导数专题复习配详细复习资料.pdf

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1、1/19 导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的

2、最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（00,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范围就把谁作为主元）；例 1：设函数()yf x在区间 D 上的导数为()fx，()fx在区间 D 上的导数为()g x，若在区间 D 上，()0g x 恒成立，则称函数()yf x在区间 D 上为2/19“凸函数”，已知实数 m 是常数，4323()1262xmxxf x （1）若()yf x在区间0,3上为“凸函数”，求 m 的取值范围；（2）若对满足2m 的任何一个实数m，函数()f x在区间,a b上都为“凸函数”，求ba的最大值.

3、解:由函数4323()1262xmxxf x 得32()332xmxfxx 2()3g xxmx（1）()yf x在区间0,3上为“凸函数”，则 2()30g xxmx 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max()0gx (0)0302(3)09330gmgm 解法二：分离变量法：当0 x 时,2()330g xxmx 恒成立,当03x时,2()30g xxmx恒成立 等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，而3()h xxx（03x）是增函数，则max()(3)2hxh 2m(2)当2m 时()f x在区间,a b上都为“凸函数”则等价于当2m 时2()3

4、0g xxmx 恒成立 变更主元法 3/19 再等价于2()30F mmxx在2m 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230FxxxFxx 2ba 例 2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf （）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的,2,1aax不等式()fxa恒成立，求 a 的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（）22()433fxxaxaxaxa 01a 令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（3a，+）-2 2 3a a()f x a 3a 4/19

5、 当时，)(xf极小值=;433ba 当 3a时，)(xf极大值.（）由)(xf a，得：对任意的,2,1aax2243axaxaa 恒成立 则等价于()g x这个二次函数maxmin()()gxagxa 22()43g xxaxa的对称轴2xa 01,a 12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22()431,2g xxaxaaa在上是增函数.maxmin()(2)21.()(1)44.g xg aag xg aa 于是，对任意2,1aax，不等式恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g aaaag aaa 解得 又,10

6、a.154 a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型 例 3；已知函数32()f xxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，2xa 1,2aa 5/19 326()(1)3(0)2tg xxxtxt（）求,a b的值；（）当 1,4x 时，求()f x的值域；（）当1,4x时，不等式()()f xg x恒成立，求实数 t 的取值范围。解：（）/2()32fxxax/(1)31fba ，解得32ab （）由（）知，()f x在 1,0上单调递增

7、，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff ()f x的值域是 4,16（）令2()()()(1)31,42th xf xg xxtxx 思路 1：要使()()f xg x恒成立，只需()0h x，即2(2)26t xxx分离变量 思路 2：二次函数区间最值 二、参数问题 题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1：转化为0)(0)(xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型 解法 2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（）上是减函数”与“函数的单

8、调减区间是（）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例 4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23（）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围 6/19 解：)14()1(41)(2axaxxf.（）()fx是偶函数，1a.此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x.列表如下：x(,23)23(23,23)23(23)(xf +0 0+)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：()f x的极大值为34)32(f，()f x的极小值为34)32(f.（）函数

9、)(xf是),(上的单调函数，21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间 R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204aaaa ，解得：02a.综上，a的取值范围是20 aa.例 5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f xxa xa x a （I）求()f x的单调区间；（）若()f x在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I）2()(2)1(1)(1).fxxa xaxxa 1、20,()(1)0,afxx当时恒成立 当且仅当1x 时取“=”号，()(,)f x 在单调递增。7/19 2、12120,()0,1,1,afxxxaxx 当时 由得且 单调增区

10、间：(,1),(1,)a 单调增区间：(1,1)a（）当()0,1,f x 在上单调递增 则 0,1是上述增区间的子集：1、0a 时，()(,)f x 在单调递增 符合题意 2、0,11,a，10a 1a 综上，a的取值范围是0，1。三、题型二：根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函

11、数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围 解：（1）由题意xkxxf)1()(2)(xf在区间),2(上为增函数，0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）1-1()f x 8/19 即xk1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k （2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，)1)()1()(2xkxkxkxxh 令0)(xh得kx 或1x由（1）知1k，当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在 R 上递

12、增，显然不合题意 当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(k k)1,(k 1),1()(xh 0 0 )(xh 极大值312623kk 极小值 21k 由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三 个 不 同 的 实 根，故 需0312623kk，即0)22)(1(2kkk 02212kkk，解得31k 综上，所求k的取值范围为31k 根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数321()22f xaxxxc（1）若1x 是()f x的极值点且()f x的图像过原点，求()f x的极值；（2）若21()2g xbxxd，在（1）的条件

