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1、第一章 解斜三角形1 11 11 1 正弦定理正弦定理（一）教学目标（一）教学目标1 1 知识与技能知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2.2.过程与方法过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3 3情态与价值：情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识
2、间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：正弦定理的推导即理解（三）学法与教学用具（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：asinAbsinBcsinC，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学过程（四）教学过程11创设情景创设情景 如图 11-1，固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。A思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的
3、数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C B22探索研究探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数abcsinA，sinB，又sinC1,Acccabc则c b csinAsinBsinCabc从而在直角三角形 ABC 中，C a BsinAsinBsinC的定义，有(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三
4、角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=asinBbsinA,则同理可得从而asinAbsinB，CcsinCbsinB，b aasinAbsinBcsinC A c B (图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作jAC，C由向量的加法可得ABACCB则jABj(ACCB)A BjABjACjCBjj ABcos900A0 j CBcos900CcsinAasinC，即同理，过点 C 作jBC，可得从而acsinAsi
5、nCbcsinBsinCasinAbsinBcsinC类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinAbsinBcsinC 理解定理理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使aksinA，bksinB，cksinC；（2）asinAbsinBcsinC等价于asinAbsinB，csinCbsinB，asinAcsinC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a已
6、知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。bsinA；sinBab33例题分析例题分析 例 1在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；0sinAsin32.0根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c74.1(cm).sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2如图，
7、在ABC 中，A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证：证明：如图在ABD 和CAD 中，由正弦定理，得ABDABDCACBDCBDABDCACAC，sinsinsinsin(1800)sinBDABDCACBA两式相除得五巩固深化反馈研究五巩固深化反馈研究1800D1 1 已知ABC已知 A=600，B=300，a=3；求边 b=（）:C3D2（2）已知ABC已知 A=450，B=750，b=8；求边（）A8B4C43-3D83-8（3）正弦定理的内容是（4）已知 a+b=12B=450 A=600则则则 a=-，b=-（5）已知在ABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为-（6）在ABC 中，利用正弦定理证明六，课堂小结（有学生自己总结）七 课外作业：P10.A1,B1a bsin Asin BcsinC