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1、高一数学辅导材料高一数学辅导材料-递推数列通项公式求法递推数列通项公式求法对于由递推公式所确定的数列通项公式的求解，一般可通过递推公式的变将其换转换成等差数列或等比数列问题。1递推式为an1 an d及an1 qan（p,q是常数）此类问题可利用等差、等比数列的通项公式直接求得。例如：已知数列an中，a11，an1 an2，求an。（解得an 2n1）例如：已知数列an中，a1 2，an111an，求an。（解得ann2）222递推式为an1 an f(n)（n N）例 1：已知数列an中，a111，an1 an，求an。24n21111()2 2n 12n 114n 34n 24n 2（此类
2、问题的一般解法是连加法。）解：由已知an1 an14n21所以（n个式子连加得）an(an an1)(an1 an2)(a3 a2)(a2 a1)a113递推式为an1 f(n)an（n N）例 2已知数列an中，a1 2，an1（此类问题一般用累积法求解）4递推式为an1 pan q（p,q是常数）n 1an，求an。n例 3已知数列an中，a11，且对一切n N都有an1 3an 2，求an。（此类问题的一般解法是构造法，化为一个等比数列来求解。）解：设递推式an1 3an 2可化为an1t 3(ant)，即an1 3an2t，从而t 1，数列an1是首项为 2 公比为 3 的等比数列。从
3、而an1 23n1由此得an 23n11。n5递推式为an1 pan q（p,q是常数）例 4已知数列an中，a1511n1，且对一切n N都有an1an()，求an。632n1（此类问题的一般解法是构造辅助数列即两边同除以q，再化为问题 3 来求解。）112an()n1的两边乘以2n1得2n1an1(2nan)1，32321n1n若今bn 2nan，则有bn1bn1（问题便转化为类型 3）解得an 3()2()323解：在an16递推式为an2 pan1 qan（p,q是常数）（设an2 pan1 qan可以变形为an2an1(an1an)的形式，就是 p解得,an2()an1an，则可从
4、q于是数列an1an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。例 5：已知数列an中，a11,a2 2，且对一切n N都有an221an1an，求an。33211an1an两边同减去an1得an2 an1(an1 an)3331所以数列an1 an是首项为 1 公比为的等比数列3解：由an2所以an1 an()练习：1若数列an中，a1 2,an1 an 2，则an。2若数列an中，a1 2,an1 13n1连加得an13 1n1（n N）1()，431an，则an。23若数列an中，a1 2,an1 an 2n，则a100的值是。4若数列an中，a11,an1 an5已知数列an满足an11，
5、则an。n2an1且a11，又bn，an2an1（1）求证：bn是等差数列；（2）求an的表达式。6已知数列an满足an1 2an1且a11，又bn an1，求证：bn是等比数列；（2）求an的表达式。7已知数列an满足an1 3an 2an1(n 2)且a11,a2 3，又bn an1an，（1）求证：bn是等差数列；（2）求an的表达式。8已知数列an满足an1 Sn(n1)且a11，求an和Sn的表达式。9已知数列an中，Sn表示数列的前 n 项和，满足SnSn1(n 2)且a11，求2Sn11an的通项公式an。10已知数列an满足Sn n2an且a11，试探求an的通项公式an。x2 x n11*设函数y(n N*)的最小值为an，最大值为bn，又cn 4anbn，求和：2x 1Sn1111c1c2c2c3c3c4cncn1