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1、几何与代数相结合的综合问题【考点透视】几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.综观全国各地的中考试题，90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题.就江苏省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高.编制这样的综合题，不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查学生对数学知识迁移整合能力；考查学生学会将大题分解为小题，逐
2、个击破的能力；考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力；还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.几何与代数综合题在中考试题中还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度；有利于高一级学校选拔人才. 典型例题例1.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当RtABC的斜边长a=，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求ABC的周长.（2003年江苏省连云港市中考试题）分析：（1）由一元二次方程根的判别式得=(2k-3)2+40即可.（2
3、）由一元二次方程根与系数关系，再由直角三角形的勾股定理建立关于k的一元二次方程，从而求出三角形的另两边之和.解：（1）证明：=-（2k+1） 2-41(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4 无论k取什么实数值，总有(2k-3)2+40，即0， 无论k取什么实数值时，该方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程根与系数的关系，得b+c=2k+1，bc=4k-3.又在RtABC中，根据勾股定理，得b2+c2=a2， （b+c）2-2bc=，即(2k+1)2-2(4k-3)=31，整理得，得k2-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3.当k=-2时，b+c=-4+1=-3A
4、C）.（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由. (2003年江苏省镇江市中考试题)2、已知：如图12-3，四边形ABCD为菱形，AFAD交BD于E，交BC于点F.ADCBFEO图13-3（1）求证：AD2=；（2）过点E作EGAF交AB于点G，若线段BE、DE（BE0)的两个根，且菱形ABCD的面积为6，求EG的长.xyONM图13-4（2003年江苏省无锡市中考试题）例3.如图13-4，直线y=-与x轴、y轴分别交于点M、N.（1）求M、N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直
5、线y=-相切，求点P的坐标. （2003年江苏省南京市中考试题）分析：（1）较简单略；（2）因为P与直线相切，因此点P到直线MN的距离等于圆的半径，从而想到过点P作MN的垂线，由于点P的位置不确定所以想到对P点的位置进行分类.不妨以点P在点N的下方为例，过点P作PAMN于A，则要求P点坐标，只要求OP长，把问题转化为求PN长，利用PANMON，使问题得以解决.当点P在N点上方时，可以利用三角形全等知点P到N的距离与在点N下方时PN的长相等，从而求出P点坐标，不需要再重复上述步骤.当点P在x轴上时利用相同的方法可求出P点的坐标.解：（1）当x=0时，y=4，当y=0时，-=0, x=3. M(3
6、,0)，N（0,4）（2）当P1点在y轴上，并且在N点的下方时，设P1与直线y=-相切于点A，连结P1A，则P1AMN. P1AN=MON=90. P1NA=MNO, P1ANMON. .在RtOMN中，OM=3，ON=4 MN=5. 又P1A=，P1N=4. P1点坐标是（0，0）. 当P2点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是（0，0）.当P3点在x轴上，并且在M点的右侧时，设P3与直线y=-相切于点B，连结P3B，则P3BMN. OA/P3B. OA=P3B，P3M=OM=3. OP3=6. P3点坐标是(6，0). 当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON
7、=4. OP4=8. P4点坐标是 （0，8）.综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.说明：本题不仅考查学生函数与方程，相似三角形，同时也考查了数形结合，分类讨论等思想，其中熟练地进行线段长与坐标的互化也是解题的关键.其实本题若能从轨迹的角度去考虑,就可以避免了分类的遗漏,也可以把问题转化为求一次函数的解析式,只需求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐标.例4.点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=于点A，连结OA.（1）如图13-5，当点P在x轴的正方向上运动时，RtAOP的面积大小是否变化？若不变，请求出RtAOP的面积；若改变，试说明理由.（2）如图1
