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1、拋物线及其标准方程教学设计拋物线及其标准方程教学设计一、教材分析教材分析抛物线及其标准方程 是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第八章 圆锥曲线第三节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数y ax2bxc提供直观的图象感觉；在高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，拋物线是离心率e 1的特例；另一方面也是解析几何
2、“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。二、学情分析二、学情分析在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。三、教学目标、教学目标1理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。明确拋物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。3、熟练掌握求曲线
3、方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。4营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。四、教学重点和难点四、教学重点和难点1 1、教学重点:拋物线的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。2、教学难点：拋物线概念的形成。通过条件e 1的画法设计，标准方程与二次函数的比较突破难点。五、教学方法和手段五、教学方法和手段1、教学方法：探究式教学2、教具准备：多媒
4、体，几何画板六、教学过程设计六、教学过程设计一设置情景，导入新课一设置情景，导入新课（借助多媒体）先给出一张姚明的图片。（此时学生的兴趣来啦！）师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！大家都知道姚明的投篮非常精准！为什么呢？生：师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。（进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）【学情预设】【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。【设计意图】【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。二引导探究，获得新知二引导探究，获得新知师：
5、在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。师：前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，那么它们的联系和差异是什么？生：定义不一样！x2y2x2y2生：方程！椭圆是221，双曲线是221。abab师：还有吗？生：椭圆是封闭的，双曲线是开放的。师：这只是图象不同，为什么会这样呢？生：第二定义！就是它们到定点的距离与到定直线的距离的比等于一个常数！生：这个常数是离心率e！师：对啊！这是定性上的，定量上有不同吗？生：离心率e不同，椭圆离心率e的范围是0 e 1，双曲线离心率e的范围是e 1。师：对了，e可看成是它们的相同点，又是不同点！（打开
6、几何画板）师：现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。生：0 e 1是椭圆，e 1是双曲线。师：但你们有没观察到e 1时的图象？生：抛物线！【学情预设】【学情预设】学生认真观察图象的变化，认知e 1的图象就是抛物线。【设计意图】【设计意图】不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。师：这抛物线是怎么画出来的啊！（课堂顿时一片寂静）师：那这条抛物线与什么有关？众生：e 1！师：e 1是什么意思？生：到定点的距离等于到定直线的距离！师：回答得很好！那你们能据此设计一种方案，画出这样的点吗？（一段时间后，让学生汇报自己的设计方案，并用实物投影仪展示学生所画的图形，师生共同就方案的可
7、行性进行论证。）【活动设计】前后学生组成四人小组，探讨画图方案。前后学生组成四人小组，探讨画图方案。【教师活动】教师以平等的身份介入学生的讨论中，并且关注：教师以平等的身份介入学生的讨论中，并且关注：1.1.学生在知识认知与情感发展方面的疑惑，及时引导鼓励；学生在知识认知与情感发展方面的疑惑，及时引导鼓励；2.2.关注每个人的活动情况，做到全员参与，从同学们的探究中，了解学生对知识理解的不关注每个人的活动情况，做到全员参与，从同学们的探究中，了解学生对知识理解的不同程度，思考的不同方向，对有代表性的方案注意收集；同程度，思考的不同方向，对有代表性的方案注意收集；3.3.了解学生探究的进展，把握
8、课堂节奏。了解学生探究的进展，把握课堂节奏。【学情预设】【学情预设】学生可能找到个别点，教师应指导学生设计好如上图中的方案。【设计意图】【设计意图】着重培养学生合情推理与逻辑思维能力，增强学生的学习兴趣，增强学生的自信心。师：同学们的设计让我们看到了这条曲线上的一个点，那么怎么画满足e 1的图象呢？（课堂又一片寂静）（出示预先准备的圆锥曲线教具）师：现在我介绍这个教具的用法，将直尺与定直线重合，竖直固定在黑板上，再将磁铁固定在定点上，拉紧白线，就可以画出来了。谁上来试试？（两位学生积极上台板演）师：这两位同学表现非常好！这就是我们见过的拋物线！【活动设计】【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物
9、线的过程。【学情预设】【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法，然后学生尝试。在尝试的过程中，学生可能会遇到困难，教师应给予指导。【设计意图】【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用，同时教师应多鼓励学生，多引导学生间进行合作交流，培养合作学习的意识，体验成功带来的喜悦。师：接下来我也来演示下抛物线的形成过程。（打开几何画板软件）师：认真观察P点的运动过程，你们有什么发现？（利用几何画板软件同步动态演示）生：AP PC和AP PF等于AC，所以点P在运动时，CP始终等于PF。师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！师：那这样画出来的图象也是？生：抛物线！【活动设计】【活动设计】利用几何
10、画板软件演示抛物线的形成过程。【学情预设】【学情预设】学生惊讶！计算机软件居然能演示抛物线形成的过程，学生学习的兴趣再次调动起来！【设计意图】【设计意图】强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值，同时激发学生学习计算机知识的兴趣。至此本节的难点得以突破。师：以前我们是用描点法画出抛物线，那今天我们怎么画？生：教具，电脑师：现在变换教具的位置，那么画出的图象还是抛物线吗？生：是。师：这说明了什么？生：画抛物线与位置无关。师：所以今天我们就巧妙地利用几何知识和计算机等方式画出了整个图象。师：现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了！生：到点F的距离和到直线L的距离相等的点的轨迹叫做
