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1、南京邮电大学通达学院 2013/2014 学年第 1 学期概率统计和随机过程试卷（A）得 分一、填空题（共 42 分，每格 3 分）1设 A,B,C 是三个事件，则事件“A、B、C 都不发生”可表示为ABC熟练掌握事件的运算熟练掌握事件的运算2设有 10 个产品，其中有 2 个是次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为0.2基本的古典概率要会做。基本的古典概率要会做。例如：第例如：第 1 1 章练习二章练习二 1 12 23已知P(A)0.7,P(B)0.3,P(A B)0.5，则P(AB)0.2关键公式：关键公式：P P(A AB B)P P(A A B
2、B)P P(A A)P P(ABAB)A A,B B不相容不相容A A,B B独立独立ABAB ；P P(ABAB)P P(A A)P P(B B)4设随机变量X B(10,0.1)，Y服从参数 0.2的指数分布，且X、Y相互独立，则E(X Y 5)1；D(X Y 5)25.91)1)重要分布的定义性质：重要分布的定义性质：例如：对例如：对X X B B(n n,p p),),k k (n n 1 1)p p 时，时，P P(X X k k)最大最大.对对X X (),),k k 时，时，P P(X X k k)最大最大.2 2）二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望、方差要熟
3、记）二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望、方差要熟记3)3)期望、方差的性质，期望、方差的性质，如如E E(aXaX bYbY c c)aEaE(X X)bEbE(Y Y)c c；D D(aXaX bYbY c c)a a2 2D D(X X)b b2 2D D(Y Y)；E E(X X2 2)DXDX (EXEX)2 2等。等。5设X（，且X、Y相互独立，则X Y2）,Y（3）(5)二项分布也有可加性。二项分布也有可加性。X X B B（n n1 1,p p）且X、Y相互独立，,Y Y B B（n n2 2,p p）则X X Y YB B(n n1 1 n n2 2,p p
4、)6设X的分布律为XP1012，则E(X2)1.90.10.150.40.35E E(X X2 2)DXDX (EXEX)2 27设E(X),D(X)2，则由契比雪夫不等式有：P(X 4)契比雪夫不等式：契比雪夫不等式：P P(X X )1 1 中心极限定理等。中心极限定理等。8.设总体X N(2,10)，X1,X2,X20是来自X的样本，则D(X)0.51 1）对常见分布，）对常见分布，E E(X X)E E(X X),),1516DXDX 2 2,P P(X X )DXDX 2 2.D D(X X)D D(X X),E E(S S2 2)D D(X X)n n2 2）2 2分布，分布，t
5、t分布分布,F F分布的性质分布的性质例如：例如：X X t t(n n)29.设X1,X2,Xm是来自总体X B(n,p)的样本，若X kS为np的无偏估计21 1 F F(n n,1 1)X X2 2量，则k 110.设X1,X2,Xn是来自总体X N(,)的样本，,22均未知，X,S为2样本均值和样本方差，则的置信水平为1的置信区间是(X Snt/2(n1)1)已知：(X X 2 2 n nZ Z/2 2)(n n 1 1)S S2 2(n n 1 1)S S2 22）的置信水平为1的置信区间：(2 2,2 2)/2 2(n n 1 1)1 1 /2 2(n n 1 1)2 211.设N
6、(t),t 0是强度为 3 的泊松过程，则N(2)6,CN(3,4)9泊松过程：泊松过程：N N(t t)t t,维纳过程：维纳过程：WW(t t)0 0,12.设X(t),t T为平稳过程，已知RX()eC CN N(s s,t t)min(min(s s,t t),),R RN N(s s,t t)2 2st st min(min(s s,t t).).,R RWW(s s,t t)C CWW(s s,t t)2 2min(min(s s,t t)，则SX()212书上书上 4 4 个变换对要记个变换对要记。教材（修订版）：261 页 1，5，6，7 7得 分二、已知男子有 5%是色盲患者
