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1、导数导数一、导数公式一、导数公式（1）、几种常见的导数C；(x)(R)；(a)=；(e)；(logax)=；xx(ln x)；(sin x)；(cos x)（2）、导数运算规则：k f(x)；f(x)g(x)；f(x)f(x)g(x)；g(x)练习：1、函数y sin x的导数为_；x22、若f(x)x ln x,则f(x)3、若f(x)sincosx,则f()二、函数的单调性二、函数的单调性f(x)C,f(x)在区间 A 单调递增 f(x)0在 A 恒成立f(x)C,f(x)在区间 A 单调递减 f(x)0在 A 恒成立作用：可求单调区间作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；解
2、不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）0 0 在给定区间恒成立在给定区间恒成立练习：1、已知f(x)ax 3x x 1在 R 上是减函数，则a的取值范围是2、设f(x)是函数f(x)的导函数，y f(x)的图象如图（1）所示，则y f(x)的图象最有可能为（）323、已知函数y f(x),y g(x)的导函数的图象如下图，那么y f(x),y g(x)的图象可能是（）4、已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x 0时，f(x)0，g(x)0，则x 0时（）Af(x)0，g(x)0 Bf
3、(x)0，g(x)0Cf(x)0，g(x)0 Df(x)0，g(x)05、若f(x)1312x ax (a 1)x 1在（1，4）内为减函数，在（6，+）上为增函数，32则a的范围是三、极值和极值点三、极值和极值点（1 1）、极值点的判别法、极值点的判别法-函数草图中的转折点或导数草图中与函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点轴的交点函数的草图导数的草图注意点：如图，(x1,f(x1)是边界点不是极值点；(x2,f(x2)，(x3,f(x3)是转折点，才是极值点，其中(x2,f(x2)极大值点，(x3,f(x3)极小值点，f(x2)是极大值，f(x3)极小值；-极大值、极小值统称极值-是函
4、数值由于极值点由横坐标决定，因此，常称x2为极大值点，x3极小值点；所以求极值点-求横坐标（即f(x)0的解）导数的草图需画x轴；x轴上方，导数大于 0，函数单调递增；下方导数小于 0，函数单调递减-画x轴（2 2）、求函数、求函数y f(x)的极值的方法：的极值的方法：求出f(x)0的根xi；利用导数草图判定xi是极大值点还是极小值点；求出极值（3 3）求最值的方法）求最值的方法求出f(x)0的根xi；作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值练习：1、已知函数f(x)x 12x8在区间3,3上的最大值为M，则M.f(x)x 2x 在的值域是（，）2、已知f(x)x bx cx。如图，y
5、f(x)的图象过点（1，0），（2，0），则下列说法中：不正确的有x 32233时，函数y f(x)取到极小值；2O12函数y f(x)有两个极值点；c 6；x 1时，函数y f(x)取到极大值；3、设a b，函数y (xa)(xb)的图像可能是（）y2yaobxxoabAyaobxyBoabxCDx2a4、若函数f(x)在x 1处取极值，则a x1四、切线：四、切线：曲线y f(x)在x x0处切线的斜率k f(x0)，切点(x0,f(x0)，从而切线方程为y f(x0)f(x0)(x x0)-求切线方程求切线方程-关键在求切点的横坐标关键在求切点的横坐标练习：1、设点P(x,y)是y x
6、xx3上一点，则在P点处的斜率取值范围是2、曲线y xe 2x1在点（0,1）处的切线方程为x213ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为3、已知曲线y 42 4、设P 为曲线 C：y x 2x3上的点，且曲线C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，则点 P 横坐标的取值范围为5、在曲线y x 3x 6x10的切线中，则斜率最小的切线方程是6、若曲线 y=x axb在点（0，b）处的切线方程式x y1=0，则a，b 7、若曲线fx ax Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是223224解答题解答题1、已知函数f(x)x bx ax d的图象过点 P（0，2），且在点 M（1
7、，f（1）处的切线方程为6x y 7 0.（）求函数y f(x)的解析式；（）求函数y f(x)的单调区间.2、已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5),且f(x)在区间1,4上的最大值是 12。（I）求f(x)的解析式；（II）是否存在自然数m,使得方程f(x)3237 0在区间(m,m1)内x有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。3、设函数f(x)tx 2t xt 1(xR R，t 0)（）求f(x)的最小值h(t)；（）若h(t)2t m对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围4、已知函数f(x)x mx nx2的图象过点（1，6），且函数g
