公因数公倍数应用题.pdf

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1、一、公约数、公倍数问题一、公约数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公约数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。解答公约数或公倍数问题的关键是：从约数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公约数问题。例如：1、有一个长方体的木头，长3.25 米，宽1.75 米，厚0.75 米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即：（解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数

2、的最大公约数。即：（325325、175175、7575）=25=25（厘米）（厘米）因为 32525=1317525=77525=3所以 1373=273（个）答：能分为小立方体 273 个，小立方体的每条棱长为25 厘米。2、有一个两位数，除 50 余 2，除 63 余 3，除 73 余 1。求这个两位数是 多少？解：这个两位数除解：这个两位数除 5050 余余 2 2，则用他除，则用他除 4848（52522 2）恰好整除。也就是说，这个两位数是）恰好整除。也就是说，这个两位数是 4848 的约数。的约数。同理，这个两位数也是同理，这个两位数也是 6060、7272 的约数。所以，这个两

3、位数只可能是的约数。所以，这个两位数只可能是 4848、6060、7272 的公约数的公约数 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212，而满足条件的只有公约数，而满足条件的只有公约数 1212，即，即（48、60、72）=12。答：这个两位数是 12。几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与公倍数问题。解题的关键是先求出几个数的最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。三、考点分析三、考点分析最大公因数和最小

4、公倍数的性质。（1 1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。（2 2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3 3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。四、典型例题四、典型例题例例 1 1、有三根铁丝，一根长 18 米，一根长 24 米，一根长 30 米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：分析与解：截成的小段一定是截成的小段一定是

5、 1818、2424、3030 的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。段。解答：解答：（18、24、30）6（18+24+30）612 段答：答：每段最长可以有 6 米，一共可以截成 12 段。例例 2 2、一张长方形纸，长60 厘米，宽36 厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的

6、边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是没有剩余，这样正方形边长一定是 6060 和和 3636 的最大公因数。的最大公因数。解答：解答：（36、60）12（6012）（3612）15 个答：答：正方形的边长可以是12 厘米，能截 15 个正方形。例例 3 3、用 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：分析与解：要把要把 9696 朵红玫瑰花和朵红玫瑰花和 7272 朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个朵白玫瑰花做成花束，每束花里

7、的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是数一定是 9696 和和 7272 的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是9696 和和 7272 的最大公因的最大公因数。数。解答：解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96244 朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72243 朵（4）每个花束里最少有几朵花 4+37 朵例例 4 4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5 分钟发车一次，第二路车每隔10 分钟发车一次，第三路车每隔 6 分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少

8、过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是分析与解：这个时间一定是5 5 的倍数、的倍数、1010 的倍数、的倍数、6 6 的倍数，也就是说是的倍数，也就是说是5 5、1010 和和 6 6 的公倍数，“最的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是少多少时间”，那么，一定是 5 5、1010、6 6 的最小公倍数。的最小公倍数。解答：解答：5、10、630答：答：最少过 30 分钟再同时发车。例例 5 5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3 个；第二道工序每个工人每小时可完成 12 个；第三道工序每个工人每小时可完成5 个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至

9、少安排几个工人最合理？分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。小时完成零件个数的最小公倍数。解答：解答：（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？3、12、560（2）第一道工序应安排多少人60320 人（3）第二道工序应安排多少人60125 人（

10、4）第三道工序应安排多少人60512 人例例 6 6、有一批机器零件。每 12 个放一盒，就多出11 个；每18 个放一盒，就少1 个；每 15 个放一盒，就有 7 盒各多 2 个。这些零件总数在 300 至 400 之间。这批零件共有多少个？分析与解：每分析与解：每 1212 个放一盒，就多出个放一盒，就多出 1111 个，就是说，这批零件的个数被个，就是说，这批零件的个数被 1212 除少除少 1 1 个；每个；每 1818 个放一个放一盒，盒，就少就少 1 1 个，个，就是说，就是说，这批零件的个数被这批零件的个数被 1818 除少除少 1 1；每每 1515 个放一盒，个放一盒，就有就

