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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 1 页 共 9 页 函数部分（一）基础知识、题型、方法 一，函数的概念 1，函数中两个集合 A 和 B 必须是非空的数集，否则不能构成函数 2，集合 A 中的元素满足任意性，集合 B 中的元素满足唯一性 3，只有一对一，多对一的对应关系才是函数关系 4，函数具有方向性，即一般情况下，A 到 B 的函数和 B 到 A 的函数不是同一个函数 5，函数的三要素为：定义域，值域和对应关系 6，集合 A 叫做函数的定义域，函数的值域是集合 B 的子集 7，函数的表示方法为()f x，fx和是一个整
2、体，而不是乘法，还可以用(),(),()g x h x G x等来表示函数 二，判断两个函数是否为同一个函数的方法 1，判断两个函数是否为同一个函数的方法 当且仅当两个函数的定义域和解析表达式都相同时两个函数才是同一个函数 2，例题分析 例1，判断下列函数是否为同一个函数(1)()21f xx与2()441g xxx(2)2()xxf xx与()1g xx (3)()|1|f xx与1(1)()1(1)xxg xx x(4)2()2f xxx与2()2g ttt (5)()|f xx x与22(0)()(0)xxg xxx(6)()11f xxx与2()1g xx 三，求函数的值问题 常见的题
3、目类型及方法(1)先求出函数解析式，然后代入求值 例1，已知()2()3fxf xx，则(1)f的值是 【变式训练 1】已知31(1)()24(1)xxf xxx，则(3)f f=(2)整体法 例2，已知，22()1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)()()()234fffffff=【变式训练 2】已知3()31f xxxa，则()fx=欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 2 页 共 9 页(3)赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法 例3，已知()()()f xyf xf y,若(2)2f,求(16)
4、f的值 四，函数解析式的求法：此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可 例 1.已知2(1)53f xxx，求()f x的表达式；此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成 t，等式的右边用 t 表示出来，求出()f t的表达式，然后在把 t 换成 x 即可，注意 t 的范围 例 1.已知2(1)53f xxx，求()f x的表达式；如果已知到函数的类型，即已知()f x是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参数即可 例1，已知函数()f x是二次函数，且2(1)(1)244f xf xxx，求()f x
5、的表达式；【变式训练 1】（1），已知函数()f x是一次函数，且()21f f xx，求()f x的表达式；（2），已知函数()f x是幂函数，且1(2)8f，求()f x的表达式；若已知中含有()f x和()fx,()f x和1()fx的关系式时，可构造出另一个方程，然后求出()f x 例1，已知函数()f x定义域为(1,)，且1()2()1f xfxx，求()f x的表达式；方法 1，配凑法：方法 2，换元法：方法 3，待定系数法：方法 4，方程法：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 3 页 共 9 页【变式训练
6、2】已知函数()f x满足()2()3,fxf xx求()f x的表达式；五，分段函数问题 1，分段函数的定义：指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。2，两点注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集 3，例题分析 例 1、（12 江西理 3）若函数1,lg1,1)(2xxxxxf，则(10)ff（）例 2、（10 陕西文 13）已知函数()f x232,1,1,xxxax x若(0)4ffa，则实数a 4，反馈练习 1、（10 湖北文 3）已知函数3log,0()2,0 xx xf xx，则1()9ff（
7、）A、4 B、14 C、4 D、14 2、(11年浙江理 1)设函数2,0,()()4,0.x xf xf axx若,则实数a=（）A、-4 或-2 B、-4 或 2 C、-2 或 4 D、-2 或 2 2、3、（10 陕西理 5）已知函数()f x=221,1,1,xxxax x，若(0)ff=4a，则实数 a 等于（C）A、12 B、45 C、2 D、9 六，函数的定义域问题 1，函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，一定用集合或区间表示函数的定义域；2，已知函数的解析式（具体函数），求定义域问题的类型：（1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数 R；（2）若解析式中含