7、，女子有 0.25%是色盲患者今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则(1)求此人是色盲患者的概率；(2)若此人是恰好色盲患者，问此人是女性的概率是多少？(8 分)解：设A 此人色盲,B 此人是女性(1)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.50.250.55 2.625(2)P(B|A)P(B)P(A|B)0.50.251P(A)2.625215分8分要熟练掌握：全概率公式、贝叶斯公式。要熟练掌握：全概率公式、贝叶斯公式。例如：练习三例如：练习三 2 2；练习四；练习四 2 2，3 3得 分三、(1)设随机变量X N(0,1)，求随机变量Y|X|的概率密度；0 x 1,x y
8、 x内服从(2)设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D：均匀分布，求E(X),E(Y),Cov(X,Y)(12 分)解：(1)FY(y)P(Y y)P(X y)当 y 0时，FY(y)0,当 y 0时，FY(y)P(y X y)FX(y)FX(y)2y2fY(y)fX(y)fX(y)e22ye2，y 0综上知：fY(y)26 分0,y 0(2)(X,Y)的概率密度为f(x,y)221,0 x 1,y x,0,10其它23E(X)0 xxf(x,y)dxdy dxxdy2x2dx 0 x1x0 x1xE(Y)dxydy 0;E(XY)dxxydy 0 x1 Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(
9、Y)012 分要熟练掌握：要熟练掌握：1 1）Y Y g g(X X)的函数分布；的函数分布；2 2）CovCov(X X,Y Y),),XYXY的计算。的计算。例如：第二章：练习二例如：第二章：练习二 4 4；练习三练习三 5 5，6 6，7 7；第三章：练习二第三章：练习二 2 2；第四章：练习二第四章：练习二 4 4；练习三练习三 3 3，5 5；得 分四、设总体X的分布律为X1P2232(1)(1)2其中(0 1)为未知参数，利用总体X的如下样本值：（10 分）x1 2,x2 2,x3 3,x4 2,x51，求的矩估计值和最大似然估计值解：矩估计E(X)2 4(1)3(1)2 32又x
10、 2 23 2115 分 2 32 252最似然估计L()22(1)3(1)2 85(1)5 lnL()ln85ln5ln(1)ln L()55110 分 012第七章：练习一第七章：练习一 2 2，3 3要完全理解掌握要完全理解掌握得 分五、选取了某批矿砂的 25 个样品，测定它们的镍含量(%),设测定值总体服从正态分布 对 25 个测定值的计算得样本均值和样本方差分别为x 3.26，s2 0.022问在显著性水平 0.05下，能否认为这批矿砂镍含量的均值为 3.25？（8 分）(已知t0.025(24)2.0639)（8 分）解：由题意检验统计量H0:3.25X 3.25t S/25H1:
11、3.253分拒绝域t t0.025(24)2.06395分因为t 3.263.250.02/25所以拒绝原假设H0，即不能认为镍含量的均值为3.252.5 2.13158分严格按照四步求解严格按照四步求解.得 分六、设Xn,n 0是具有三个状态I 0,1,2的齐次马氏链，1/43/40 其一步转移概率矩阵为：P 1/31/31/301/43/4初始分布为：pj(0)P(X0 j)1/3,j 0,1,2.求：(1)二步转移概率矩阵P(2)；(2)P(X2 0)；(3)P(X2 0，X41)（10 分）5/85/161/162解：(1)P(2)P(1)5/161/23/163 分3/169/161
12、/4（2）P(X2 0)p0(0)p00(2)p1(0)p10(2)p2(0)p20(2)15533()7 分38161683515(3)P(X2 0，X41)P(X2 0)p01(2)10 分816128会求：一步转移概率，二步转移概率矩阵，极限分布会求：一步转移概率，二步转移概率矩阵，极限分布第十章：练习一第十章：练习一 2 2，3 3要完全理解掌握要完全理解掌握得 分七、随机过程Z(t)X sint Y cost，其中X,Y为独立同分布的随机变量，它们的分布律为：Xp12/321/3Yp12/32。1/3（1）问Z(t)是否为平稳过程？（2）问Z(t)的均值是否具有各态历经性？（10 分）解：E(X)E(Y)2224 0,E(X2)E(Y2)23333E(XY)E(X)E(Y)0(1)因为Z(t)sint E(X)cost E(Y)0RZ(t,t)EX sint Y costX sin(t)Y cos(t)E(X2)sintsin(t)E(Y2)costcos(t)2cos所以，Z(t)是否为平稳过程7 分(3)Z(t)lim1T2TTT(Asint Bcost)dt 0Z(t)Z(t)所以，Z(t)的均值是否具有各态历经性第十一章：练习一第十一章：练习一 1+1+练习二练习二 2 2（1 1 为以上考题）为以上考题）10 分