11、有 7 7 盒各多盒各多 2 2 个，个，多了多了 27271414 个，应是少个，应是少 1 1 个。也就是说，这批零件的个数被个。也就是说，这批零件的个数被 1515 除也少除也少 1 1 个。个。解答：解答：如果这批零件的个数增加1，恰好是 12、18 和 15 的公倍数。1、刚好能 12 个、18 个或 15 个放一盒的零件最少是多少个12、18、151802、在 300 至 400 之间的 180 的倍数是多少18023603、这批零件共有多少个 360-1359 个例例 7 7、公路上一排电线杆，共 25 根。每相邻两根间的距离原来都是45 米，现在要改成 60 米，可以有几根不需

12、要移动？分析与解：不需要移动的电线杆，一定既是分析与解：不需要移动的电线杆，一定既是 4545 的倍数又是的倍数又是 6060 的倍数。要先求的倍数。要先求 4545 和和 6060 的最小公倍的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。解答：解答：1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？45、60180（米）2、公路全长多少米？45（25-1）1080（米）3、可以有几根不需要移动？1080180+17（根）例例 8 8、两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？分析与解分析与解：根

13、据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与 252 的乘积，再用积去除以 28 即可。425228=100828=36【模拟试题】【模拟试题】1、24 的因数共有多少个？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？2、一个长方形的面积是323 平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是 8，这两个数各是多少？5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是 6，已知两个数中的一个数是18，求另

14、一个数。6、有一种长 51 厘米，宽 39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？7、有三根铁丝长度分别为120 厘米、90 厘米、150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？10、有 A、B 两个两位数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，则 A、B 两个自然数的和是多少？【试题答案】【试题答案】1、24 的因数共有多少个

15、？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？答：答：2424 的因数共有的因数共有 8 8 个，个，3636 的因数共有的因数共有 9 9 个，个，2424 和和 3636 的公因数是的公因数是 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212。其中最大。其中最大的一个是的一个是 1212。2、一个长方形的面积是323 平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）答：长方形的长是答：长方形的长是 1919 厘米，宽是厘米，宽是 1717 厘米。厘米。3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。答：它们的最小公倍数是

16、答：它们的最小公倍数是 3535。4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是 8，这两个数各是多少？答：这两个数分别是答：这两个数分别是 2424 和和 4040。5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是 6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。答：另一个数是答：另一个数是 4242。6、有一种长 51 厘米，宽 39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？答：至少需要答：至少需要 221221 块水泥板。块水泥板。7、有三根铁丝长度分别为120 厘米、90 厘米、150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多

17、少段？答：每段最长答：每段最长 3030 厘米，一共可以截成厘米，一共可以截成 1212 段。段。8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。答：这两个数是答：这两个数是 4242 和和 6 6 或或 1818 和和 3030。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？答：这些碗最少有答：这些碗最少有 6060 个。个。10、有 A、B 两个两位数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，则 A、B 两个自然数的和是多少？答：答：A A、B B 两个自然数的和是两个自然数的和是 4848

18、。有 24 个苹果，32 个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？数学兴趣小组有 24 个男同学，20 个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？有 38 支铅笔和 41 本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出 3 支，练习本还缺 1 本。得奖的好少年有多少人？有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？阜沙市场是 20 路和 21 路汽车的起点站。20 路汽车每 3 分钟发车一次，21 路汽车每 5 分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过

19、多少分钟又同时发车？中心小学五年级学生，分为6 人一组，8 人一组或 9 人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？五年级学生参加植树活动，人数在3050 之间。如果分成 3 人一组，4 人一组，6 人一组或者 8 人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？有一个数，用 4、5、6 去除，都能整除，这个数最小是多少？一些小朋友做游戏，第一次分组每组4 人余下 2 人，第二次每组5 人也余下 2 人，第三次分组每组6人还是余下 2 人。问最少多少名小朋友做游戏？一间浴室长 1.8 米，宽 1.44 米。现在要给浴室地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米

20、？有一袋水果糖，8 块 8 块数多 5 块;6 块 6 块数多 3 块；4 块 4 块数多 1 块。这代水果糖最少有多少块？一个数被 3 除余 1，被 6 除余 4，被 8 除余 6。这个数最小是几？王老师买回一些练习本，如果平均分给 5 个班则多出 3 本，如果平均分给 6 个班则多出 4 本。已知这些练习本在 80100 本之间，你知道王老师买了多少本练习本？工人师傅买了一块长方体木块，体积是693 立方分米，只知道它的长、宽、高分别相差2 分米，你能求出长、宽、高各是多少分米吗？最大公因数相关应用题最大公因数相关应用题把长 120 厘米，宽 80 厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且

