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1、数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳第四课时第四课时课课题题复数的乘法教学目标教学目标一、教学知识点一、教学知识点1.理解并掌握复数乘法的运算法则.2.理解并掌握虚数单位 i 的运算律，in是周期出现的.3.掌握 1 的立方虚根 的运算性质：2=,3=1,2+1=0.4.理解并掌握复数的模与共轭的关系：z2=zz=z2.二、能力训练要求二、能力训练要求1.能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.2.会运用 in和 1 的立方虚根 的运算性质解题.3.灵活运用复数的模与共轭的关系式z2=z2=zz解题，并深化它的应用.三、德育渗透目标三、德育渗透目标1.培养学生分析问题与解决问题的能力，提高
2、学生的运算能力，培养学生实际动手操作（运算、画图）能力.2.培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法，培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.3.培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.教学重点教学重点复数的代数形式、乘法运算法则、in的周期性变化、1 的立方虚根 的性质是本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁.教学难点教学难点复数的代数形式的乘法运算法则的规定、in的周期性规律、的性质是教学的难点.教学方法教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的
3、教学方法.在学生掌握两个多项式的乘法运算法则，“a+2b”问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜想，让学生主动建构复数的代数形式的乘法运算法则.继续让学生建构zz=z2=z2和复数乘法运算所满足的交换律、结合律和分配律.教具准备教具准备实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）.教学过程教学过程.课题导入课题导入我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同学们都说可以把加法运算看作是关于 i 的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加”修改为“乘”，这样既使学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换
4、后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极性，为积极主动建构新知识而作好准备).数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳.讲授新课讲授新课(一)知识建构师师初中学习了多项式乘以多项式，你们能把(a+b2)(c+d2)化简吗（a、b、c、d 是有理数）？积还是无理数吗？生生按多项式乘法运算法则展开即可.(a+b2)(c+d2)=ac+ad2+bc2+bd22=(ac+2bd)+(ad+bc)a、b、c、dQ,ac,2bd,ad,bc 都是有理数.ac+2bdQ,ad+bcQ.而2是无理数，（a+b2）(c+d2)是无理数.2.师师若将“2”换为“i”，其中 i 是虚数单位，能化简吗?
5、（a、b、c、d 都是实数）生生可以.(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(i2=-1,才能合并)a、b、c、dR，ac-bdR,ad+bcR.(ac-bd)+(ad+bc)i 是复数.师师这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：规定复数的乘法按照以下的法则 进 行：设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d R)是 任 意 两 个 复 数，那 么 它 们 的 积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两
6、个复数的积仍然是一个复数.师师实数的乘法满足哪些运算律？复数中能类比吗？生生实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即 z1、z2、z3C,有(1)z1z2=z2z1,(2)(z1z2)z3=z1（z2z3）,(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.师师完全正确，你们能证明吗？请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a2、a3、b1、b2、b3R).生甲生甲z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(
7、a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i,又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1,z1z2=z2z1.生乙生乙(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可证 z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2
8、a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,(z1z2)z3=z1(z2z3).数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳生丙生丙z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b
9、2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(学生板演时，教师在教室内巡回指导，与学生共同研究)师师同学们，这三位同学证明的是否正确？生生（众生齐声回答）正确！师师若复数 z=a+bi(a、bR),求 zz.生生z=a-bi,zz=(a+bi)(a-bi)=a2-b(-b)+a(-b)+bai=a2+b2+0i=a2+b2.zz=a2+b2.师师由 zz=a2+b
10、2,你们能想到什么？生生 a aa2+b2是 z 的模的平方，可以得到zz=z2.生生 b bz2=z2.生生 c c不对.z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,而z2=a2+b2,z2z2.生生 d dz的模是ab,zz=a2+b2,也是z的模的平方，即 zz=z2=z2.生生 e e对于实数a、b,a2+b2在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有a2+b2=(a+bi)(a-bi)，其中 i 是虚数单位.生生 f f两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.师师同学们联想的这些内容都是对的.一般地，两个互为共轭复数z、z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 zz=
11、z2=z2.22通常也可以写成z=z=zz.这个公式很重要，在复数的计算、证明时经常用到，所以我们要熟练地掌握.对于上述命题的逆命题是否成立呢？生生 g g成立.因为 a2+b2=(a+bi)(a-bi)=zz.生生 h h不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例如，z1=i,z2=-2i,z1z2=i(-2i)=-2i2=-2(-1)=20.但 z1和 z2不是共轭复数.师师由于复数乘法运算满足交换律与结合律，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？生生 i i实数集中，有 aman=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm
12、.在复数集 C 中，对任何 z、z1、z2数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳C,都有 zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)m=z1mz2m.生生 j j上述推广中幂指数 m、n 必须满足 m、nN*.师师这三条的证明思想是什么？生生 k k根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证.生生 i i也可以使用数学归纳法进行证明.师师这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略.我们知道 i1=i,i2=-1,请问 i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12分别为什么？生生 m m分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1.师师从这些数中你能总结
