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1、函数函数部分函数部分（一）基础知识、题型、方法（一）基础知识、题型、方法一，一，函数的概念函数的概念1，函数中两个集合 A 和 B 必须是非空的数集，否则不能构成函数2，集合 A 中的元素满足任意性，集合B 中的元素满足唯一性3，只有一对一，多对一的对应关系才是函数关系4，函数具有方向性，即一般情况下，A 到 B 的函数和 B 到 A 的函数不是同一个函数5，函数的三要素为：定义域，值域和对应关系6，集合 A 叫做函数的定义域，函数的值域是集合B 的子集7，函数的表示方法为f(x)，f和x是一个整体，而不是乘法，还可以用g(x),h(x),G(x)等来表示函数二，判断两个函数是否为同一个函数的
2、方法二，判断两个函数是否为同一个函数的方法1 1，判断两个函数是否为同一个函数的方法，判断两个函数是否为同一个函数的方法当且仅当两个函数的定义域和解析表达式都相同时两个函数才是同一个函数2 2，例题分析，例题分析例1，判断下列函数是否为同一个函数x2 x(1)f(x)2x1与g(x)4x 4x1(2)f(x)与g(x)x1x2(3)f(x)|x1|与g(x)x1(x 1)(4)f(x)x22x与g(t)t22t1 x(x 1)2x(x 0)(5)f(x)x|x|与g(x)2(6)f(x)x1 x1与g(x)x21x(x 0)三，求函数的值问题三，求函数的值问题常见的题目类型及方法常见的题目类型
3、及方法(1)(1)先求出函数解析式，然后代入求值先求出函数解析式，然后代入求值例1，已知f(x)2 f(x)x3，则f(1)的值是【变式训练 1】已知f(x)(2)(2)整体法整体法3x1(x 1)，则f f(3)=2x4(x 1)x2111f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()=例2，已知，f(x)，则22341 x【变式训练 2】已知f(x)x 3x1 a，则f(x)=第 1 页 共 9 页3函数(3)(3)赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法例3，已知f(xy)f(x)f(y),若f(2)2,求f(16)的值四，四，
4、函数解析式的求法：函数解析式的求法：方法方法 1 1，配凑法：，配凑法：此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可的表达式即可例 1.已知f(x1)x25x3，求f(x)的表达式；方法方法 2 2，换元法：换元法：此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成 t t，等式的右边，等式的右边用用 t t 表示出来，求出表示出来，求出f(t)的表达式，然后在把的表达式，然后在把 t t 换成换成
5、 x x 即可即可，注意注意 t t 的范围的范围例 1.已知f(x1)x25x3，求f(x)的表达式；方法方法 3 3，待定系数法：，待定系数法：如果已知到函数的类型，即已知如果已知到函数的类型，即已知f(x)是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参数即可用待定系数法求出参数即可例1，已知函数f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x4，求f(x)的表达式；【变式训练 1】（1），已知函数f(x)是一次函数，且f f(x)2x1，求f(x)的表达式；（2），已知函数f(x)是幂函数，且f(2)方法方法 4 4，方程法：方
6、程法：若已知中含有若已知中含有f(x)和和f(x),f(x)和和f()的关系式时，的关系式时，可构造出另一个方程，可构造出另一个方程，然后求出然后求出1，求f(x)的表达式；81xf(x)例1，已知函数f(x)定义域为(1,)，且f(x)2 f()x 1，求f(x)的表达式；第 2 页 共 9 页1x函数【变式训练 2】已知函数f(x)满足f(x)2 f(x)x3,求f(x)的表达式；五，分段函数问题五，分段函数问题1 1，分段函数的定义：分段函数的定义：指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。2 2，两点注意：两点注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的定义
7、域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集3 3，例题分析，例题分析x21,x 1例例 1 1、（1212 江西理江西理 3 3）若函数f(x)，则f(f(10)（）lgx,x 1例例 2 2、（1010 陕西文陕西文 13）已知函数f(x)4 4，反馈练习，反馈练习3x2,x 1,x ax,x 1,2若f(f(0)4a，则实数a 1log3x,x 01 1、（1010 湖北文湖北文 3）已知函数f(x)x，则f(f()（）92,x 0A、4B、11C、4D、44x,x 0,2 2、(11(11 年浙江理年浙江理 1)1)设函数f(x)2若f(a)4,则实数a=（）x,x 0.A、-4