11、拋物线。师：这样归纳完整吗？生:应该说，平面内到一个定点F和到一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。生：还要注意定点不能在定直线上。师：为什么啊？师：如果这样，就只能找到一个点。师：说得很好！这里F叫做拋物线的焦点，定直线L叫做拋物线的准线。【学情预设】【学情预设】学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳。【设计意图】【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。三深入探索，推导方程三深入探索，推导方程师：接下来你们试试推导拋物线的方程？（简单回顾求曲线方程的方法）。一段时间后，实物投影仪展示学生探讨的结果。（分组讨论，集中探索）1.以K为原点，定直 线所在 的直 线为y轴建立 平面直 角坐
12、标系，此此时时得得方程方程 为为：y2 2px p2p 02.以F为原点，过F且垂直于定直线F的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：此时得方程：y2 2px p2p 03.以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：此时得方程：y2 2pxp 0师：哪个好呢？图2yyyK KL LF Fx x图1K KF F x x图3K KF F x xL LL L生：方案 3 所得的方程更简洁！师：我们就把它叫做拋物线的标准方程，注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x轴对称。【活动设计】【活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建立直角坐标系的方案，一段时间后，各
13、组交流，对可行的方案进行验证。【学情预设】【学情预设】可能出现的情况如上。若只出现第一种和第二种方案，教师要适时引导出现第三种方案；若直接出现第三种方案，教师就引导学生归纳抛物线的标准方程。【设计意图】【设计意图】通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。师：现在请同学们增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，抛物线有什么变化？再缩小这个距离试一试。生：点F到直尺L的距离发生变化，抛物线开口也发生变化。师：观察很准确！这说明了什么？生：焦点到准线的距离是抛物线的一个重要的几何特征。师：说得非常好！师：接下来看课本的一条拋物线
14、，试将你们的课本逆时针旋转90再观察，会有什么发现？生：x轴和y轴对调了。生：还有开口向上了！师：同学观察得很仔细！那么你们能推出它的方程吗？生：将y 2px中的x和y对调就行了，就是x 2py！师：大家在等式两边同除2p看看！22生：y 12x，哦，是二次函数形式！2p师：对了！这就是我们熟悉的二次函数了！师：那再逆时针旋转90，怎么求？生：和y 2px图象关于y轴对称，将x替换x就行，就是y 2px！师：再逆时针旋转90呢？生：和x 2py图象关于x轴对称，将y替换y就行，就是x 2py！（打开计算机里的表格，学生迅速完成表格内容！）标准方程图形焦点坐标准线方程2222y y2 2 2 2
15、pxpx p p 0 0 p p 2 2,0,0 x x p p2 2y y2 2 2 2pxpx p p 0 0 p p 2 2,0,0 x x p p2 2x x2 2 2 2pypy p p 0 0 x x2 2 2 2pypy p p 0,0,2 2 y y p p2 2 p p 0 0 p p 0,0,2 2 y y p p2 2师：你们完成的过程有没什么发现？生：从y2 2pxp 0的形式上，方程的一次项决定焦点的位置。生：还有一次项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为为x p,0和准线方程2p。2师：还有吗？生：抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物
16、线只要一个自由量p，而确定椭圆和双曲线则需要两个自由量。师：观察很敏锐，分析很透彻，很好！【学情预设】【学情预设】通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。【设计意图】【设计意图】引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。四四.指导应用，鼓励创新指导应用，鼓励创新师：接下来我们运用上述所学到的知识来解决一些问题，如：已知拋物线的标准方程是y2 12x，现在请你们说出它的焦点坐标和准线方程。生：方程是关于x的一次项，系数是负的，所以焦点在x轴上，开口向左，所以焦点坐
17、标是（3,0），准线方程是x 3。再看一道：已知拋物线方程是y 12x，请说出它的焦点坐标和准线方程。生：焦点坐标是0,3。师：是这样吗？生：二次项系数不为 1，所以要先化成标准方程！应该先变成x 师：太好了！所以解题时不要张冠李戴！结果算出来了吗？221y再求。12众生：焦点坐标是0,1 1，准线是。y 4848【设计意图】【设计意图】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。强调解决抛物线方程问题时要先转化为标准方程。师：现在我们回到姚明的这副图，有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，请看右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m，篮框高为3m，篮框中心离最高点的水平距离为2m，怎么
18、求投中时抛物线的方程？（生思考）师：这是一道实际生活问题！我们如何将这个问题转化成数学问题呢？生：建立直角坐标系！师：那怎么建立啊？生：这里应该以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴建立坐标系，这样抛物线就在x轴下2方，直接设x 2pyp 0，又B2,1，则p 2，方程就是x 4y！2师：很好！接着我们还可以算出？生：只要知道姚明的身高，我们还可以算出投篮地方离篮框的水平距离。师：非常好！【学情预设】【学情预设】当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，利用掌握的相关知识解决了实际生活问题。【设计意图】【设计意图】设计一道求投篮轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应，而且可以巩固新知
19、识，加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活。五小结概括，深化认识五小结概括，深化认识师：今天我们学习了什么内容？生：可以巧妙地利用几何知识画出抛物线。生：知道了抛物线的标准方程，它的顶点在原点，焦点落在对称轴上，有四种形式。师：这是知识方面的。我们还学到了哪些数学思想方法？生：转化思想，求解抛物线方程问题时要特别注意先化成标准方程。师：还有吗？生：从椭圆和双曲线中e的变化研究到抛物线，实际是用了类比的方法。生：如果我们做生活的有心人，就会发现数学与生活实际是密切相连的。师：很好！今天我们学习的内容虽然不多，但是从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘！【学情预设】【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。【设计意图】【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识。六布置作业六布置作业课本 P119 1、2、3、4七、板书设计七、板书设计拋物线及其标准方程1拋物线的定义2拋物线的标准方程3应用与小结建系方案二例题练习建系方案一建系方案三