13、出什么规律？生生n n 数列 in 是周期数列，最小周期是4,即如果nN*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.师师如果 n 是整数 0 时，是否成立？（片刻，学生开始讨论）生生 o o成立.因为 i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=-i,师师如果 n 是负整数时，上述结论还成立吗？生生 P P不成立.因为 i-1没有定义,所以无法推广.生生 Q Q成立.取 n=-m(mN),则i4n=i-4m=1i4m=1,=i,i4n+1=i-4m+1=11ii4mi1i4n+2=i-4m+2i21=4m=-1,i1i4n+3
14、=i-4m+3i3i=4m=-i.i1所以 n 是负整数时，关于 in的结论也成立.师师由上面讨论,知对一切 nZ,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i 都成立.师师前面我们证明过：z1 z2=z1+z2,由这个等式你能类比到乘法上去吗？为什么？生生 r r可以类比，对于乘法有z1z2=z1z2.事实上，设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2R)，z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.z1z2=(a1a2b1b2)(a1b2b1a2)i=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i
15、.又z1z2=(a1-b1i)(a2-b2i)=a1a2-(-b1)(-b2)+a1(-b2)+(-b1)a2i数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳=(a1a2-b1b2)+(-a1b2-b1a2)i=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i,z2.z1z2=z1师师这个公式能否推广呢？z2zn.生生 s s可以.z1,z2,znC,则z1z2.zn=z1师师z1、z2R,z1z2与z1z2有何关系？为什么？（讨论一会儿，开始写写画画）生生 t tz1z2=z1z2.设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2R),z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1
16、a2)i.z1z2=(a1a2b1b2)2(a1b2b1a2)2=a1a2b1b2a1b2a2b1.又z1z2=a1b1=(a1b1)(a2b2)=a1a2b1b2a1b2a2b1,222222222222222222222222a2b2z1z2=z1z2.本结论也可以推广到一般形式：z1,z2,z3,znC,则z1z2zn=z1z2zn.特殊情况：z1=z2=zn=z 时，zn=zn,即 z 的乘方的模等于模的乘方.(二)课本例题例例 2 2（课本 P206）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).生解：生解：原式=(3+8)+(4-6)i(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22
17、+2)+(11+4)i=-20+15i.例例 3 3设=-31+i,求证：22（1）1+2=0；(2)3=1.(这题的教法是找两位同学到黑板上板演)生生 u u(1)证明：1+2=1+(-33211+i)+(-+i)2222=3332111+i+(-)-2i+(i)22222231331+i+-i-=0.22424331+i)22=生生 v v(2)证明：3=(-数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳=(-332331311)+3(-)2i+3(-)(i)+(i)22222213 393 3i i8888983 33 3)i 1.88=()(18生生 x x对于第（2）小题，也可以这样做，要证3=
18、1,只要证 3-1=0 即可.由 3-1=(-1)(2+1)=(-1)0=0,利用第（1）题的结论.师师(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立.（2）复数的混合运算顺序也是先乘方、再乘除、最后加减，有括号要先算括号里面的.(三)精选例题例例 1 1计算：(1)i+2i2+3i3+1997i1997;(2)34i1i1997().43i1i(1)解解 法法 一一：原 式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+(1993i-1994-1995i+1996)+1997i=499(2-2i)+1997i=998+999i.解法二：解法二：设 S=i+2i2+3
19、i3+1997i1997,则 iS=i2+2i3+3i4+1996i1997+1997i1998.两式相减，得(1-i)S=i+i+iS=21997-1997i1998=i19982i1998i1998i i-1997i=-1997i2=1997+i.i 1i11997i(1997i)(1i)=998+999i.1i2i(43i)(1i)21997(2)解：解：原式=43i(1i)(1i)=-i+(-i)1997=-2i.解题回顾：解题回顾：要注意复数 a+bi(a、bR)与 b-ai 之间的联系：b-ai=-i(a+bi),题（2）中的第一个公式就利用了这种关系，简化了运算.例例 2 2已知
20、 f(z)=z4+4z3+8z2+8z+5,求 f(-1+2i)的值.分析：分析：当 z=-1+2i 时，(z+1)2=(2i)2=-4,即 z2+2z+5=0,因而可考虑充分利用此式将f(z)的次数降低，使计算简便.解：解：z=-1+2i,(z+1)2=-4.z2+2z+5=0.又 f(z)=(z2+2z-1)(z2+2z+5)+10,(*)f(-1+2i)=10.解题回顾：解题回顾：本例充分利用了 z2+2z+5=0 的条件，(*)式的得来是 f(z)除以 z2+2z+5 的结果，此题若将 z=-1+2i 直接代入计算，将会十分繁杂.课堂练习课堂练习补充练习数系的扩充与复数的引入备课人：焦
21、阳1.(2003 年上海高考题)已知复数 z1=cos-i,z2=sin+i,求|z1z2|的最大值和最小值.解解:|z1z2|=|1+sincos+(cos-sin)i|=(1sincos)2(cossin)2=2sin=22cos212sin 2.43,最小值为2.2故|z1z2|的最大值为2.若 x+1=-1,求 1+x+x2+x2006的值.x1解法一解法一:由 x+=-1 可知 x2+x+1=0.xx=或 x=2.x3=1.由知,连续 x 的三个方幂之和为 0,而原式共 2007 项,能被 3 整除,原式=0.解法二解法二:可认为是 2007 项等比数列的和,1+x+x+x原式=0.
22、课时小结课时小结1.在进行复数的运算时，掌握 in和 1 的立方虚根 的运算性质，有助于简化运算程序，提高运算速度.当 nZ 时，i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.设复数 220071 x2007=,而 x2007=1,1 x13i,22则 2=,3=1,1+2=0.2.复数的乘法法则是(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.z2;(3.共轭复数的运算性质：z1 z2=z1z2;(z1 z2)=z14.复数模的性质z1z2=z1z2;zn=zn;z1z)=1(z20).z2z2z1z1=
23、.z2z25.学习复数以后，a2+b2(a、bR)可在复数范围内因式分解，具体地 a2+b2=(a+bi)(a-bi).其实这是共轭复数相乘的性质，zz=z2的逆变形.课后作业课后作业课本154习题 4.22、3数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳板书设计板书设计4.2.3 复数的乘法一、法则的规定1.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.乘法所满足的交换律、结合律、分配律,z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3).3.复数的乘方规定zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)m=z1mz2m.4.z1z2=z1z2,z1z2=z1z2.交换律、结合律、分配律的证明z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3).二、例题例 1例 2例 3