8、 或-2 B、-4 或 2 C、-2 或 4 D、-2 或 22、x2 1,x 1,3 3、（1010 陕西理陕西理 5 5）已知函数f(x)=2，若f(f(0)=4a，则实数a 等于（C）x ax,x 1,A、14B、C、2D、925六，函数的定义域问题六，函数的定义域问题1 1，函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，一定用集合或区间表示函一定用集合或区间表示函数的定义域；数的定义域；2 2，已知函数的解析式（具体函数）已知函数的解析式（具体函数），求定义域问题的类型：，求定义域问题的类型：（1）若解析式是整式，则函数的定
9、义域为全体实数R；（2）若解析式中含有分式，则分母不为零；（3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负；（4）若解析式中含有x，则底数 x 不为零；（5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1；（6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该注意其实际意义；（7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它们的交集；3 3，抽象函数的定义域问题：抽象函数的定义域问题：第 3 页 共 9 页0函数（1）类型一：已知y f(x)定义域为 A，求fg(x)定义域问题【解法】只要解关于x的g(x)A不等式即可（2）类型二：已知y fg(x)定义域为 A，求y f(x)的定义域问题【解法】
10、已知x A，求函数y g(x)的值域即可4,4,例题分析例题分析例 1，求下列函数的定义域（1）f(x)3x2（2）f(x)(x1)0 x x（3）f(x)1x22x3lg4 xx4例例 2 2，已知函数y f(x)定义域是(0,1)，则函数y f(x1)的定义域为_例例 3 3（1212 年山东文年山东文 3 3）函数f(x)A、2,0)14 x2的定义域为（）ln(x 1)12(0,2B、(1,0)(0,2C、2,2D、(1,25 5，反馈练习，反馈练习1 1、（1212 年安徽文年安徽文 2 2）设集合 A=x|3 2x 1 3，集合 B 为函数y lg(x 1)的定义域，则 AB=（）
11、A、（1，2）B、1，2C、1，2）D、1，2 2 2、（20122012 高考江苏高考江苏 5 5）函数f(x)12log6x的定义域为3 3、0606 年湖北理卷）年湖北理卷）设f(x)lgA、(4,0)2 xx2，则f()f()的定义域为（）2 x2x(0,4)B、(4,1)(1,4)C、(2,1)(1,2)D、(4,2)(2,4)24 4、已知函数y f(x 1)定义域为2,3，求函数y f(2x 2)的定义域七，七，求函数的值域问题求函数的值域问题1 1，求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量，求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量x x 取不
12、同值时对应的取不同值时对应的y y 值的集合；值的集合；2 2，函数的值域一定要用区间或集合表示；函数的值域一定要用区间或集合表示；3 3，函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同；函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同；4 4，函数值域的求法函数值域的求法方法方法 1 1，直接法：，直接法：有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数
13、、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；第 4 页 共 9 页函数x例 1，（1010 年山东文第年山东文第 3 3 题）题）函数fx log23 1的值域为（）A.0,B.1,0,C.1,D.例 2，（20102010 重庆文第重庆文第 4 4 题）题）函数y 164x的值域是（）A0,)B.0,4C.0,4)D.(0,4)方法方法 2 2，分离常数法：，分离常数法：axbax2bxc形如形如f(x)(ac 0)或f(x)2(ad 0)的函数，把其化为一个常数和的函数，把其化为一个常数和cxddx ex f另另 一一 个个 函函 数数 的的 和和（差差