21、没有剩余，可以裁成多少块？把一张长 72 厘米，宽60 厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？把长 132 厘米，宽 60 厘米，厚36 厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块用某数去除 218，170，290 都余 2，问某数最大是多少？用 96 朵红花和 72 朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？用 24 朵红花.36 朵黄花和 48 朵紫花作成花束，要使花束里有同样多的花。这些花最多能做多少花束？现在有香蕉 42 千克，苹果112 千克，桔子70 千克，平均分给

22、幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？春节看望干部,买 320个苹果,240个橘子,200个梨,把这些果品全部分成同同样的礼物,最多可分多少份?在每份礼物中,苹果 橘子 梨各多少?有三根铁丝，一根长 54 米，一根长 72 米，一根长 36 米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？已知 A 和 B 的最大公约数是 31，且 AB5766，求 A 和 B。最小公倍数相关应用题最小公倍数相关应用题一盒钢笔可以平均分给 2、3、4、5、6 个同学，这盒钢笔最小有多少枝？甲每 5 天进城一次，乙每9 天进城一次

23、，丙每 12 天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要多少天？有两路公共汽车，3 路和 5 路。3 路每隔 6 分钟发一次车，5 路每隔 8 分钟发一次车。3 路和 5 路的起点站都在一起，它们刚才同时发的车。这两路公共汽车同时发车以后，至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？三位采购员定期去某商店，小王每隔9 天去一次，大刘每隔11 天去一次，老杨每隔7 天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几?有一筐苹果，无论是平均分给8 个人，还是平均分给 18 人，结果都剩下 3 个，这筐苹果至少有多少个？有一个自然数，被 6 除余 1，被 5 除余 1，被 4 除余 1，这个自

24、然数最小是几？从小明家到学校原来每隔50 米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55 根电线杆，现在改成每隔60 米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？学校操场长 96 米，从一端起到另一端每隔4 米插有一面小红旗。现在要改成每隔6 米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？每筐梨，按每份两个梨分多 1 个，每份 3 个梨分多 2 个，每份 5 个梨分 4 个，则筐里至少有多少个梨？两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为 4，且小数不能整除大数，求这两个数。一个数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余 5，此数

25、最小是几？最大公因数与最小公倍数应用题最大公因数与最小公倍数应用题1、有一堆西瓜与一堆木瓜，分别为24 个与 36 个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆？2、甲、乙两队学生，甲队有121 人，乙队有143 人，各分成若干组，各组人数要相等，则每组最多有几人？这时候甲队可分成多少组？乙队可分成多少组？3、今有梨 320 个、糖果 240 个、饼干 200 个，将这些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多，则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？4、把一张长30 厘米，宽24 厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余

26、，裁成的正方形的边长最大是几厘米？一共可以裁成多少个?5、有两根同样长的铁丝，第一根长15 厘米，第二根长18 厘米，要把它们截成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少？一共能截成多少段？1、利用每一小块长6 公分，宽 4 公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的边长可能是多少？2、美美客运有A、B 两种车，A 车每 45 分发车一次，B 车每 1 小时发车一次，两车同时由上午6 点发车，下一次同时发车是什么时候？3、王伯伯有三个小孩，老大3 天回家一次，老二 4 天回家一次，老三 6 天回家一次，这次 10 月 1日一起回家，则下一次是几月几日一起回家？4、有

27、一些糖果，分给 8 个人或分给 10 个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？例题 1 一张长方形纸，长 96 厘米，宽 60 厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是几厘米？每个正方形的面积是多少？可以裁多少个这样的正方形？随堂练习：1.有一块长方形纸板，长24 厘米，宽15 厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长是最长是多少？可以裁成多少块？2.王师傅找到一块长 72 厘米，宽 60 厘米，高 48 厘米的长方体木料，王师傅把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积最大，不能有剩余，算一算，可以锯成多少块？3.五

