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1、【云南省大理州民族中学李永华教学设计】【课型：定理的探究课】正弦定理正弦定理一、教学内容分析本节课内容选自 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5（人教 A 版）第一章 1.1.1 正弦定理，是在学生已经学习了三角函数，向量基础知识之后，对这些知识的应用，同时也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。本节课时“正弦定理”教学的第一课时，主要任务是引入并证明正弦定理，同时在这个过程中，复习巩固旧知识，让学生掌握新知识，体会知识间的联系。教学过程中，应发挥学生的主观能动性，通过探究，引导学生提出猜想，进而证明猜想的正确性。培养学生敢于猜想，善于思考的品质。二、学生情况分析学生在初中已经学习了解直角三
2、角形的内容，又学习了三角函数的基础知识与平面向量的有关内容，但前后知识间的联系，理解，应用有一定的困难，因此教师应恰当的引导，调动学生的学习积极性，重视定理的探究过程，让学生体会到成功的喜悦。我校学生多数来自山区少数民族，学生的动手和探究能力相对较弱，在教学中教师要多加引导，否则很容易学生什么也探究不到，以致原先的设计无法得到体现。-1-三、设计思想本节课是定理的探究课，重点是定理的发现与证明，因此以问题为导向设计教学情境，为学生提供自由表达，质疑和探究的机会，让学生在一定的情况下，运用自己已有的知识和经验，并通过与他人的协作，而主动的获取知识。体会知识的发生和发展的过程。四、教学目标1.让学
3、生从已有的知识和经验出发，逐步理解和掌握正弦定理的内容及其证明方法。2.通过探究，培养学生合理猜想，探索数学知识和规律的能力和方法，体会数学知识发生和创造的过程。3.通过学生之间，师生之间的交流与合作，增强学生的交流和协作能力。五、重点和难点重点：正弦定理的发现和证明难点：正弦定理的证明六、教学过程设计创设情景，提出问题问题问题 1 1：一般三角形全等的判断方法有哪些？学生可以回答得出 SSS，SAS，AAS，ASA 这四种。师：这四种方法有什么特点？这说明什么样的条件可以确定一个三角形？生 1：都有 3 个条件。-2-生 2：三个边的条件。生 3：两条边一个角。生 4：两个角一条边。师：也就
4、是说，如果有一个三角形，一部分角和一部分边已知，这个三角形的其他边和角也就随之确定了，因此三角形的边和角之间一定存在某种联系吧。【设计意图】复习旧知识，同时引出新知识。问题问题 2 2：在江河上修建大桥前，往往需要预先测量出大桥的长度AB(如图)，于是在江边取了一个测量点 C.AAB图 1CB图 2C(1)如图 1，若 CB=1000m,ACB=450,ABC=900,由以上数据，能算出 AB 的长吗？(2)如图 2，若 CB=1000m,ACB=450,ABC=750,由以上数据，能算出 AB 的长吗？对于情形 1，学生很容易想到解直角三角形的方法，得出AB=BC=1000m。对于情形 2，
5、就会有很多不同的表达。但因为有了情形1 的铺垫，不难想到转化为解直角三角形的方法。生：过作 ADBC 于点 D（如图 3）,则 BD=ABcos750，-3-CD=AD=ABsin750,从而 BC=BD+CD=ABcos750+ABsin750AB=BC1000=6(m)003cos75 sin75AADBDC图 3BC图 4师：非常好，那可不可以作其他的高线呢？生：如图 4，过,B 作 BDAC 于点 D,则 BD=BCsin450=ABsin600,BCsin450AB=0sin60100022=10006(m)332师：对学生加以赞赏，并适时引导在刚才的推理过程中，若把已知的BC 写成
6、a,要求的 AB 写成c，你能发现a，c和A，C 之间有什么关系吗？生：asinC csin A。师:这个式子为了便于记忆，往往写成也等于b呢？sin Bac，那么，他们是否sin AsinC生：等于。师：那么这个结果是否对一切的三角形都成立呢？【设计意图】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，引导学生把新问题转化成用已有的知识来解决。在解决问题后，-4-对特殊问题一般化，大胆提出猜想，培养学生的创造性思维能力。数学实验，验证猜想。请学生用三角板，计算器，量角器为工具，对上述猜想加以验证，进而得出：在任意三角形中，abc。sin Asin BsinCA【设计意图】培养学生的动手