8、(x)f(x)6x的图象关于 y 轴对称.()求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间；()若 a0，求函数 y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.5、已知函数 f（x）=322213x x2axb的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-23()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+m是2,上的增函数。x1（i）求实数 m 的最大值；(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。6、已知函数f(x)ln xax1a1(
9、aR)x1时，讨论f(x)2（I）当a 1时，求曲线y f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；（II）当a 的单调性7、已知函数f(x)x 2ax(x 0，常数aR R)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；若函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围8、已知函数f(x)x x求曲线y f(x)在点M(t，f(t)处的切线方程；设a 0，如果过点(a，b)可作曲线y f(x)的三条切线，证明：a b f(a)9、已知函数f(x)3ax 2(3a 1)x 4x（I）当a 4231时，求f(x)的极值;（II）若f(x)在1,1上是增函数，求a的取值范围6二阶导数的意义二阶导数的意义二阶导
10、数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设设f(x)在在x0二阶可导，且二阶可导，且f(x0)0,f(x0)0(1)(1)若若f(x0)0f(x0)0，则，则f(x)在在x0取得极大值；取得极大值；(2)(2)若若，则，则f(x)在在x0取得极小值取得极小值例
11、例试问a为何值时，函数1f(x)asin x sin3x在x 处取得极值？它取得极值？它33是极大值还是极小值？求此极值是极大值还是极小值？求此极值解解f(x)acosx cos3xf()0，从而有1 0，即a 232a由假设知又当a 2时，f(x)2sin x 3sin3x，且f()3 0，所以f(x)2sin x 1sin3x在x 处取得极大333值，且极大值f()33例例求函数f(x)x33x29x 5的极大值与极小值解解f(x)在2,4上连续，可导令f(x)3x 6x 9 3(x 1)(x 3)0，得2x 1和x 3，思考：f(x)在x 1取得极大还是极小值？在x 3取得极大还是极小值
12、？f(x)6x6-1 代入二阶导数表达式为-12，f(x)在x 1取得极大值3 代入二阶导数表达式12，在x 3取得极小值三、函数图像凹凸定理三、函数图像凹凸定理若f(x)在(a,b)内二阶可导，则曲线y f(x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是曲线y f(x)在(a,b)内的图像是凸曲线的充要条件是几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间 I 上有f(x)0恒成立，那么在区间I上 f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。f(x)0，x(a,b)f(x)0，x(a,b)。.曲线的凸性曲线的凸性对函数的单调性、极值、最
13、大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同如图11 中的曲线为向下凸，而图12 中的曲线为向上凸yyoox图 11图 12xf(x1)f(x2)x1 x2 f()22定义定义 4.5.14.5.1设y f(x)在(a,b)内可导，若曲线y f(x)位于其每点处切线的上方，则称它为在(a,b)内下凸(或上凹)；若曲线y f(x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b)内上凸(或下凹)相应地，也称函数y f(x)分别为(a,b)内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)从图 11 和图 12 明显看出，下凸曲线的斜率tan f(x)(其中为切线的倾角)随着x的增大而增大，即f(x)为单增函数；上凸曲线斜率f(x)随着x的增大而减小，也就是说，f(x)为单减函数但f(x)的单调性可由二阶导数f(x)来判定，因此有下述定理定理定理 4.5.14.5.1若f(x)在(a,b)内二阶可导，则曲线y f(x)在(a,b)内下凸(凹函数)的充要条件是f(x)0 x(a,b)