8、有分式，则分母不为零；（3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负；（4）若解析式中含有0 x，则底数 x 不为零；（5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于 1；（6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该注意其实际意义；（7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它们的交集；3，抽象函数的定义域问题：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 4 页 共 9 页（1）类型一：已知()yf x定义域为 A，求()f g x定义域问题 【解法】只要解关于x的()g xA不等式即可（2）类型二：已知()yf g
9、 x定义域为 A，求()yf x的定义域问题 【解法】已知xA，求函数()yg x的值域即可 例 1，求下列函数的定义域 （1）()32f xx（2）0(1)()xf xxx（3）214()lg423xf xxxx 例 2，已知函数()yf x定义域是(0,1)，则函数1(1)2yfx的定义域为_ 例 3（12 年山东文 3）函数21()4ln(1)f xxx的定义域为（）A、2,0)(0,2 B、(1,0)(0,2 C、2,2 D、(1,2 1、（12 年安徽文 2）设集合 A=3123|xx，集合 B 为函数)1lg(xy的定义域，则 AB=（）A、（1，2）B、1，2 C、1，2）D、1
10、，2 2、（2012高考江苏 5）函数xxf6log21)(的定义域为 3、06 年湖北理卷）设2()lg2xf xx，则2()()2xffx的定义域为（）A、(4,0)(0,4)B、(4,1)(1,4)C、(2,1)(1,2)D、(4,2)(2,4)4、已知函数(1)yf x定义域为 2,3，求函数2(22)yfx的定义域 七，求函数的值域问题 1，求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量 x 取不同值时对应的y 值的集合；2，函数的值域一定要用区间或集合表示；3，函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同；4，函数值域的求法 有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域
11、结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；4,例题分析 5，反馈练习 方法 1，直接法：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 5 页 共 9 页 例 1，（10 年山东文第 3 题）函数 2log31xfx 的值域为（）A.0,B.0,C.1,D.1,例 2，（2010重庆文第4 题）函数164xy 的值域是（）A 0,)B.0,4 C.0,4)D.(0,4)形如22()(0)()(0)axbaxbxcf xacf xadc
12、xddxexf或的函数，把其化为一个常数和另 一 个 函 数 的 和（差）的 形 式，即()(,)axbmf xkk mcxdcxd是常数或222()(,)axbxcmf xkk mdxexfdxexf是常数，即对那个函数进行求取值范围即可；例 3，求下列函数的值域 （1）2()1xf xx（2）221()1xf xx 换元法求函数的值域分两种情况：（1）代数换元，形如()f xaxbcxd，把根号换掉 例 4，求下列函数的值域 （1）()1 2f xxx（2）2()1f xxx (3)2()sin2cos3f xxx(4)2286()3xxf x 如：（1）在公共定义域内：简记为：增+增=增
13、 减+减=减 增-减=增 减-增=减。（2）若0k，则)(xkf与)(xf单调性相同；若0k，则)(xkf与)(xf单调性相反；（3）函数()f x与1()f x单调性相反 例 5，求下列函数的值域 方法 2，分离常数法：方法 3，换元法：方法 4，利用函数的单调性求值域：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 6 页 共 9 页（1）211()()2f xxxx（2）()1 2f xxx 形如22()(,0)axbxcyf xa eexdxf不同为把函数转化为关于x的二次方程，通过该方程有实数根，判别式0 可求，要检验等号能
14、否成立；例 6，求下列函数的值域（1）221xxyxx（2）22yxx 5，反馈练习 1，求下列函数的值域（1）1()21xf x（2）21()3xf xx （3）11()()()142xxf x，3,2x （4）241()(),0,5)3xxf xx 八，函数的单调性问题（一）函数单调性的判断方法：1，方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：任取1x，2xA，且21xx；（2）作差：)()(21xfxf；（3）变形定号：将)()(21xfxf通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号；（4）下结论：若0)()(21xfxf，即)()(21xfxf，则)(xfy 是增
15、函数；若0)()(21xfxf，即)()(21xfxf，则)(xfy 是减函数。2，方法二:图像法：体现属性集合思想，通过观察函数图象判断；从图像观察：若在区间 A上沿 x轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数)(xfy 在区间 A上是增（减）函数 3，性质法：（1）若)(xf，)(xg均为区间A上的增函数，则)()(xgxf也为区间A上的增函数；（2）若)(xf，)(xg均为区间A上的减函数，则)()(xgxf也为区间A上的减函数；方法 5，利用判别式法求值域：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 7 页 共 9 页