8、3-5，在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连结BO交AP于点C.设AOP的面积为S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2大小关系是S1 S2(填“”或“S2.（3）由于双曲线关于原点对称，故A、F关于原点对称，所以四边形APFH是平行四边形.根据平行四边形的性质得四边形APFH的面积等于AOP的面积的4倍，据（1）知AOP的面积是常数，所以四边形APFH的面积为一常数.解：（1）设A点坐标为（a，b），则OP=a，AP=b SAOP=点A（a、b）在函数y=的图象上b=， ab=1 SAOP=（2）（3）A、F关于O点对称 OA=OF.PAx轴，HFx轴， PA
9、/HF， PA=HF，四边形APFH是平行四边形， S APFH=4SAOP=4,四边形APFH的面积为一常数.yxOAB图13-6说明：本题注重从数量关系和几何图形的变化中去研究问题,从“运动”的角度考查学生的探究能力.它不仅考查了反比例函数的图象与性质，同时考查了数形结合的思想方法,通过点的坐标和线段的长度之间的互化实现了数形结合.例5.设一次函数的图象为直线，与x轴y轴分别交于点A、B.（1）求tanBAO的值；（2）直线m经过点P（-3，0），若直线、m与x轴围成的三角形和直线、m与y围成的三角形相似，求直线m的解析式.(2003年江苏省常州市中考试题)分析：（1）较简单略.（2）首先
10、要画出图形，则、m与x轴、y轴围成的三角形分别是AMP、MBN.分两种情况讨论：当N在y轴负半轴上时；已知AMPNMB，则有MAP=BNM，这时有RtBOARtPON得：=，已知OP=3得ON=6，从而得到N、P两点坐标，即可求出直线解析式y=-2x-6.当N在y轴正半轴上同理可得：y=2x+6，当N在线段内部时，同理求出ON=6出现矛盾，归纳结论得出两条解析式.解：（1）tan(2)设直线m与直线相交于点M.与y轴相交于点N.则直线、m及x轴围成的三角形AMP；直线、m及y轴围成的三角形为MBN.yxNBOAPM当N在y轴负半轴上时，由于ABN及BMN均大于MAP，则要使AMPMBN只能是M
11、AP=BNM，此时有RtBOARtPON，则，而OP=3，则ON=6，N（0，-6）又P（-3，0） 则直线m的解析式为y=-2x-6.yxAPMBNO当N在y轴正半轴上且在OB延长线上时，显然 APM及MBN均为钝角，要使APMNBM，则有APM=MBNMNB=MAPRtPON RtBOA，则.而OP=3，则ON=6，从而N（0，6），则直线m的解析式为y=2x+6.yxOMAPBN当N在线段OB内部时，若要AMPNMB， BAP=BNMBAP=PNORtABO RtNPO.而OP=3，则ON=6矛盾，即N不可能在线段OB内部，综上所述，满足要求的直线m的解析式应为y=2x+6或y=-2x-
12、6.xAOBCDy图13-7说明：本题设定问题（1）考查了学生的基础知识，给学习能力较弱的学生建立信心.设定问题（2）首先考查了学生根据题意画出图形的能力；其次考查了学生常用的数学思想， 一是数形结合思想，二是分类讨论思想.例6.如图13-7，已知抛物线y=ax2+bx+c(a1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围.（2003年江苏省盐城市中考试题）分析：（1）已知ABC=60得到含30的RtBOC，设C（0，C）解出B点坐标，再构造含30的RtABC，求出A点坐标.（2）由梯形的有关性质，BAC=30证得上底与腰相等，且S梯求出C值.（3）求出抛物线的对称轴、利用图形的直观和函数的增减性求
13、解.解：（1）C（c,0）OC=c，在RtBOC中，ABC=60，BO=连结AC AB是直径 ACB=90 BAC=30 在RtAOC中，AO= A（）B （2）圆与抛物线都关于抛物线的对称轴对称 四边形ABCD是等腰梯形 AB+CD=2OA=2c S四边形ABCD=， = c2=1 c0 c=1 A() B(-) 设抛物线的解析式为y=a(x-)(x+)将 C（0，1）代入得1=a(-)() a=-1 抛物线的解析式为：y=-(x-)(x+)即y=-x2+x+1 （3）解法1：A（c，0），B（-c，0）在抛物线上 a a(-c)2+b(-c)+c=0 c0 3ac+b+1=0 消去ac得：
14、b= 抛物线的对称轴是x=-=- 当x1时，y随x的增大而减小 - a 解法2：A()，B(-c,0) y=a(x+c)(x-c) 将点C(0，c)代入得：c=ac(-c) c0 c=- 抛物线方程y=a(x-)(x+)即y=ax2+对称轴方程为x=- 当x1时，y随x的增大而减小 a0 .说明：本题既考查学生基本运算能力；又考查学生运用几何图形和函数图象的联系分析问题和解决问题的能力；运用了数学中的数形结合思想及待定系数法.还可研究下面问题：DyxABCO图13-8如图13-8，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(x1，0)、B（x2，0）（x100），则BD=5-m，AD=m，当CB