13、下，是否存在实数b，使得函数()g x的图像与函数()f x的图像恒有含1x 的三个不同交点？若存在，求出实数9/19 b的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网 解：（1）()f x的图像过原点，则(0)00fc 2()32fxaxx，又1x 是()f x的极值点，则(1)31201faa 2()32(32)(1)0fxxxxx 3()(1)2fxf极大值 222()()37fxf 极小值 （2）设函数()g x的图像与函数()f x的图像恒存在含1x 的三个不同交点，等价于()()f xg x有含1x 的三个根，即：1(1)(1)(1)2fgdb 3221112(1)2

14、22xxxbxxb整理得：即：3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x 的三个不等实根 （计算难点来了：）3211()(1)(1)022h xxbxxb有含1x 的根，则()h x必可分解为(1)()0 x二次式，故用添项配凑法因式分解，3x22xx211(1)(1)022bxxb 2211(1)(1)(1)022xxbxxb 221(1)(1)2(1)02xxbxxb 十字相乘法分解：21(1)(1)(1)102xxbxbx 211(1)(1)(1)022xxbxb 3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x 的三个不等实根 等价于211(1)(1)022xbxb有两个不等于-1

15、的不等实根。23-1()f x 10/19 2211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022bbbb (,1)(1,3)(3,)b 题 2：切线的条数问题以切点0 x为未知数的方程的根的个数 例 7、已知函数32()f xaxbxcx在点0 x处取得极小值4，使其导数()0fx 的x的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x的解析式；（2）若过点(1,)Pm可作曲线()yf x的三条切线，求实数m的取值范围 （1）由题意得：2()323(1)(3),(0)fxaxbxca xxa 在(,1)上()0fx；在(1,3)上()0fx；在(3,)上()0fx 因此()f x在01x 处取得

16、极小值4 4abc，(1)320fabc，(3)2760fabc 由联立得：169abc ，32()69f xxxx （2）设切点 Q(,()t f t，,()()()yf tftxt 232(3129)()(69)yttxtttt 222(3129)(3129)(69)ttxtttt tt 22(3129)(26)ttxttt 过(1,)m 232(3129)(1)26mtttt 32()221290g ttttm 令22()66126(2)0g ttttt，求得：1,2tt，方程()0g t 有三个根。需：(1)0(2)0gg23 129016 122490mm 1611mm 故：1116

17、m；因此所求实数m的范围为：(11,16)11/19 题 3：已知()f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数 解法：根分布或判别式法 例 8、解：函数的定义域为R（）当 m4 时，f(x)x3x210 x，()fxx27x10，令()0fx，解得5,x 或2x.令()0fx，解得25x 可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和（5，），单调递减区间为2,5 （）()fxx2(m3)xm6,要使函数yf(x)在（1，）有两个极值点,()fxx2(m3)xm6=0 的根在（1，）根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;31.2mmfmmm ，解得m3 例 9、已知

18、函数23213)(xxaxf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）令()g x14x4f（x）（xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围 解：（1）)1()(2axxxaxxf 1 12/19 当0a时，令0)(xf解得01xax或，令0)(xf解得01xa，所以)(xf的递增区间为),0()1,(a，递减区间为)0,1(a.当0a时，同 理可得)(xf的 递增 区间为)10(a，递减 区间为),1()0,(a.（2）432113)42(gaxxxx有且仅有 3 个极值点 223(1()axxxxxxagx=0 有 3 个根，则0 x 或210 xax，2a 方程210 x

19、ax 有两个非零实根，所以240,a 2a 或2a 而当2a 或2a 时可证函数()yg x有且仅有 3 个极值点 其它例题：1、（最 值 问 题 与 主 元 变 更 法 的 例 子）.已 知 定 义 在R上 的 函 数32()2f xaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是 5，最小值是11.（）求函数()f x的解析式；（）若 1,1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围.解：（）322()2,()34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx 13/19 令()fx=0,得1240,2,13xx 因为0a，所以可得下表：x 2,0 0 0,1()fx+0-()f x 极大 因此

20、)0(f必为最大值,50）（f因此5b，(2)165,(1)5,(1)(2)fafaff ，即11516)2(af，1a，.52(23xxxf）（）xxxf43)(2，0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(2，则问题就是0)(gt在 1,1t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需0)10)1(（gg，即005322xxxx，解得10 x，所以所求实数x的取值范围是0，1.2、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数322()3f xxaxbxc()若函数()f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30 xy平行,求)(xf的解析式；()当()f x在