7、实践能力。证明探究1.特殊入手。在 RtABC 中，AB c,AC b,BC a,C 900，如何证明？生：sin A,sin B,则abcc c,c,c，0sin Asin BsinCsin90abc从而在 RtABC 中，。sin Asin BsinCacbcBC2.推广与扩展问题问题 1 1：在锐角ABC 中，如何证明？受上面的启发，学生比较容易想到以下方法。生：过作 ADBC 于点 D，则csinB AD bsinC，bcab，同理可得，sin BsinCsin Asin Babc因此，。sin Asin BsinC从而问题问题 2 2：在钝角ABC 中，如何证明？可不可以仍然过 A
8、作 BC 的垂线呢（如图）？让学生进行小-5-组讨论，找出规律。bc，得证。sin BsinC生：AD=bsinC csin(180 B)csin B,从而师：非常好。这样我们就可以通过把锐角和钝角三角形转化成直角三角形处理，非常容易的证明出上述结果了。这条性质我们称之为正弦定理，也就是在一个三角形中，每一边和它所对的角的正弦的比相等。即abc。sin Asin BsinC【设计意图】根据“化归“的思想，把锐角三角形和钝角三角形问题转化为直角三角形问题是很自然的，学生易于接受，并且由于有上面的铺垫，学生不难想到上述的方法。问题问题 3 3：既然abc都等于同一个比值，那么这个比sin Asin
9、 BsinC值有什么特殊的意义吗？引导学生回顾前面正弦定理的证明过程，从中发现规律。生：在 RtABC 中，abc c。sin Asin BsinC师：斜边 c 的长度在直角三角形中还反映什么？生：外接圆的直径。师：很好，外接圆的直径 2R，因此abc=2R，那么，sin Asin BsinC对于一般的三角形又是不是这样的呢？我们又该如何证明?-6-生：作出ABC 的外接圆 O 看看。CDABABABBDc 2R,所以 2R，sinACBsinADBsinDABsinCabc同理可得=2R。sin Asin BsinCabc【设计意图】进一步探究“=2R”，一方面加深了学sin Asin Bs
10、inC生对正弦定理的理解和记忆；另一方面，学生在学了正弦定理后也会很好奇的想知道这个值为什么总相等，通过外接圆就把不同的三角形类型之间的共同点给揭示出来了，让学生体会发现的快乐。问题问题 4 4：今天我们通过“作高法”，“作外接圆法”证明了正弦定理abc=2R。前面我们刚刚学了平面向量，在平面向量sin Asin BsinC中，数量积就在向量的长度和夹角之间建立了联系，这和正弦定理是很相像的。那么，我们可不可以用向量的方法来证明正弦定理呢?学生小组讨论，教师适时引导，让学生与前面用的平面几何的方法对比。生：在锐角三角形中，可以作BC的法向量i（如图）。则BCi=0，-7-BCi=(BA AC)
11、i=BCi+ACi=|i|ccos(90 B)|i|bcos(900C)0=|i|(csin B bsinC)从而，csinB bsinC因此同理可得：bcsin BsinCabcsin Asin BsinCiAiiBC对于直角三角形和钝角三角形的情形，请同学们在课后去探究一下。【设计意图】向量，把数和形融为一体，是很重要的数学工具，但学生对如何用向量法证明几何问题相对比较生疏，通过前面几何法的铺垫，学生感受起来就轻松多了。而且向量法证明简便快捷，也可以体会到向量法的优点，从而在今后会主动去尝试和学习用向量的方法分析和解决问题，为后续知识（余弦定理等）的学习打下了基础。定理的简单应用现在请同学
12、们利用正弦定理解决一开始提出的问题。生：在ABC 中，1800BC=600ABBCBCsinC1000sin4501000,AB sinCsin Asin A3sin6006（m）-8-【设计意图】利用正弦定理解决一开始提出的问题，既简单又快捷，让学生体会到正弦定理的重要性，认识到正弦定理是今后处理三角形问题的有力的武器。尝试小结引导学生总结本节课的内容,让学生思考交流,归纳总结,教师及时补充。这里面要体现以下几点。正弦定理的内容和证明方法。分类讨论的数学思想，强调分类要全面，不可以重复和遗漏。可以让学生思考并归纳可以用正弦定理解决什么样的问题，为下一节课（正弦定理的应用）打下基础。【设计意图】通过学生的归纳，培养学生的归纳总结的能力，以及用数学语言来叙述相关数学问题的能力。作业布置（略）云南省大理州民族中学李永华2010 年 10 月-9-