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1、专题三 函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路和函数有必然联系的是方程，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量这就是方程的思想，方程思
2、想是动中求静，研究运动中的等量关系就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的中学数学问题中的很多条件经常是互相联系、互相制约，可表现为相应变量的互相联系、互相制约，这种变量的互相联系、互相制约常可用变量间的等量关系式或不等量关系式表示。这时，若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等量关系式转化成函数解析式，这时妙用函数的有关性质（值域、与坐标轴交点情形等）就可解决
3、问题；若将等量关系式看成关于某个未知量的方程，则利用解方程或考虑根的情形可求得变量；若可将变量间的不等量关系式看成关于某个未知量的不等式 ，则解这个不等式可求得这个变量的取值范围。因此我们在数学的教学中应注重培养下列两种意识。一、在解题中形成方程意识将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中的等量关系，列出方程，通过解方程或对方程进行研究，以求得问题的解决。例：设点P内分有向线段MN，且,求点M分有向线段PN的比。分析：将转移成关于MP=PN的方程，设点M分有向线段PN的比为k,则PM=kMN,PM=k(MP+PN)(*)将 MP=PN带入（*）即可得k的
4、值。同样也可求N点分有向线段PM的比。例：设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0）、（0，b）两点。已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为： （ ） A、2 B、 C、 D、该等量关系转换成等于a、b、c的关系等式，即可转换得关于未知量e的方程，解方程即得e的取值。二、在解题中形成函数意识在解题中，要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件，构造出恰当的函数解析式、妙用函数的性质。例：对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数yx2(p4)x3p,于是问题转化为：当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围解决这
5、个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y(x1)p(x24x3)，则y是p的一次函数，就非常简单即令 f(p)(x1)p(x24x3)函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(,1)(3,)本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。巩固练习（一）一、选择题1、不等式在区间内恒成立，则a的取值范围是 （ ）A B C D 2、方程lg
6、xx3的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)3、如果函数f(x)xbxc对于任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1)4、已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x)a (a是常数) _。A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论5、已知sincos，(，)，则tan的值是_。A. B. C. D. 6、已知函数f(x)|21|，abf(c)f(b)，则_。A. a0,b0 B. a
7、0,c0 C. 22 D. 220，S0，S13a78d13(122d)78d15652d0。 解得：d3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因为d0，故n(5)最小时，S最大。由d3得6(5)6.5，故正整数n6时n(5)最小，所以S最大。18、【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一点M，作MDAC于D，MHAB于H，设MHx，则MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即当
8、x时，MD取最小值为两异面直线的距离。19、【分析】先将方程化为含字母的一元二次方程，然后利用方程有惟一解的条件及解在0，3上的限制，将次问题解决解：原方程可化为，令，原方程有惟一解，即函数在所给的定义域内图象与x轴只有一个交点=0或者，得变式1：变式2：20、解：（1）当时，由题意知得，所以的两个不动点为（2）、恒有两个相异的不动点 即恒有两个相异的实数根得 （）恒成立 ，所以解得故当，恒有两个相异的不动点时（3）、由题意知A、B在直线上，设，点A、B关于直线对称，设AB的中点为是方程的两根的两根，于是，由点在直线上得，即，当且仅当，即时取等号，故，得最小值为21、（1）、（2）、N在直线上
9、（3）、相切巩固练习（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设直线 axbyc0的倾斜角为，且sincos0，则a，b满足ABCD2设P是60的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A、B为垂足，PA4，PB2，则AB的长为 A2 B2 C2 D43 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是 A4005 B4006 C4007 D40084每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有A2种 B3种 C4种 D5种5设函数，区间Ma，b(ag(a)g(b)成立的是Aab0Bab0Dab010ABC中，a、b、c分别为A、B、C
10、的对边如果a、b、c成等差数列B30，ABC的面积为，那么bAB1CD2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在横线上11两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4若ab，则双曲线的离心率e等于 12若的展开式中常数项为20，则自然数n 13x0是x的方程axlogax(0a1)的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是 14已知函数互为反函数，又的图象关于直线对称，若_ _;_ 15已知矩形的边平面现有以下五个数据： 当在边上存在点，使时，则可以取_（填上一个正确的数据序号即可）16、已知关于的方程有实数解，则实数的范围为_。三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字
11、说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知集合Ax|x2axa2190，集合Bx|log2(x25x8)1，集合Cx|m1，m0，|m|1满足AB， AC，求实数a的值18（本小题满分12分）有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11 （1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式; （2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据19（本小题满分14分）某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定
12、价为每件70元，年销售量为118万件第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件 （1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域； （2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？ （3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？20（本小题满分14分）已知二次函数f(x)ax2bx（a，b为常数，且a0）满足条件：f(x1)f(3x)且方程f(x)2x有等根 （1
13、）求f(x)的解析式； （2）是否存在实数m，n（mn），使f(x)的定义域和值域分别为m，n和4m，4n，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由21（本小题满分14分）设无穷等差数列an的前n项和为Sn （1）若首项，公差，求满足的正整数k； （2）求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案DCBAABCBAB二、填空题（每小题4分，共20分）(11) (12) 3； (13) 10或10(14) ；(15) 或 16、三、解答题（共80分）17解：由条件即可得B2，3，C4，2，由AB，AC，可知3A，
14、2A将x3代入集合A的条件得：a23a100 a2或a5当a2时，Ax|x22x1505，3，符合已知条件当a5时，Ax|x25x602，3，不符合条件“AC”，故舍去综上得：a218解：（1） 依条件得：由得：，又由得：（2）由于是正整数，故 ，故当10时， ， 此时，19 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（118p）万件，年销售收入为（118p）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为（118p）p%（万元） 故所求函数为:y（11810p）p 118p0及p0得定义域为0p （2）由y14，得（11810p）p14化简得p212p200，即（p2）（p10）0，解得2p10故当比
15、率在2%，10%内时，商场收取的管理费将不少于14万元 （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为g（p）（118p）（2p10） g（p）（118p）700（10）为减函数，g（p）maxg（2）700（万元）故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元 20解：(1)方程ax2bx2x0有等根，(b2)20，得b2由f(x1)f(3x)知此函数图像的对称轴方程为x1，得a1，故f(x)x22x(2)f(x)(x1)211，4n1，即n而抛物线yx22x的对称轴为x1，当n时，f(x)在m，n上为增函数若满足题设条件的m，n存在，则即又mnm2，n0，这时，定义域为2，0，值域为8，0由以上知满足条件的m，n存在，m2，n021 解：（1）当时， 由，即 又（2）设数列an的公差为d，则在中分别取k1，2，得（1）（2）由（1）得 当若成立若 故所得数列不符合题意当若若综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an0，即0，0，0，；an : an1，即1，1，1，；an : an2n1，即1，3，5，第 12 页 共 12 页