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1、2.4.12.4.1 抛物线的标准方程抛物线的标准方程教学环节复习提问教学内容抛物线的标准方程师生设互动计意图问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？通在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图过象？提问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？问在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y 轴、开口向上或开口向下两种情来形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y 轴，那么就不能作为二次函数激的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.回忆平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，发2
2、简单实验学如图 2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l 的位置上，一块三角板的一条直角边生紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长的等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳探子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅究笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线欲望（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定加直线 l 上)定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.概 念深注:(1)定
3、点F不在这条定直线l；(准线)深化对定 ()定点F在这条定直线l，则点的轨迹是什么？*(是过 F 点义与直线 l 垂直的一条直线-直线 MF,不是抛物线)的理(3)动点到定点的距离|MF|解(4)动点到 定直线的距离 d；（5）|MF|=d（6）动点 M 的轨迹-抛物线(ii)抛物线标准方程的推导过程方案 1：(由第一组同学完成，)以 l 为 y 轴，过点F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30)设定点 F(p，0)，动点 M 的坐标为(x，y)，过 M 作 MDy 轴于 D，应用举例抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|22化简后得：y=2px-p(p0)方案 2：
4、(由第二组同学完成)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31)设动点 M 的坐标为(x，y)，且设直线 l 的方程为 x=-p，定点 F(0，0)，过 M 作 MDl 于 D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|22化简得：y=2px+p(p0)方案 3：(由第三、四组同学完成，)取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(图 2-32)抛物线上的点 M(x，y)到 l 的距离为 d，抛物线是集合 p=M|MF|=d2化简后得：y=2px(p0)引导学生分析出：方案 3 中
5、得出的方程作为抛物线的标准方程 这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2 倍（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是讲清为什么会pF(,0)，出现四2种不同的情形，四种情形（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，中 P222所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2px，x 2py，x 2py.这四种0；并指抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下出图形由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如的位置下)：特征和方程的形式应结合起来记忆它的准线方程
6、是x p2相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称；它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即2pp；4214不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为2px、左端为y2；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为2py，左端为x2（1）当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为2px，相应地左端为 y；当对称轴为 y2轴时，方程等号的右端为2py，相应地左端为 x 同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号(iii)例题讲解与引申2例 1（1）已知抛物线标准方程是y2
7、 6x，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，2），求它的标准方程分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。解析：（1）p 3，焦点坐标是（，0）准线方程是x （2）焦点在y轴负半轴上，p2，23232所以所求抛物线的标准议程是x2 8y例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（5，0）（2）经过点A（2，3）分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
8、解：（1）焦点在x轴负半轴上，p5，2所以所求抛物线的标准议程是y2 20 x（2）经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py点A（2，3）坐标代入，即 94p，得 2p点A（2，3）坐标代入x22py，即 46p，得 2p4392所求抛物线的标准方程是y2x或x2y例 3 已知抛物线的标准方程是（1）y212x，（2）y 12x2，求它的焦点坐标和准线方程分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值解：（1）p 6，焦点坐标是（3，0）准线方程x 3（2）先化为标准方程x2y，p 准线方程是y 1.4812
9、11，焦点坐标是（0，），24489243教材中选取了 2 个例题，例 1 是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例 2 是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m 深度为 0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p0)。有已知条件可得，点A 的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得 2.4=2p*0.5 即=5.76所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）P 值的几何
10、意义：（1）表示焦点到准线的距离（2）0 为常数（3）P 值等于一次项系数绝对值的一半练习反馈学 生练1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程习，1（1）y28x（2）x24y（3）2y23x0（4）y x2教 师6做 好课 堂2根据下列条件写出抛物线的标准方程巡（1）焦点是F（2，0）视。四、课堂练习：（2）准线方程是y（3）焦点到准线的距离是 4，焦点在y轴上（4）经过点A（6，2）3抛物线x24y上的点p到焦点的距离是 10，求p点坐标巩固所学知识。13点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p0；（3）根据图形判断解有几种可能归纳总结1 抛物线的定义、焦点、准线2 参数 p（P0）焦点到准线的距离3、抛物线的 4 种标准方程：定位条件和定型条件4、建系原则引 导学 生回 顾本 节课 所学 知识。布置作业课后札记64 页练习 B，1,2,3帮助学生总结知识方法