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1、学生：学生：科目：科目：教师：教师：课课题题特殊三角形提高讲义特殊三角形提高讲义教学内容教学内容知识框架知识框架（）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用
2、的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关
3、系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。1、直角三角形的基本性质（1）直角三角形的两锐角互余；斜边长大于两直角边；面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半.（2）直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半.(3)勾股定理：直角三角形两直角边的平
4、方和等于斜边的平方.2、判定直角的一些方法（1）三角形中有两个角互为余角；（2）勾股定理逆定理：三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，则该三角形是以第三边为斜边的直角三角形;（3）若三角形一条边上的直线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形.3、勾股定理的推广.4、两类特殊的直角三角形的三边关系（1）45,45,90的直角三角形121（2）30,60,90的直角三角形123【例题精讲】【例题精讲】1 利用“等边对等角”性质求角例 1如图，AA,BB分别是EAB,DBC的平分线，若AABBAB，求BAC的度数.拓展训练1、如图，在A/EBDACB/ABC中，ABBC,在BC上取点M，在M
5、C上取点N，使MNAMNA，若BAMNAC，求MAC的度数.NBC2、如图，AE,AD是直线，且AB3、已知形状.4、在求BCCDDEEFFGGA，求DAE的值.CGDEABFABC的三角形的边长的长分别为a,b,c，且abacbbcca，试判定ABC的ABC中，已知ABAC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，ABC各内角的度数.5、四边形ABCD中，ABDC,E,F分别是BC,AD的中点，EF交BA,DC于P,Q,求证：PQAFDBPECQF.2、等腰三角形中的全等构造例2在ABC中，AD是BAC的 平 分 线，BP3 C.AD，垂 足 是P，已 知AAB5,BP2,AC
6、9，求证：ABCPBDC例 3如图，在四边形ABCD中，AB求证：AB例 4如图，在拓展练习1、如图，在AD,若BAD2 BCDC360,ADACDBAABC中，ABAC,D是BC上一点，求证：DB DCAAB2AD2.BDCABC中，AB7,AC11,点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAFAD,求FC的长.2、如图，BDMCABC中，ADBC于D，ABBDCD,求证：B2 C3、如图，在的度数.3、等边三角形中的几何问题例 5如图，三角形的中心.(1)求证：(2)若BC例 6边长为a等边(1)若BD(2)BD拓展训练BFDBDADCBABC中，ABC46,D是BC上一点，DCAB,
7、DABA21,求CADCABC中，分别以BC,CA,AB为边向外作等边三角形，记D,E,F分别是等边ADEF是等边三角形.FE4,CA5,AB6，求DEF的面积.CBDABC中，D,E是边BC,CA上的点，AD与BE交于点F.ACE,AFB的度数.1CEa，求证：CF3AD.EC1、一个六边形的六个内角均为120，连续四边的长依次是1,3,3,2，求该六边形的周长和面积.2、P是等边ABC内一点,PA3,PB4,APB150，求PC的长.A3、如图，菱形ABCD中，BAD角是60，求证：4、构造等边三角形解题例7如 图，BECF120,E,F是BC,CD边上的点，若AEF中有一个内ADAEF是
8、等边三角形.ABC中，BACBCA44,M为ABC内 一 点，使 得BMCA拓展练习1、30,MAC16，求BMC的度数.MCAABC中，ABAC,BAC80,O为ABC内一点，且OBC10,OCA20,求BAO的度数.2、如图，在等腰ABC中，ABAC,A20,在边AB上取点D，使得ADBC，求ADBDC的度数.例 8如图，在求证：.CDADBABC中，C90,CAD30,ACBCCAD.BCBD.拓展练习1、如 图，在ABC中，BACBA.90,ABAC,D是ABC内 一 点，且BDACDCA15，求证：BDDAC练习题1、在ABC中，ABC12,ACB132,BM和CN分别是这两个角的外
9、角平分线，且点AM,N分别在直线AC和AB上，则（）A.BMC.BM2、如图，已知等腰CNB.BMCNPQCCND.BM,CN的大小关系不能确定.ABC中，ABAC,P,Q分别是BAC,AB上的点，且AP3、如图，在PQQBBC，求PCQ的度数.ABC中，BAC60,ACB40,AQP,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是BAC,ABC的角平分线，求证：AQ4、如图，使AEBQABBP.BPCABC中，B60,延长BC到D，延长BA到E，EBD，联接CE,DE，若CEDE，求证：ABC是等边三角形.ADBACP5、如图，ABC中，ABCACBPAB40,20，P为ABC内一点，使得PCA
10、求BPC的度数.二讲解例 1如图，ABC中，ABAC,BAC90,M,N在BC上，MANA45求证：BM2CN2MN2BMNC拓展练习1、如图，在求证：EF2、在四边形ABCD中，ABC求证：BD例2如图，四边形ABCD中，ABBCDA22ABC中，A90,D是斜边BC的中点，DEAEFBDDF，2BE2CF2C30,ADC60,ADCD.AB2BC2ADBCCD2AD2BC2,求证：ACBD拓展练习1、如图，P是矩形ABCD内一点，若PB2、BC4,PC5,PDA6,求PA的长.DPABC中，AB13,BC14,CA15,求ABC的面积.3、例 3在四边形ABCD中，A拓展练习1、在四边形A
11、BCD中，BADDACABC中，边BC,CA,AB分别为a,b,c，求BC边上的中线ma.60,BD90,AD8,AB7,求BCACD.DBC90,ABBC2 3,AC6,AD3,求CD的长.B2、如图，在ABC中，BAC45,ADBC与点D,BD4,CD3，求ABC的面积.ADBC3、P是凸四边形ABCD内一点，过P分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足分别为E,F,G,H，已知AH长.例3分 别 以 锐 角3,HD4,DG1,GC5,CF6,FB4,且BEAEE1.求四边形ABCD的周AHBPFCGDABC的 边AB,BC,CA为 斜 边 向 外 作 等 腰 直 角 三 角 形DAFDAB,EBC,FAC，求证：（1）AE（2）AE拓展练习DF；DFCBE如图，P是正方形内一点，过点P作边AB,BC,CD,DA的垂线，垂足分别为M,N,G,H若四边形PNCG的面积是四边形PMAH面积的二倍，求GAN的度数.AMBHPGNDC