14、）的的 形形 式式，即即f(x)ax bm k(k,m是常数)或或cxdcxdax2bxcmf(x)2 k 2(k,m是常数)，即对那个函数进行求取值范围即即对那个函数进行求取值范围即dx ex fdx ex f可；可；例例 3 3，求下列函数的值域，求下列函数的值域1 x2x2（1）f(x)（2）f(x)x11 x2方法方法 3 3，换元法：，换元法：换元法求函数的值域分两种情况：换元法求函数的值域分两种情况：（1 1）代数换元，形如）代数换元，形如f(x)axbcxd，把根号把根号换掉换掉例例 4 4，求下列函数的值域，求下列函数的值域（1）f(x)x 12x（2）f(x)x 1x2(3)
15、f(x)sin2x2cos x3(4)f(x)32x28x6方法方法 4 4，利用函数的单调性求值域：利用函数的单调性求值域：如：如：（1 1）在公共定义域内：简记为：增）在公共定义域内：简记为：增+增增=增增减减+减减=减减增增-减减=增增减减-增增=减。减。（2 2）若）若k 0，则，则kf(x)与与f(x)单调性相同；若单调性相同；若k 0，则，则kf(x)与与f(x)单调性相反；单调性相反；（3 3）函数）函数f(x)与与1单调性相反单调性相反f(x)例例 5 5，求下列函数的值域，求下列函数的值域第 5 页 共 9 页函数2（1 1）f(x)x 11(x )（2）f(x)x 12xx
16、2方法方法 5 5，利用判别式法求值域：，利用判别式法求值域：ax2bxc形如形如y f(x)2通过该通过该(a,e不同为0)把函数转化为关于把函数转化为关于x的二次方程，的二次方程，ex dx f方程有实数根，判别式方程有实数根，判别式 0可求，要检验等号能否成立；可求，要检验等号能否成立；例例 6 6，求下列函数的值域，求下列函数的值域x2 x（1）y 2（2）x x15 5，反馈练习，反馈练习1，求下列函数的值域y 2x2 x12x11x1xf(x)f(x)()()1，x3,2（2）（3）xx3422 11x24x,x0,5)（4）f(x)()3（1）f(x)八，函数的单调性问题八，函数
17、的单调性问题（一）函数单调性的判断方法：（一）函数单调性的判断方法：1 1，方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤：，方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤：（1）取值取值：任取x1，x2 A，且x1 x2；（2）作差作差：f(x1)f(x2)；（3）变形定号变形定号：将f(x1)f(x2)通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号；（4）下结论下结论：若f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，则y f(x)是增函数；若f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，则y f(x)是减函数。2 2，方法二，方法二:图像法：图像法：体现属性集合思想，通过观察函数图象判断；从
18、图像观察：若在区间A上沿 x 轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数y f(x)在区间 A 上是增（减）函数3 3，性质法：，性质法：（1）若f(x)，g(x)均为区间A上的增函数，则f(x)g(x)也为区间A上的增函数；（2）若f(x)，g(x)均为区间A上的减函数，则f(x)g(x)也为区间A上的减函数；第 6 页 共 9 页函数（3）若f(x)为区间A的上的增函数，g(x)为区间A上减函数，则f(x)g(x)为区间A上的增函数；（4）若f(x)为区间A上的减函数，g(x)为区间A上的增函数，则f(x)g(x)为区间A上的减函数；简记为：增简记为：增+增增=增增减减+减减=减减增增-
19、减减=增增减减-增增=减。减。（5）若k 0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k 0，则kf(x)与f(x)单调性相反；（6）函数y f(x)在公共定义域内与y f(x),y 1的单调性相反；f(x)（7）函数y f(x)（f(x)0）在公共定义域内与y f(x)单调性相同；（8）奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反；（9）若函数y f(x)在某区间 A 上是增（减）函数，则y f(x)在区间 A 的任一子区间上也是增（减）的4 4，复合函数单调性的判断方法：，复合函数单调性的判断方法：y fg(x)单调性满足“同增异减”法则，即（二）常见的结论（二）常见的结论函