16、（3）若)(xf为区间A的上的增函数，)(xg为区间A上减函数，则)()(xgxf为区间A上的增函数；（4）若)(xf为区间A上的减函数，)(xg为区间A上的增函数，则)()(xgxf为区间A上的减函数；简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。（5）若0k，则)(xkf与)(xf单调性相同；若0k，则)(xkf与)(xf单调性相反；（6）函数)(xfy 在公共定义域内与1(),()yf xyf x 的单调性相反；（7）函数)(xfy（()0f x）在公共定义域内与()yf x单调性相同；（8）奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反；（9）若函数)(xfy
17、 在某区间 A上是增（减）函数，则)(xfy 在区间 A的任一子区间上也是增（减）的 4，复合函数单调性的判断方法：()yf g x单调性满足“同增异减”法则，即（二）常见的结论 函数单调性定义的等价形式：（1）设Axx21,，且21xx，0)()(2121xxxfxf)(xf在区间A上为递增的，0)()(2121xxxfxf)(xf在区间A上为递减的；（2），设Axx21,，且21xx，1212()()()0f xf xxx)(xf在区间A上为为递增的，1212()()()0f xf xxx)(xf在区间A上递减的；九，函数的奇偶性问题（一）函数奇偶性的定义：1，一般地，如果对于函数)(xf
18、y 定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf，那么就称函数)(xfy 为奇函数；2，一般地，如果对于函数)(xfy 定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf，那么就称函数)(xfy 为偶函数；（二）函数奇偶性的判断方法：1，图像法：如果函数()f x的图像关于原点对称，则函数()f x是奇函数；如果函数()f x的欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 8 页 共 9 页 图像关于 y 轴对称，则函数()f x是偶函数；2，定义法：(1)先判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数()f x
19、是非奇非偶函数；否则做第（2）歩；(2)判断()fx与()f x的关系，如果()()fxf x，则函数()f x为偶函数；如果()()fxf x，则函数()f x为奇函数；（三）常见的结论：1，函数()f x为偶函数()()()()0fxf xfxf x函数()f x的图像关于 y 轴对称；2，函数()f x为奇函数()()()()0fxf xfxf x 函数()f x的图像关于原点对称；3，函数()f x为偶函数()(|)f xfx；4，若二次函数2()(0)f xaxbxc a，则0b；5，若奇函数的定义域为全体实数 R，则(0)0f；6，在公共的定义域上，若)(xf，)(xg均为奇（或偶
20、）函数，则)()(xgxf仍为奇（或偶）函数，简记为：奇奇=奇、偶偶=偶；7，函数()()yf xg x的奇偶性满足：“同偶异奇”的法则，（1）若)(xf，)(xg奇偶性相同，即都是奇函数或都是偶函数时，则()()yf xg x为偶函数；（2）若)(xf，)(xg奇偶性相异，即一奇一偶函数，则()()yf xg x为奇函数。简记为：同偶异奇 8，奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反；（四）例题分析 例 1（12 重庆文 12）若()()(4)f xxa x为偶函数，则实数a _ 例 2、设7()5f xaxbx，已知(7)17f ，则(7)f的值是_ 例 3、已知
21、函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A、1 B、2 C、3 D、4 十，函数的图像变换 （一）函数图像变换 1，平移变换 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！函数 第 9 页 共 9 页（1）左右平移：00()()kkyf xyf xk 向左平移|k|个单位向右平移|k|个单位（左加右减）（2）上下平移：00()()hhyf xyf xh 向上平移|h|个单位向上平移|h|个单位 2，对称变换 （1）()(yf xyfx 关于y 轴对称）（2）()(yf xyf x 关于x 轴对称）（3）()(
22、yf xyfx 关于原点对称）3，伸缩变换（1）()(yf xyAf x横坐标不变，纵坐标变为原来 A 倍）（2）1()(ayf xyf ax 纵坐标不变，横坐标变为原来）4，翻折变换（1）()(|yf xyfx保留y 轴右侧图象，将右侧图象作关于 y 轴对称）（2）()|()|yf xyf x保留x 轴上方图象，将x 轴下方图象作关于x 轴对称（二）例题分析 例 1(11重庆理 5)下列区间中，函数()lg(2)f xx，在其上为增函数的是（）A、(,1 B、41,3 C、3 0,)2 D、1,2)例 2、（09 北京理 3）为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点（）A、向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B、向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C、向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D、向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度