15、+BD=3（OC+OA+AD）时 8-m=3(8+m) 解得：m=-4，不合题意舍去 当3(CB+BD)=OC+OA+AD时 3(8-m)=8+m 解得：m=4 D(3,4) 设直线CD的解析式为：y=kx+b 则b=5 3k+b=4 k= b=5 直线CD的解析式为：y=-x+5 （3）顶点C为直角时，过点C作CE1CD交x轴于点E1，则1+2=90，又2+3=90，1=3 又COE1=B=90 COE1CDB 即 OE1= E1() 在RtCOE1中，CE1=则 COE与CBD不相似，E1舍去 顶点E为直角时，过D作E2Dy轴于E2 则DE2/BC，CE2D=B=90， 3=4又CD=CD
16、 BCDE2DC E2C=BD=1 E2（0，4） 顶点D为直角时，过D作DE3CD交x轴于E4，交y轴于E3 则5+2=90，又2+3=90，5=3又CDE3=B=90，CDE3DBC CD2=CE3BD 在RtBDC中 CD2=BD2+BC2=10 CE3=10 E3（0，-5） 6=7=90 3+7=90 6=3 又D=DAE4 BCDADE4 AE4= E4（） 在RtADE4中，DE4= 则 BCD与CDE4不相似，E4舍去，综上所述，这样的点E存在，有两点为（0，-5）（0，4）说明：本题求点的坐标到求直线解析式，牢牢地抓住基础知识。（1）（2）两题能充分调动学生的解题积极性.第（
17、3）小题让思维能力较强的学生去积极探索结论的存在性问题.突出分类讨论的数学思想在解题中的应用.xyO图13-11例9已知抛物线y=-x2+(k+1)x+3，当x1时，y随着x的增大而减小.（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面给定的直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的一个动点.当点G运动到何处时，直线BG是O的切线？并求出此时直线BG的解析式；若直线BG与O相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？（2003
18、年江苏省镇江市中考试题）xyO43211234-2-1-1-2-3-4PBAGOE分析：（1）（2）容易略.（3）欲求圆心O的坐标，即应考虑O定在线段AB的中垂线上，又A、B是抛物线与x轴的两交点，所以圆心O在抛物线的对称轴上.用相交弦定理即可求出O的坐标. （4）由切线的性质与两直角三角形相似就可求出OG的长，即可求出G点坐标，由B、G两点求解析式.解：（1）由题意得： 解得k=1 抛物线解析式为y=-x2+2x+3 （2）A（-1，0） B（3，0） P（1，4） （3）O过A、B两点，O在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交O于N，则MPMN=MAMB
19、 4MN=22 MN=1,PN=5, OP=PM, O点在x轴上方.OM= O（1，） （4）过B点作O的切线交y轴于点G,直线BO交y轴于点E 可求出直线BO的解析式为y= E（0，） BG是O的切线，BOEG BO2=OEOG OG=4 G（0，-4） 求出直线BG的解析式为y= -4m1)与x轴交于点D.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在直线x=m(m1)上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、D为顶点的三角形相似，求点P坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2-2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？
20、如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由.（2003年福州市中考试题）6.已知：如图,在平面直角坐标系中，半径为2的O与y轴交于A、B两点，与直线OC相切于点C，BOC=45，BCOC，垂足为C.GxyOBDCAEO（1）判断ABC的形状；（2）在BC上取一点D，连结DA、DB、DC，DA交BC于点E. 求证：BDCD=ADED；（3）延长BC交x轴于点G，求经过O、C、G三点的二次函数解析式.（2003年河南省中考试题）7.已知二次函数y=x2+bx+c的顶点M在直线y=-4x上，并且图象经过点A（-1，0）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）设此二次函数与x轴的另一个
21、交点为B，与y轴的交点C，求经过M、B、C三点的圆O的直径长；（3）设圆O与y轴的另一个交点为N，经过P(-2，0)、N两点的直线为，则圆心 O是否在直经上，请说明理由.（2003年四川省中考试题）8.如图1，在直角坐标系中,O1经过坐标原点，分别与x轴正半轴、y同正半轴交于点A、B.（1）若点O到直线AB的距离为，且tanB=，求线段AB的长；（2）若点O到直线AB的距离为，过点A的切线与y轴交于点C，过点O的切线交AC于点D，过点B的切线交OD的延长线于点E，求的值；（3）如图2，若O1经过点M（2，2），设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化.若不变，求出其值；若变