20、数单调性定义的等价形式：（1）设x1,x2 A，且x1 x2，f(x1)f(x2)0f(x)在区间A上为递增的，x1 x2f(x1)f(x2)0f(x)在区间A上为递减的；x1 x2（2），设x1,x2 A，且x1 x2，f(x1)f(x2)(x1x2)0f(x)在区间A上为为递增的，f(x1)f(x2)(x1x2)0f(x)在区间A上递减的；九，函数的奇偶性问题九，函数的奇偶性问题（一）函数奇偶性的定义：（一）函数奇偶性的定义：1，一般地，如果对于函数y f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么就称函数y f(x)为奇函数；2，一般地，如果对于函数y f(x)定义域内的任意一
21、个x，都有f(x)f(x)，那么就称函数y f(x)为偶函数；（二）函数奇偶性的判断方法：（二）函数奇偶性的判断方法：1，图像法：图像法：如果函数f(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)是奇函数；如果函数f(x)的第 7 页 共 9 页函数图像关于 y 轴对称，则函数f(x)是偶函数；2 2，定义法：定义法：(1)先判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数f(x)是非奇非偶函数；否则做第（2）歩；(2)判断f(x)与f(x)的关系，如果f(x)f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数；1，函数f(x)为偶函数 f(x)f(x)
22、f(x)f(x)0 函数f(x)的图像关于 y 轴对称；2，函数f(x)为奇函数 f(x)f(x)f(x)f(x)0 函数f(x)的图像关于原点对称；3，函数f(x)为偶函数 f(x)f(|x|)；4，若二次函数f(x)ax2bxc(a 0)，则b 0；5，若奇函数的定义域为全体实数R，则f(0)0；6，在公共的定义域上，若f(x)，g(x)均为奇（或偶）函数，则f(x)g(x)仍为奇（或偶）函数，简记为：奇奇=奇、偶偶=偶；7，函数y f(x)g(x)的奇偶性满足：“同偶异奇”的法则，（1）若f(x)，g(x)奇偶性相同，即都是奇函数或都是偶函数时，则y f(x)g(x)为偶函数；（2）若f
23、(x)，g(x)奇偶性相异，即一奇一偶函数，则y f(x)g(x)为奇函数。简记为：同偶异奇同偶异奇8，奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反；（四）例题分析（四）例题分析例例 1 1（1212 重庆文重庆文 1212）若f(x)(x a)(x4)为偶函数，则实数a _例例 2 2、设f(x)ax7bx5，已知f(7)17，则f(7)的值是_例例 3 3、已知函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是（A、1B、2C、3D、4十，函数的图像变换十，函数的图像变换（一）函数图像变换（一）函数图像变换1 1，平移变换，平移变换第 8 页 共
24、9 页（三）常见的结论：（三）常见的结论：）函数k0向左平移|k|个单位 y f(xk)（左加右减）（1 1）左右平移：）左右平移：y f(x)k0向右平移|k|个单位（2 2）上下平移：）上下平移：y 2 2，对称变换，对称变换（1 1）y（2 2）y（3 3）yh0向上平移|h|个单位y f(x)hf(x)h0向上平移|h|个单位关于y轴对称f(x)y f(x）关于x轴对称f(x)yf(x）关于原点对称f(x)yf(x）3 3，伸缩变换，伸缩变换（1 1）（2 2）横坐标不变，纵坐标变为原来A倍y Af(xy f(x)）y f(x)y f(ax）保留y轴右侧图象，将右侧图象作关于y轴对称y
25、 f(|x|）y f(x)保留x轴上方图象，将x轴下方图象作关于x轴对称y f(x)y|f(x)|纵坐标不变，横坐标变为原来1a4 4，翻折变换，翻折变换（1 1）（2 2）（二）例题分析（二）例题分析例例 1 1(11(11 重庆理重庆理 5)5)下列区间中，函数f(x)lg(2x)，在其上为增函数的是（）A、(,1B、1,C、0,)D、1,2)2343例例 2 2、（0909 北京理北京理 3 3）为了得到函数y lgx3的图像，只需把函数y lg x的图像上所有10的点（）A、向左平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度B、向右平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度C、向左平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度D、向右平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度第 9 页 共 9 页