21、(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时,设点(2,1)M ba所在平面区域为 S,经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3的两部分,求直线 L 的方程.解：().由2()22fxxaxb,函数()f x在1x时有极值,220ab 14/19 (0)1f 1c 又()f x在(0,1)处的切线与直线30 xy平行,(0)3fb 故 12a 3221()3132f xxxx .7分 ()解法一:由2()22fxxaxb 及()f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值,(0)0(1)0(2)0fff 即 0220480babab 令(,)M xy,则 21xbya

22、 12aybx 20220460 xyxyx 故点M所在平面区域 S 为如图,易得(2,0)A,(2,1)B,(2,2)C,(0,1)D,3(0,)2E,2ABCS 同时为的中位线,13DECABEDSS四边形 所求一条直线 L 的方程为:0 x 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分,设直线 L 方程为ykx,它与分别交于 F、G,则 0k,1S四边形DEGF 由 220ykxyx 得点 F 的横坐标为:221Fxk 由 460ykxyx 得点 G 的横坐标为:641Gxk 15/19 OGEOFDSSS四边形DEGF 61311222214121k

23、k即 216250kk 解得:12k 或 58k (舍去)故这时直线方程为:12yx 综上,所求直线方程为:0 x 或12yx .12 分()解法二:由2()22fxxaxb 及()f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值,(0)0(1)0(2)0fff 即 0220480babab 令(,)M xy,则 21xbya 12aybx 20220460 xyxyx 故点M所在平面区域 S 为如图,易得(2,0)A,(2,1)B,(2,2)C,(0,1)D,3(0,)2E,2ABCS 同时为的中位线,13DECABEDSS四边形 所求一条直线 L 的方程为:0 x 另一种情况由于直

24、线方程为:12yx,设直线与交于 H,由 12220yxyx 得直线 L 与交点为:1(1,)2H 2ABCS,1112222DECS,11222211122HABOAOHSSS AB 16/19 所求直线方程为:0 x 或12yx 3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。（）求cd、的值；（）若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110，求函数 f(x)的解析式；（）若0 x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a 的取值范围。解：由题知：2f(x)3ax2bx+c-3a-2b（）由图可知 函数f(x)的图像过点(0

25、,3)，且1f=0 得332c320dabab 03cd （）依题意 2f=3 且f(2)=5 124323846435abababab 解得a=1,b=6 所以f(x)=x3 6x2+9x+3 （）依题意 f(x)=3+2 (3a+2b)x+3(a0)xf=32+2 3a 2b 由 5f=0b=9a 若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当 满足f(5)8af(1)由 得 25a+38a7a+3111a3 所以 当111a3 时，方程f(x)=8a有三个不同的根。12 分 17/19 4、（根的个数问题）已知函数321()1()3f xxaxxaR （1）若函数()f x在12,xx x

26、x处取得极值，且122xx，求a的值及()f x的单调区间；（2）若12a，讨论曲线()f x与215()(21)(21)26g xxaxx 的交点个数 解：（1）2()21f xxax 12122,1xxa xx 22121212()4442xxxxx xa 0a2 分 22()211fxxaxx 令()0fx得1,1xx 或 令()0fx得11x ()f x的单调递增区间为(,1)，(1,)，单调递减区间为(1,1)5分（2）由题()()f xg x得3221151(21)326xaxxxax 即32111()20326xaxax 令32111()()2(21)326xxaxaxx 6 分

27、 2()(21)2(2)(1)xxaxaxa x 令()0 x得2xa或1x 7 分 12a 当22a 即1a 时 x 2(2,1)1()x 18/19 此时，9802a，0a，有一个交点；9 分 当22a 即112a 时，x 2(2,2)a 2a(2,1)a 1()x 0 ()x 982a 221(32)36aa a 221(32)036aa,当9802a即9116a 时,有一个交点；当98002aa，且即9016a时，有两个交点；当102a时，9802a，有一个交点13分 综上可知，当916a 或102a时，有一个交点；当9016a时，有两个交点14分 5、（简单切线问题）已知函数23)(axxf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离()x 982a a 19/19 为5102，函数23()()3bxg xf xa（）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（）若函数)(xg在区间 1,1上为增函数，且)(42xgmbb在区间 1,1上都成立，求实数m的取值范围