28、（1）班给每个同学买了 1 个练习本，共花去 9.30 元钱，已知每个练习本的价钱比学生人数少，五（1）班共有多少个学生？例题 2 张林、李强都爱在图书馆看书，张林每4 天去一次，李强每 6 天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？随堂练习：1.有一包奶糖，无论分给6 个小朋友，8 个小朋友，还是10 个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？2.某公共汽车站有三条不同线路，1 路车每隔 6 分钟发一辆，2 路车每隔 10 分钟发一辆，3 路车每隔12 分钟发一辆，三路车在早上8 点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？3.一个班不足 50 人，上体育

29、课站队时，无论每行站16 人，还是每行站 24 人，都正好是整行，这个班有多少人？例题 3 用一个数去除 52,余 4,再用这个数去除 40,也余 4,这个数最大是多少？随堂练习：1.把 19 支钢笔和 23 个软面抄平均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3 支，软面抄也多出了 3 三，得奖的学生最多有几人？2.一个自然数，去除 22 少 2,去除 34 也少 2,这个自然数最大是几？3.一个数除 73 余 1,除 98 余 2,除 147 余 3,这个数最大应是多少？例题 4有一批作业本，无论是平均分给10 个人，还是12 个人，都剩余4 本，这批作业本至少有多少本？随堂练习：1.有一箱卡通书

30、，把它平均分给6 个小朋友，多出 1 本；平均分给 8 个小朋友，也多出 1本；平均分给 9 个小朋友，还是多 1 本，这箱卡通书最少有多少本？2.五年级同学参加社区服务活动，人数在40 和 50 之间，如果分成 3 人一组，4 人一组或 6 人一组都正好缺一人，五年级参加活动的一共有多少人？4.有一篮鸡蛋，两个两个去数，余1 个；三个三个去数，余2 个；四个四个去数，余3 个，这篮鸡蛋至少有多少个？课堂作业：1.有两根钢管，一根长25 米，一根长20 米，把它们锯成同样长的小段，使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？2.李老师要把 84 本语文课本，70 本数学课本，56 本自然课本

31、，平均分为若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可以分成多少堆？每堆中有语文、数学、自然课本各多少本？3 缝纫店有一块长 40 分米，宽25 分米的布料，现在顾客要求把它裁成正方形小布块（不能有剩余），块数又要求最少，那么裁成的正方形不布块面积有多大？4.一盒铅笔，可以平均分给4,5,6 个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有多少只？5.某学校暑假期间安排王老师生4 天值一次班，李老师每6 天值一次班，张老师每8 天值一次班，如果 7 月 1 日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？6.开学初，学校准备了96 个黑板擦，72 把扫帚，48 个纸篓，平均分给各个班。每一

32、种物品的个数都对应相等，最多可分给多少个班？每种物品各几个？7.从运动场的一端到另一端全长120 米，从一端起到另一端每隔4 米插一面小红旗，现在要改成每隔6 米插一面小红旗，最多有多少面小红旗不必移动？8.某市有一个三角形公园，三边长分别为498 米，612 米，528 米。计划在公园周围每隔若干米植一棵樟树，并且每两棵之间的距离最远，每两棵树相隔多远？课后作业：1.爸爸拿了 216 元钱去买一种书，正好把钱用完，如果每本书降价1 元钱，则可以多买 3本，钱也正好用完，爸爸一共买了多少本书？2.有一堆苹果，每 8 千克一份，9 千克一份，或 10 千克一份，都会多出 3 千克，这堆苹果至少有多少千克？4.五（1）班和五（2）班两个班的同学去野炊，吃饭时，他们3 人一个菜碗，4 人一个汤碗，他们共用了 28 个碗，这两个班参加野炊的同学共有多少人？5.6.学校合唱队排练时，如果7 人一排就差 2 人，8 人一排也差 2 人，合唱队至少有多少人？5.甲、乙、丙三人早晨在体育场跑步，甲跑完一圈要3 分钟，乙跑完一圈要7 分钟，丙跑完一圈要 6分钟，三人同时从起点出发，经过多长时间三人再次在起点处相遇？6.把 37 支钢笔和 38 本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2 本，最多有几个学习成绩优秀的同学？