22、化，求其变化范围.OxyBAO1图2M（2，2）OxyEBCADO1图1(2003武汉市中考试题)【习题十三】答案部分1.解：抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.直线BC的解析式为y=x-3.SABC.2.解：（1）SAOC：SBOC=1：5，AC：OB=1:5,不妨设AC=k，OB=5k，由题意，得.解得：（不合题意，舍去）AC=1，OB=5.（2）OAC=BCO=90，ACO=BOC，OBCCOA.OC2=OBAC.OC=或OC=-（舍去）.AC=1，AO=2，C（1，2）.直线OC的解析式为y=2x.（3）存在，M1、M2.3.解：（1）a、c同号.或当a0时，c0；当a0时，c0.（
23、2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0x10. AB=0B-OA=x2-x1=，AB=.AB=4，得a=，c=2.4.（1）y=(x-)(x+)=x2-1.（2）过点P作PFy轴于F，过点Q作QNy轴于N.PFA=QNA=90,F点纵坐标为t，N点的纵坐标为y. PAF=QAN，PA=QA，PFAQNA.FA=NA.AO=1，A（0，1）. |t-1|=|1-y|. 动切线PM经过第一、二、三象限，观察图形可得1t3，-1y1，t-1=1-y. 即y=-t+2. y关于t的函数关系式为y=-t+2(1t3).（3）当y=0时，Q点与C点重合，连结PB.PC为A的直
24、径，PBC=90.即PBx轴. s=-.将y=0代入y=-t+2(1t3)，得0=-t+2.t=2.P(-，2).设切线PM与y轴交于点I，则APIAOC.AI=4.OI=5. I点的坐标为(0，5). P点的坐标为（-，2），切线PM的解析式为y=x+5.设切线PM与抛物线y=交于G、H两点，因此G、H的横坐标分别为、.根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是：.5.解：（1）令y=0，得：2x2-2=0，解得：x=1.点A为（-1，0）、点B为（1，0）；令x=0，得：y=-2.所以点C为（0，-2）；（2）当PDBCOB时，有.BD=m-1，OC=2，OB=1，.PD=
25、2(m-1). P1(m，2m-2).当PDB BOC时，OB=1，BD=m-1，OC=2，PD=.P2（m，）.（3）假设抛物线y=2x2-2上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，PQ=AB=2.点Q的横坐标为m-2，当点P1为（m，2m-2）时，点Q1的坐标是（m-2，2m-2）.点Q1在抛物线y=2x2-2图象上，2m-2=2(m-2)2-2 m-1=m2-4m+4-1 m2-5m+4=0 m2-5m+4=0. m1=1(舍去)，m2=4.当P点坐标为(m，).点Q2的坐标是(m-2，).点Q2在抛物线y=2x2-2的图象上，2(m-2)2-2，m-1=4(m-2)2-4. m-
26、1=4m2-16m+16-4. 4m2-17m+13=0 (m-1)(4m-13)=0. m3=1(舍去)，m4=m的值为4、6.（1）OC与O相切，OCOC.又BCOC，O在BC上，即BC为O的直径. CAB=90，CABA. BOC=45，BOC为等腰直角三角形. A为OB的中点. CA=OB=AB. ABC是等腰直角三角形.（2）AC=AB， AC=AB，ADC=ADB，又CAD=CBD，ADCBDE.，即BDCD=ADED.（3）在RtBOC中，O的半径为2，BC=4,OB=BC=8，CA=OA=AB=.CA/x轴，C点坐标为(-4,-4), BC=CG, AC为BGO的中位线,OG=
27、2AC=8. G(-8,0), 函数解析式为y=.7.解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的顶点在直线y=-4x上，故可设此二次函数为y=(x-t)2-4t.经过点（-1，0）， 二次函数的解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.（2）由（1），得M（1，-4），B（3，0），C（0，-3）.从而CM=，CB=，MB=.CM2+CB2=MB2，MBC为Rt，且BCM=90. 故直径长为2.（3）设O与x轴的另一个交点为Q，连结MQ，由BM是O的直径，知BQM=90.Q（1，0）.过O作x轴的垂线，交y轴于T,交MQ于S，则OR=，QS=，圆心O的坐标为(2，-2).又CT=CO-OR=
28、1，由垂径定理，得TN=1. N的坐标为（0，-1）. 过P、N两点的直线的函数解析式为y=-.圆心O（2，-2）在直线上.8.（1）作OGAB，垂足为点G. tanB=，设OA=3k，OB=4k，AB=5k. OAOB=ABOG=2SAOB，即3k4k=5k.k=1. AB=5.（2）延长BE到x轴于点F，过点O作OGAB于点G. DO=DA，DOA=DAO， COD=DOC. DO=DA=DC. 同理可证：EB=EO=EF. 又ACOGBF， . .即.而.（3）d+AB的值不会发生变化.设AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，则d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB.在x轴上取一点N，使AN=OB.连结OM、BM、AM、MN. OM平分AOB，BOM=MON=45，AM=BM.又MAN=OBM，OB=AN，BOMANM. BOM=N=45.OMN=90. OA+OB=ON=.d+AB的值不会变化，其值为4.