5.1.3：若函数在无穷远点去心邻域内解析，则称点为的一个孤立奇点。若点是的奇点的聚点，则点是的非孤立奇点。定义5.1.4：设为的孤立奇点，作倒数变换后有。若为的可去奇点（视为解析点），则称为的可去奇点（解析点）；若为的阶极点，则称为的阶极点；若为的本性极点，则称为的本性极点。我们可按广义连续性来定义函数在点处的值：定义。同样虽在点处没有定义差商，从而没有定义函数在无穷远点处的可微性，但现在有了定义5.1
6、.4之后，今后我们称在点解析，其意义是指：点为的可去奇点，且定义。设由上面式确定的在去心邻域内的洛朗展式为，换回到变量，即令，就得到在无穷远点去心邻域内的洛朗展式 , (5.1.1)其中，即在原点去心邻域的展式中的负幂项系数，与在无穷远点去心邻域的展式中的相应正幂项系数相等,而前者展式中的正幂项系数与后者负幂项相应系数相等。根据这个关系，应用对有限孤立奇点的讨论结果，我们得知，就洛朗展式看： 可去奇点展式(5.1.1)中不含的正次幂，为的 阶极点展式(5.1.1)中只有有限个正次幂，且最高次幂为，本性奇点展式(5.1.1)中有无限多个正次幂。就函数的极限值看： 可去奇点（有限复数），为的 阶极
7、点， 本性奇点不存在。5.2 留数5.1 留数的定义我们知道，若于闭路（即围线）上及其内部解析，则依柯西积分定理有；但若内含有的孤立奇点，则不一定等于。对于后者情况，现在我们先把进行罗朗展开，然后再来对它进行积分：事实上，设于去心邻域内解析，则它有罗朗展式此级数在上述去心邻域内的围线上一致收敛，故沿该围线可逐项积分，所以对上式两边积分，有但该式右端除了这一项外，全部等于（依据书中例3.1.4的积分得），于是有。由此可见，罗朗展式中系数是个特别的数，它是在上述逐项积分后唯一残留下来的系数。若不计因子，它就代表了对围线积分的值。鉴于此，我们作如下定义：定义5.2.1：若函数以有限点为孤立奇点，即在
8、点的去心邻域内解析，则在点的去心邻域内可以展成罗朗级数，我们称此级数中这一项的系数或积分（它正好就能依罗朗系数公式(4.4.6)取时得出）为在孤立奇点的留数（也称残数），记为或（是residue的缩写），即，或。定义5.2.2：设是函数的孤立奇点，即在点的去心邻域内解析，则在点的去心邻域内可以展成罗朗级数，我们称级数中这一项的系数的反号数或积分 为在点的留数，记为或，即，或 其中指取的顺时针方向（之所以这样取向，是因为这个方向正是绕无穷远点的正向）。5.2 留数的基本定理有界区域的留数定理：定理5.2.1（留数定理）：若在围线或复围线所围区域内除有限个奇点外解析，在闭域上除外连续，则。证：在内
9、以每个为中心作半径充分小的圆周（），使得这些小圆周及其内部均含于，并且彼此互相隔离。应用多连通区域上的柯西积分定理得又由留数定义有代入上式，即知定理中的结果式子成立。 扩充复平面上的留数定理：定理5.2.2：若在扩充复平面上除有限个点外解析，点也为的孤立奇点，则，即在所有孤立奇点的留数之和为零。证：以原点为中心作半径充分大的圆周，使的内部包含。由定理5.2.1得,但所以即知定理中的结果式子成立。 5.3 留数的计算：原则上，只要算得了函数在孤立奇点的罗朗展式，那么函数在此点的留数也就求出来了（求其负一次幂项的系数就是）。但总是用这样的一般方法去做并不合算，因为求罗朗展式往往并不容易。下面介绍的
10、方法，是将留数的计算归结为求极限、求导这一类有时是很简单的计算，免得去使用罗朗展式。但这种方法的得到其实却要以罗朗展式为理论工具。此外要说明，这种方法对于高阶极点，计算起来也未必简单。因函数在其有限的可去奇点的罗朗展式中不含负幂项，故函数在其有限的可去奇点的留数总等于零。因此，对于函数在其有限的孤立奇点的留数就只要去考虑极点和本性奇点。以下我们主要讨论在极点的留数的计算方法。5.3.1 有限远点留数的计算方法1）.若为的可去奇点，则在内的罗朗展开式中不含负幂项，从而，故当为的可去奇点时，。2）.若为的一阶极点（1）第一种情形：若为的一阶极点，则在内的罗朗展开式为显然，故当为的一阶极点时，。（2
11、）第二种情形：若为的一阶极点，且，则。3）. 教材上的定理5.2.1： 若为的阶极点，则。证明：由于以乘以上式两端，得两边求阶导数，得含有正幂的项令，两端求极限，有根据，并两端除以，就得所证。4）.当为的本性奇点时，几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求有限远点留数计算典型实例例： 求。解：容易知道是函数的一阶极点，所以5.3.2 无限远点的留数计算方法1. 利用无穷远点留数定义或留数定理 例： 求函数在点处的留数。解： 函数以及为一阶极点，而为本性奇点。 又所以。2. 利用下述定理求无穷远点留数定理5.2.3：若，则。证明：由条件，故可
12、设在的去心邻域的罗朗级数为因此。3. 利用下述定理求无穷远点留数定理 5.2.4：若，则5.3 留数在定积分计算中的应用5.3.1 计算型积分定理5.3.1：设为、的有理函数，且在上连续，则 ， (5.2.1)其中，为在单位圆内的奇点。5.3.2 计算积分路径上没有奇点的无穷限积分5.4 幅角原理与路西定理5.3.1 零点与极点个数定理引理5.3.1：设，分别是函数的阶零点和阶极点，则，都是函数的一阶极点，且，。定理5.3.1：设函数在围线上解析且不为零，在的内部除可能有极点外是解析的，则 ， (5.3.1)其中与分别表示在内部的零点与极点个数（一个阶零点算作个零点，而一个阶极点算作个极点）。5.3.2 幅角原理及其应用复变函数论全篇总结框图